层次分析法AHP.docx

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层次分析法AHP

第一单元层次分析法一AHP介绍

（TheAnalgticHierarachyProcessAHP）

、尸、-

前言

最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。

事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：

——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP产

生的背景。

匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。

于80年代初由Saaty的学生介绍到我国。

层次分析AHP的特点：

1.输入信息主要是决策者的选择和判断。

决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；

2.简洁性：

基于高中知识，可不用计算机完成计算；

3.实用性：

能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；

4.系统性：

人们决策大致分三种：

（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景。

好在我们只重应用，并不过多涉及AHP的数学背景。

AHP的主要不足在于：

1.AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。

规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。

AHP——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP的结果显然靠不住，所以，AHP中通常是群组判断方式。

尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。

§1AHP预备知识

（一）

1.特征根与特征向量

设Aaijmn为n阶方阵，若存在常数和非零n维向量g（gi,g2,,gn），使得

Agg

（1）

则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于（属于）特征根的特征向量。

特征根的求法如下:

由

（1）得Agg

0A

Eg0，这是一个n元

次线性齐次方程组,

由于该方程组有非零解

g，所以，

系数行列式为零，即

A

E0

（2）

称

（2）式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n次方程，由代数基本定理知,该方程有且只有n个根。

2.重量模型

设Ui,U2,,Un为n个物体，重量分别为gi,g2,,gn。

但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量的比值：

aijgi.gj

设准则C为“重量大为好”，要在准则C下对元素Ui,U2,,Un排序，也就是按其重量大小排序。

已知aij（1i,jn），令

9!

g1

g1

g1

g2

gn

g2

g2

g2

Aaijnm

g1

g2

gn

gn

gn

gn

g1

g2

gn

显然aij满足：

（1）aij0，

（2）

aij

1

。

a.i

称满足

（1）、

（2）的矩阵A为正

互反矩阵；

若（3）ajajkaik，则称满足

（1）、

（2）、（3）的矩阵aj为一致性判断矩阵。

但是，通常（3）式不被满足。

我们的问题可表述为：

已知判断矩阵A，在准则C下对n个物体排序。

即按重量大小排序。

如果，aj念，其中gi，gj是重量的精确值，此时

（1）、

（2）、（3）显然gj

成立，即A是一致性矩阵。

令ggi,g2,,gnT，则Agng。

即n是方阵A的特征根，g是A的属于

n的一个特征向量；

事实上不难验证：

n是一致性判断矩阵方阵A=（aj）的最大特征根，其余n-1个特征根全为零，而ggi,g2,,gnT是A的与最大特征根n对应的特征向量（证明见附录）。

g的n个分量是n个物体的重量，因此，可根据gg-g?

,gnT对Ui,U2,,Un按重量排序。

注：

kgk0也是n对应的特征向量，当k0时，kg与g的分量成比例，分量的大小顺序不变。

所以，只需求出n的任一个分量全为正的特征向量，则可按此特征向量的分量大小顺序对物体排序。

3.AHP模型

如果对矩阵A有一个小的扰动，即aj不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，此时A的最大特征根max不再是n因扰动很小，希望max与n相差不大，这时max对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量gg1,g2,,gn，但是，变动也不会太大。

我们设想：

如果扰动不大，则max离n就不远，此时max对应的特征向量g与g差不多，如果g不改变g的各分量的大小次序，则g同样给出n个物体u1,u2,,un按重量大小的真实排序。

这样，对不满足一致性的正互反矩阵A（aj）nn，我们求其最大特征根max，再求与max对应的特征向量g，则可按g对n个物体"，比，,Un按重量大小排序。

但是，这一番理论有几个疑点：

①当A不满足一致性时，A还有没有最大正的特征根；②既使A有最大特征根，那么，这个最大特征根max对应的特征向量

的分量能否全是正数？

矩阵代数中Perro—Frobineus理论明确地回答了这个问题。

Perro-Frobineus定理：

1.正矩阵存在重数为1的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。

Perron定理明确告诉我们，对正的互反矩阵A，既使它不满足一致性，也一

定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是惟一的。

但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢？

或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根max=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？

人们难于正面明确地回答这个问题，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。

那就是对判断矩阵Aaij的一致性满意程度进行检验。

由于对A的扰动不大，最大特征根与n不会相差太大。

可以证明：

只要A不满足一致性，那么A的最大特征根max—定比n大，即maxn0。

令

显然，我们希望C.I.尽量小；但是，C.I.小到什么程度，才能使max与门对应的特征向量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？

这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。

Saaty给出了平均一致性检验值R.I.。

重复1000次，对随机判断矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如

下：

阶数

12

345

6

7

8

9101112

131415

R.I.

