初中数学因式分解含答案竞赛题doc.docx
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初中数学因式分解含答案竞赛题doc
.
初中数学因式分解
(二)
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.
某些二元二次六项式
2
2
(ax
+bxy+cy+dx+ey+f),可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式
2
2
.我们将上式按
x降幂排列,并把
y当作常数,于是上式可变形为
2x-7xy-22y
-5x+35y-3
2
2
2x-(5+7y)x-(22y
-35y+3),
可以看作是关于
x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于
y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
2
即:
-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
22
(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y;
2
(x-3)(2x+1)=2x-5x-3;
2
(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3.
双十字相乘法因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第
一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
Word文档
.
例1分解因式:
2
2
;
2
2
;
(1)x-3xy-10y
+x+9y-2
(2)x-y
+5x+3y+4
2
(3)xy+y+x-y-2;
2.求根法
n
n-1
x+a(n非整数)的代数式称关于
x的一元多式,并用
f(x),g(x),⋯等号表示,
形如ax+a
n-1
x+⋯+a
n
1
0
2
5
2
如f(x)=x-3x+2,g(x)=x+x+6,⋯,
当x=a,多式f(x)的用f(a)表示.如上面的多式f(x)
2
f
(1)=1-3×1+2=0;
2
f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,称a多式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多式f(x)的根,即f(a)=0成立,多式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多式f(x)的一次因式的关是求多式f(x)的根.于任意多式f(x),要求出它的根
是没有一般方法的,然而当多式f(x)的系数都是整数,即整系数多式,常用下面的定理来判定它是否
有有理根.
定理2
的根,必有p是a0的数,q是an的数.特地,当a0=1,整系数多式f(x)的整数根均an的数.
我根据上述定理,用求多式的根来确定多式的一次因式,从而多式行因式分解.
Word文档
.
32
例2分解因式:
x-4x+6x-4.
4
3
2
.
例3分解因式:
9x-3x
+7x-3x-2
Word文档
.
3.待定系数法
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确
定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两
边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定
字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.
2
2
.
例4分解因式:
x+3xy+2y
+4x+5y+3
4
3
2
.
例5分解因式:
x-2x-27x
-44x+7
Word文档
.
练习二
1.用双十字相乘法分解因式:
2
2
;
2
;
(1)x-8xy+15y
+2x-4y-3
(2)x-xy+2x+y-3
222
(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z.
2.用求根法分解因式:
3
2
;
4
3
2
;
(1)x+x-10x-6
(2)x+3x-3x
-12x-4
432
(3)4x+4x-9x-x+2.
3.用待定系数法分解因式:
2
2
;
4
3
.
(1)2x+3xy-9y
+14x-3y+20
(2)x+5x
+15x-9
Word文档
.
初中数学因式分解
(二)
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式
2
2
(ax+bxy+cy
+dx+ey+f),我们也可以用十
字相乘法分解因式.
例如,分解因式
2
2
.我们将上式按
x降幂排列,并把
y当作常数,于是上式可变形为
2x-7xy-22y
-5x+35y-3
2
2
,
2x-(5+7y)x-(22y
-35y+3)
可以看作是关于
x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于
y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
2
即:
-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
22
(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y;
2
(x-3)(2x+1)=2x-5x-3;
2
(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
Word文档
.
用双十字相乘法对多项式
2
2
进行因式分解的步骤是:
ax
+bxy+cy+dx+ey+f
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的
ey,第
一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的
dx.
例1
分解因式:
2
2
;
(1)x-3xy-10y+x+9y-2
2
2
;
(2)x-y+5x+3y+4
2
(3)xy+y+x-y-2;
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺
2
项,可把这一项的系数看成
0来分解.
x
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).
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.
2.求根法
我把形如
n
n-1
x+a(n非整数)的代数式称关于
x的一元多式,并用f(x),g(x),⋯等号
ax+a
n-1
x+⋯+a
n
1
0
表示,如
2
5
2
f(x)=x-3x+2
,g(x)=x+x
+6,⋯,
当x=a
,多式f(x)的用f(a)表示.如上面的多式
f(x)
2
-3×1+2=0;
f
(1)=1
2
×(-2)+2=12
.
f(-2)=(-2)-3
若f(a)=0,称a多式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)
若a是一元多式f(x)的根,即f(a)=0
成立,多式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多式
f(x)的一次因式的关是求多式
f(x)的根.于任意多式f(x),要求出它的根
是没有一般方法的,然而当多式
f(x)的系数都是整数,即整系数多式,常用下面的定理来判定它是否
有有理根.
定理2
的根,必有p是a0的数,q是an的数.特地,当a0=1,整系数多式f(x)的整数根均an的数.
我根据上述定理,用求多式的根来确定多式的一次因式,从而多式行因式分解.
32
例2分解因式:
x-4x+6x-4.
分析是一个整系数一元多式,原式若有整数根,必是
-4的数,逐个-4的数:
±1,±2,±4,只有
3
2
+6×2-4=0,
f
(2)=2
-4×2
即x=2
是原式的一个根,所以根据定理
1,原式必有因式
x-2.
解法1
用分分解法,使每都有因式
(x-2).
3
2
2
原式=(x
-2x
)-(2x-4x)+(2x-4)
2
=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
2
=(x-2)(x-2x+2).
解法2用多式除法,将原式除以(x-2),
所以
2
.
原式=(x-2)(x-2x+2)
明在上述解法中,特要注意的是多式的有理根一定是
-4的数,反之不成立,即
-4的数不一定是多
式的根.因此,必
-4的数逐个代入多式行.
Word文档
.
例3
4
3
2
.
分解因式:
9x-3x+7x-3x-2
分析
因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±
为:
2
所以,原式有因式9x-3x-2.
432
解9x-3x+7x-3x-2
4322
=9x-3x-2x+9x-3x-2
232
=x(9x-3x-2)+9x-3x-2
22
=(9x-3x-2)(x+1)
2
=(3x+1)(3x-2)(x+1)
说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式
2
可以化为9x-3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)
低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.
3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,
这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对
应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母
系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.
例4
2
2
.
分解因式:
x+3xy+2y
+4x+5y+3
分析
由于
2
2
,
(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是
x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出
m和
n,使问题得到解决.
解设
22
x+3xy+2y+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
2
2
,
=x+3xy+2y
+(m+n)x+(m+2n)y+mn
比较两边对应项的系数,则有
Word文档
.
解之得m=3,n=1.所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1).
说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.
例5
4
3
2
.
分解因式:
x-2x-27x-44x+7
分析
本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±
1,±7(7的约
数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为
22
(x+ax+b)(x+cx+d)的形式.
解设
22
原式=(x+ax+b)(x+cx+d)
432
=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd,
所以有
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
所以
22
原式=(x-7x+1)(x+5x+7).
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无
法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.
练习二
1.用双十字相乘法分解因式:
2
2
;
2
;
(1)x-8xy+15y
+2x-4y-3
(2)x-xy+2x+y-3
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.
222
(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z.
2.用求根法分解因式:
3
2
;
4
3
2
;
(1)x+x-10x-6
(2)x+3x-3x
-12x-4
432
(3)4x+4x-9x-x+2.
3.用待定系数法分解因式:
2
2
;
4
3
.
(1)2x+3xy-9y
+14x-3y+20
(2)x+5x
+15x-9
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.
单纯的课本容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。
教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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