版高中数学第三章概率32古典概型学案.docx
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版高中数学第三章概率32古典概型学案
3.2 古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式,会判断古典概型.(难点)
2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)
3.应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 古典概型
阅读教材P102~P103“例1”以上部分,完成下列问题.
1.古典概型
(1)古典概型的概念:
同时具有以下两个特征的试验称为古典概型:
①有限性:
在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;
②等可能性:
每个基本事件发生的可能性是均等的.
(2)概率的古典定义:
在基本事件总数为n的古典概型中,
①每个基本事件发生的概率为
;
②如果随机事件A包含的基本事件数为m,由互斥事件的概率加法公式可得P(A)=
,所以在古典概型中P(A)=
,这一定义称为概率的古典定义.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.( )
(2)“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是基本事件.( )
(3)从装有三个大球、一个小球的袋中,取出一球的试验是古典概型.( )
(4)一个古典概型的基本事件数为n,则每一个基本事件出现的概率都是
.( )
【答案】
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 基本事件有:
甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个,甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率:
P=
=
.
【答案】 C
教材整理2 概率的一般加法公式(选学)
阅读教材P106~P107,完成下列问题.
1.事件A与B的交(或积):
由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的交(或积),记作D=A∩B(或D=AB).
2.设A,B是Ω的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),这就是概率的一般加法公式.
已知A,B是两个事件,且P(A∪B)=0.2,P(A)=P(B)=0.3,则P(AB)=________.
【解析】 由概率的一般加法公式P(AB)=-P(A∪B)+P(A)+P(B)=0.3+0.3-0.2=0.4.
【答案】 0.4
[小组合作型]
基本事件和古典概型的判断
(1)抛掷一枚骰子,下列不是基本事件的是( )
A.向上的点数是奇数
B.向上的点数是3
C.向上的点数是4
D.向上的点数是6
(2)下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止
【精彩点拨】 结合基本事件及古典概型的定义进行判断,基本事件是最小的随机事件,而古典概型具有两个特征——有限性和等可能性.
【尝试解答】
(1)向上的点数是奇数包含三个基本事件:
向上的点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,则A项不是基本事件,B,C,D项均是基本事件.故选A.
(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的基本事件是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.
【答案】
(1)A
(2)C
1.基本事件具有以下特点:
①不可能再分为更小的随机事件;②两个基本事件不可能同时发生.
2.判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
[再练一题]
1.下列试验是古典概型的为________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小相等;
②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
【解析】 ①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
【答案】 ①②④
基本事件的计数问题
有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:
用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出下列事件所包含的全部基本事件:
(1)试验的基本事件;
(2)事件“朝下点数之和大于3”;
(3)事件“朝下点数相等”;
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.
【精彩点拨】 根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可.
【尝试解答】
(1)这个试验的基本事件为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件:
(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件:
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).
1.在求基本事件时,一定要按规律去写,这样不容易漏写.
2.确定基本事件是否与顺序有关.
3.写基本事件时,主要用列举法,具体写时可用列表法或树状图法.
[再练一题]
2.列出下列各试验中的基本事件,并指出基本事件的个数(不考虑先后顺序).
(1)从字母a,b,c中任意取出两个字母的试验;
(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验.
【导学号:
00732087】
【解】
(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件.
分别是(a,b),(a,c),(b,c)共3个.
(2)从袋中取两个球的等可能结果为:
球1和球2,球1和球3,球1和球4,球1和球5,
球2和球3,球2和球4,球2和球5,球3和球4,
球3和球5,球4和球5.
故共有10个基本事件.
简单的古典概型的概率计算
袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.
(1)写出所有不同的结果;
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
(3)求至少摸出1个黑球的概率.
【精彩点拨】
(1)可以利用初中学过的树状图写出;
(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出;(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出.
【尝试解答】
(1)用树状图表示所有的结果为:
所以所有不同的结果是ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,
则事件A包含的基本事件为ac,ad,ae,bc,bd,be,共6个基本事件,
所以P(A)=
=0.6,
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B,
则事件B包含的基本事件为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7个基本事件,
所以P(B)=
=0.7,
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
1.求古典概型概率的计算步骤:
(1)确定基本事件的总数n;
(2)确定事件A包含的基本事件的个数m;
(3)计算事件A的概率P(A)=
.
2.解决古典概型问题的基本方法是列举法,但对于较复杂的古典概型问题,可采用转化的方法:
一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率.
[再练一题]
3.袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,求基本事件的个数,写出所有基本事件的全集,并计算下列事件的概率:
(1)三次颜色恰有两次同色;
(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.