00

0.520.891.12

1.26

1.361.41

1.461.491.521.54

1.561.581.59

令

CI

C

.R.

R」

当C.R.

0.1时，认为判断矩阵

A的一致性是可以被接受

的。

亦即当

C.I.

.0.1R.I.

时，认为判断矩阵

A

j）的

'致性是可以被接受的。

即认为此时

的A的max对应的特征向量“归一化”后，能给出n个物体Ui,U2,,Un按重量大小的真实排序。

明显看出这不是正面回答，也有些令人难以置信。

但是，这已是目前为止最好的回答，这也是AHP理论上不够严谨的地方。

不过，从应用角度看，当C.R.V0.1时，排序的正确性已为应用例子所证实。

当C.R.>0.1时，AHP不再适

用，这时，只能变更递阶层次结构，或对判断矩阵A重新赋值。

由此得层次分析法AHP的步骤如下

1.给定A，求max及相应特征向量;

2.将特征向量“归一”后，即得排序向量；

3.进行一致性检验。

若检验通过则排序向量可信；否则重新对A赋值

§2AHP的基本步骤

用AHP解决问题，有四个步骤：

1.建立问题的递阶层次结构；

2.构造两两比较判断矩阵；

3.由判断矩阵计算被比较元素相对权重；

4.计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。

F面通过一个决策方法应用实例，说明AHP的每个步骤的实施。

例：

某闹市区一商场附近交通拥挤。

目标G:

改善该街区交通环境。

有三种方案可供选择：

A:

修天桥或修高架桥；a2:

修地道；a3:

商场搬迁。

选择方案的准则有5个：

Ci:

通车能力；C2:

方便市民；C3:

改造费用;

C4:

安全性；C5:

市容美观

试用AHP方法决策

决策步骤如下：

、建立递阶层次结构:

2.准则层

G:

通车能力

C5:

市容美观

3.方案层

方案A1

万案2

方案A3

6:

方便市民

C4:

安全性

C3:

改造费用

递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。

1.目标层

最高层：

目标层G:

改变交通环境

、构造两两比较判断矩阵

在单准则下分别构造两两比较判断矩阵，即在G下对Ci、C2、C3、C4、

C5构造两两比较判断矩阵；分别在Ci、C2、C3、C4、C5下对Ai、A2、A3构造两两比较判断矩阵。

在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵A（aj）呢？

即如何具

体确定比值aj呢？

在AHP中采用1£比例标度法。

2.1关于1£比例标度

n个元素u1,u2,,un，两两比较其重要性共要比较-n（n次。

第i个元

2

素Ui与第j个元素Uj重要性之比为aij。

AHP采用1-9比例标度来确定aij;这是

AHP的特点，也是优点。

本来，n个元素比较n-次，即可确定顺序，为什么要比较血」）次呢？

这是由事物的复杂性和决策者的局限性决定的。

事实证明，n

2

个元素按重要性只有两两比较，才能揭示重要性的内在规律，仅仅比较n-次是决然不行的，因为只比较n-次，其中若有一次失误，则排序就将遭到破坏。

而两两比较可减少失误。

比较两个元素的重要性，总是在某种准则（准则层比较是以总目标G为

准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则）下进行的。

至于为什么取1£比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。

从理论上讲，用1-5比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出。

比例标度表

数2、4、68则为上述判断的中值。

对n个物体，两两比较其重要性得判断矩阵A（aj）nn，显然aj满足:

