高考安徽数学理科试题及参考答案.docx
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高考安徽数学理科试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
*本信息来源求艺网
数学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页。
第II卷3
至4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名,座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I卷时、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮檫干净后,在选涂其他答案标号。
3.答第II卷时,必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。
必须在标号所指示的答题区域作答,超出答题卡区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:
S表示底面积,h表示底面的高
如果事件A、B互斥,那么 棱柱体积
P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积
第I卷(选择题 共50分)
一.选择题:
本大题10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)i是虚数单位,若 ,则乘积 的值是(B)
(A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15
(2)若集合 则A∩B是(D)
(A) (B)
(C) (D)
(3)下列曲线中离心率为 的是(B)
(A) (B) (C) (D)
(4)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是(A)
(A)p:
>b+d , q:
>b且c>d
(B)p:
a>1,b>1 q:
的图像不过第二象限
(C)p:
x=1, q:
(D)p:
a>1, q:
在 上为增函数
(5)已知 为等差数列, + + =105, =99,以 表示 的前 项和,则使得 达到最大值的 是(B)
(A)21 (B)20 (C)19 (D) 18
(6)设 <b,函数 的图像可能是(C)
(7)若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分,则 的值是(A) (A) (B) (C) (D)
(8)已知函数 , 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ,则 的单调区间是(C)
(A) (B)
(C) (D)
(9)已知函数 在R上满足 ,则曲线 在点 处的切线方程是(A)
(A) (B) (C) (D)
(10)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(D)
(A) (B) (C) (D)
二.填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。
(11)若随机变量 ~ ,则 =________.
解答:
(12)以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为 ,它与曲线 ( 为参数)相交于两点A和B,则|AB|=_______.
解答:
(13) 程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_______.
解答:
127
(14)给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为 .如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若 其中 ,则 的最大值是=________.
解答:
2
(15)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________
(写出所有正确命题的编号)。
○1相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
○2由顶点A作四面体的高,其垂足是 BCD的三条高线的交点;
○3若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;
○4分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
○5最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
解答:
○1○4○5
三.解答题;本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解答
(16)(本小题满分12分)在 ABC中,C-A= , sinB= 。
(I)求sinA的值; (II)设AC= ,求 ABC的面积。
(16)本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。
本小题满分12分
解:
(I)由 知 。
又 所以 即
故
(II)由(I)得:
又由正弦定理,得:
所以
(17)(本小题满分12分)
某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区。
B肯定是受A感染的。
对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是 。
同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 。
在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。
写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望).
(17)本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。
体现数学的科学价值。
本小题满分12分。
X 1 2 3
P
解:
随机变量X的分布列是
X的均值 。
附:
X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 :
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A—B—C—D A—B—C
└D A—B—C
└D A—B—D
└C A—C—D
└B
在情形①和②之下,A直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A直接感染了两个人;在情形⑥之下,A直接感染了三个人。
(18)(本小题满分13分)
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,
BD= ,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2。
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。
(18) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。
本小题满分13分。
解:
(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OG⊥AF,G为垂足。
连接BG、DG。
由BD⊥AC,BD⊥CF,得:
BD⊥平面ACF,故BD⊥AF.
于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角。
由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC= ,OG= .
由OB⊥OG,OB=OD= ,得∠BGD=2∠BGO= .
(向量法)以A为坐标原点, 、 、 方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是
设平面ABF的法向量 ,则由 得 。
令 得 ,
同理,可求得平面ADF的法向量 。
由 知,平面ABF与平面ADF垂直,
二面角B-AF-D的大小等于 。
(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而
由 得 。
又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
(19)(本小题满分12分)
已知函数 ,a>0,讨论 的单调性.
(19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。
本小题满分12分。
解:
的定义域是(0,+ ),
设 ,二次方程 的判别式 .
① 当 ,即 时,对一切 都有 ,此时 在 上是增函数。
② 当 ,即 时,仅对 有 ,对其余的 都有 ,此时 在 上也是增函数。
③ 当 ,即 时,
方程 有两个不同的实根 , , .
+ 0 _ 0 +
单调递增
极大 单调递减
极小 单调递增
此时 在 上单调递增, 在 是上单调递减, 在 上单调递增.
(20)(本小题满分13分)
点 在椭圆 上, 直线 与直线 垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 .
(I)证明:
点 是椭圆 与直线 的唯一交点;
(II)证明:
构成等比数列。
(20)本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识。
考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。
本小题满分13分。
解:
(I)(方法一)由 得 代入椭圆 ,
得 .
将 代入上式,得 从而
因此,方程组 有唯一解 ,即直线 与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P是椭圆与 的交点,若Q 是椭圆与 的交点,代入 的方程 ,得
即 故P与Q重合。
(方法三)在第一象限内,由 可得
椭圆在点P处的切线斜率
切线方程为 即 。
因此, 就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线 的唯一交点。
(II) 的斜率为 的斜率为
由此得 构成等比数列。
(21)(本小题满分13分)
首项为正数的数列 满足
(I)证明:
若 为奇数,则对一切 都是奇数;
(II)若对一切 都有 ,求 的取值范围。
(21)本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。
本小题满分13分。
解:
(I)已知 是奇数,假设 是奇数,其中 为正整数,
则由递推关系得 是奇数。
根据数学归纳法,对任何 , 都是奇数。
(II)(方法一)由 知, 当且仅当 或 。
另一方面,若 则 ;若 ,则
根据数学归纳法,
综合所述,对一切 都有 的充要条件是 或 。
(方法二)由 得 于是 或 。
因为 所以所有的 均大于0,因此 与 同号。
根据数学归纳法, , 与 同号。
因此,对一切 都有 的充要条件是 或 。
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