【解】 所有的基本事件个数n=8个.全集I={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.
(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.
∵A中含有基本事件个数为m=6,
∴P(A)=
=
=0.75.
(2)记事件B为“三次颜色全相同”.
∵B中含基本事件个数为m=2,
∴P(B)=
=
=0.25.
(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.
∵C中含有基本事件个数为m=4,
∴P(C)=
=0.5.
概率的一般加法公式(选学)
甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
【精彩点拨】 由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的,故此试验是古典概型,可以利用概率的一般加法公式求解.
【尝试解答】 设事件A为“甲跑第一棒”,事件B为“乙跑第四棒”,则P(A)=
,P(B)=
.记甲跑第x棒,乙跑第y棒,则结果可记为(x,y),共有12种等可能结果:
(1,2),(1,3),(1,4),(2,1)(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能:
(1,4),
故P(A∩B)=
.
所以,甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=
+
-
=
.
概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为:
1在公式PA∪B=PA+PB中,事件A、B是互斥事件;
2在公式PA∪B=PA+PB-PA∩B中,事件A、B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.
[再练一题]
4.在对200家公司的最新调查中发现,40%的公司在大力研究广告效果,50%的公司在进行短期销售预测,而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家,记事件A为“该公司在研究广告效果”,记事件B为“该公司在进行短期销售预测”,求P(A),P(B),P(A∪B).
【解】 P(A)=40%=0.4,P(B)=50%=0.5,
又已知P(A∩B)=30%=0.3,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.5-0.3=0.6.
[探究共研型]
基本事件的特征
探究1 为什么说基本事件是彼此互斥的?
【提示】 基本事件是试验的最基本结果,这些基本结果不能用其他结果加以描述.在一次试验中,只可能出现一种结果,即产生一个基本事件,如掷骰子试验中,一次试验只会出现一个点数,任何两个点数不可能在一次试验中同时发生,即基本事件不可能同时发生,因而基本事件是彼此互斥的,但其他试验结果都可以用基本事件加以描述.
探究2 基本事件的表示方法有哪些?
【提示】 写出所有的基本事件可采用的方法较多,例如列表法、坐标系法、树状图法,但不论采用哪种方法,都要按一定的顺序进行,做到不重不漏.
古典概型的特征
探究3 古典概型有何特点?
何为非古典概型?
【提示】 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:
有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
(1)基本事件个数有限,但非等可能;
(2)基本事件个数无限,但等可能;
(3)基本事件个数无限,也不等可能.
探究4 举例说明古典概型的概率与模型选择无关?
【提示】 以“甲、乙、丙三位同学站成一排,计算甲站在中间的概率”为例,若从三个同学的站位顺序来看,则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果,其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件,因此所求事件的概率为P=
=
;若仅从甲的站位来看,则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果,其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况,因此所求概率为P=
.
先后抛掷两枚大小相同的骰子.
(1)求点数之和出现7点的概率;
(2)求出现两个4点的概率;
(3)求点数之和能被3整除的概率.
【精彩点拨】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数,然后用古典概型概率计算公式求解,可借图来确定基本事件情况.
【尝试解答】 如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种.
(1)记“点数之和出现7点”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共6个:
(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6).故P(A)=
=
.
(2)记“出现两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件只有1个,即(4,4).故P(B)=
.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的基本事件共12个:
(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).故P(C)=
=
.
1.在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示,以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数.
2.数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
[再练一题]
5.同时抛掷两颗大小完全相同的骰子,求:
(1)点数之和是4的倍数的概率;
(2)点数之和大于5小于10的概率.
【解】 如图,基本事件共有36种.
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共有9个:
(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6),所以P(A)=
.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件共有20个.即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以P(B)=
.
1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件数是( )
A.3B.4 C.5 D.6
【解析】 事件A包含的基本事件有6个:
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).
【答案】 D
2.下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=
.
A.②④B.①③④C.①④D.③④
【解析】 根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,②不正确.
【答案】 B
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】 从甲、乙、丙三人中任选两人有:
(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=
.
【答案】 C
4.据报道:
2015年我国高校毕业生为749万人,创历史新高,就业压力进一步加大.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为________.
【解析】 记事件A:
甲或乙被录用.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件
仅有(丙,丁,戊)一种可能,∴A的对立事件
的概率为P(
)=
,
∴P(A)=1-P(
)=
.
【答案】
5.一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,先后随机地抽取两个小球,如果:
(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的.
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.
【解】 先后随机选取两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)共18种.
(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),共有可能结果90种.
因此,事件A的概率是
=
=
.
(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有10种可能,共有可能结果100种.
因此,事件A的概率是
=
.
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