aii1

C1

aij0，aij

aji

所以A是正的互反矩阵，且对角线上元素为1。

但A的元素aij通常不具有传

ijjk

递性，即ajajkaik，这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。

如果ajajkaik成立，即A是一致性矩阵，则n个元素比较n-1次，即可完全确定

顺序。

从判断矩阵A出发到导出元素在某种准则C下按重要性大小的排序，矩阵A的一致性起着至关重要的作用

按着1£比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩阵分别为：

G

通车

Ci

方便

C2

费用

C3

安全

C4

市容

C5

通车

Ci

方便

1

3

5

3

5

C2

费用

1/3

1

3

1

3

C3

安全

1/5

1/3

1

1/3

3

C4

市容

1/3

1

3

1

3

C5

1/5

1/3

1/3

1/3

1

通车

能力

C1

A

A2

A3

方便

C2

A1

A2

A3

天桥

天桥

A1

1

1

5

A

1

3

5

地道

地道

1

/3

A2

1

1

5

A2

1

2

搬迁

A3

/5

1

1

/5

1

搬迁

A3

1

/5

1

/2

1

费用

A

A2

A3

安全

A

A2

A3

C3

C4

天桥

A1

1

4

7

天桥

A

1

1

/2

1

/3

地道

1

地道

A2

/4

1

4

A2

2

1

1

搬迁

/7

1

1

/4

1

搬迁

3

1

1

市容

C5

A

A2A

天桥

1

1

1

A

/2

/3

地道

A2

2

1

1

搬迁

A3

3

1

1

三、计算单一准则下各元素的相对权重

对给出的共6个正互反矩阵，分别求

（1）max

（2）与max对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量

⑶每个矩阵求max后，都要进行一致性检验。

例如:

1.以&作准则的判断矩阵为:

1

A1

1/5

1

1

1/5

5

5因阶数低，可直接求出最大特征根。

1

由于A是一致

的，知max=3,其它的特征根均为

F面来验证这一点:

IAE|

1

1/5

1

1

1/5

1

1

1/5

1

1/5

15

1/51

115

00（）（22）

00

（）2（）2

（2）

max3

0

230

解方程组A3EX0，可得特征向量。

135

由A1/312

1

3

5

|AE|

1/3

1

2

1/5

1/2

1

1

3

5

0

1/3

0

1/10

（）2

1

（

30

（2）

1

2（2

30

3

32

1

0

30

1

3

5

12

1/3

1

2

（）

1/21

1/5

1/2

1

）（2

2）

）2

（2）

1/51/21

max>3。

这是，通常用迭代算法求解出max及对应的特征向量，再进行一致性检

验。

四、计算各层元素的组合权重结合上述具体例子，进行AHP的第四步

1.权重计算

设第一层元素相对于总目标的排序权重向量为:

第2层在第一层j元素准则下的排序向量为:

b；,b3j）T（j1,2,,5）

令B2（bi2£,,b|），则第2层3个元素相对于总目标的组合权重向量为:

a2

最后得到的a2*,*,*T就是方案A、B、C在总目标G下的排序向量

2.对于递阶层次组合判断的一致性检验

我们要逐层计算C.I.，若得到第一层的计算结果为:

C.1.1，R.1.1，C.R.1

则第二层的相应指标为:

125

C.R.2C.R.1

C.I.2

R.1.2

R.l.2R.I・2,R.I・2,,R」・2a〔

则

上面C.1.2和r.i.2分别是第一层第i个准则下判断矩阵的一致性指标和平均随机一致性指标。

当C.R.20.1时，认为递阶层次在2层水平上整个判断有满意的一致性。

请按本文给的例题，补齐AHP的四个求解步骤。

最后求出方案A、B、C在总目标G下的权重排序，以此作为本单元的考核。

补充：

求最大特征根的迭代算法

步骤1:

对A（ay）nn，设初值向量为：

111

VoUo,,，-

nnn

步骤2:

计算

VkAUk1,Uk

Vk

maxvk

（k1,2,）

步骤3:

对预先设定的阀值0，当

maxukju（ki）

时，则停止；否则继续。

其中，Uki是向量Uk的第i个分量

步骤4:

计算

maxmaxvki,umax

Uk

则max为最大特征根，将

Umax归一化（分量和为

1）即为排序向量

§3

层次分析模型

AHM

与无结构决策的层次分析法AHP相近的一种层次分析模型是AHM（Analytic

HierarachincalModel）

下面给出一种球赛模型：

球塞模型：

1

元素U1,U2,,Un为n个球队，每两队进行一场比赛，共赛丄nn1场，每场

2

比赛为1分，Ui和Uj（ij）比赛得分分别为j和ji。

准则c为得分，在准则c下对元素U1,U2,,Un按得分多少排序。

ij与ji满足：

rij0，ji0

彳jji1ij

、ii0（表明一个队无法与自己比赛）

在实际问题中，j可取到［0,1］上的一切实数。

称j为Ui和Uj（ij）的相对测度，称

ijnn

为两两比赛判断矩阵。

如果ijji，则称ui比Uj强，记为Ui>Uj，含意是两者比赛完后Ui得分ij比Uj得分ji多，即Ui胜了；若判断矩阵ijnn满足：

当UiUj,UjUk时，有UiUk,则称判断矩阵ijnn具有一致性。

注意：

UiUj,UjUk，而UkUi在此并不罕见，即甲胜乙、乙胜丙，而丙胜甲的连环套是常有的。

一致性矩阵的含意是：

全部比赛未出现“连环套”的情况，允许甲大胜乙，乙大胜丙，而甲仅仅小胜丙的情况出现。

此时重量模型的一致性不被满足，但是球赛的一致性却可以被满足，故球赛型比重量模型的两两比较判断矩阵的一致性要求要低很多。

nn1

Ui的总得分fiij，显然fi-n（n1）。

令

j1i12

cccTc

WcWui,Wu2,,Wun,Wui

称wc为在得分准则下相对权向量。

2

n（n1）ji

ij

准则c

U1

U2

Un

Wc

U1

11

12…

•1n

c

叫

U2

21

22…

•2n

c

Wn2

Un

n1

n2…

•nn

c

Wnn

以上讨论可由下表给出:

对jnn逐行检验就可知是否具有一致性。

由于两两比较测度判断矩阵ijnn的一致性是UiUj；两两比较比例标度判

断矩阵aijnn的一致性要求aijajkaik，显然在AHP的判断矩阵的一致性要求高，通常的判断矩阵的一致性难以满足；而AHM的判断矩阵的一致性要求很低，只要甲比乙强、乙比丙强，则甲比丙强，至于强多少没有具体要求，所以一致性要求低，在AHP中一致性不被满足时，对应到AHM时一致性却经常可以被满足，并且一致性可从jnn自身中观察检验。

注：

比赛模型有两类：

一类如田径、游泳、跳水、体操等，运动员的成绩可以单独测量出来；另一类如击剑、拳击、球赛，只有通过两队比赛才能定出来。

球赛模型反映了后一类比赛。

AHM中的比较判断矩阵

（j）通常由AHP中的比较判断矩阵A（aij）中

导出：

转模公式为:

k

aij

k

2k

ak

j1

2k1

1

aj

1

或i-

1

a

1

k1

k

ij

2k1

k

0.5

aij

1i

j

0.5

1i

j

0

a

1i

j

0

au

1i

，相当于两队比赛,

ij

ji

1分，另一队败得0分;

当取定，如

2如上右式

从（ij）中直接检验一致性，当一致性成立时就可以应用

cccT

W

（1）,W

（2）,,W（n）

来按分量大小对Ui排序；综合得分率最高者认为名次在前。

不满足一致性时，仍然可以计算各队的得分率，并按得分率对各队排序也是可

Wc

AHM，可用

事实上，当判断矩阵

以的，故一致性检验是非本质的

AHM层次决策例

仍用“AHP”的例子，某闹市区一商场附近交通拥挤。

目标G:

为改善该街区交通环境。

有三种方案可供选择：

A1:

修天桥或修高架桥；A2:

修地道；A:

商场搬迁。

选择方案

的准则有5个：

Ci:

通车能力；c:

方便市民；C3:

改造费用；C4:

安全性；C5:

市容美观。

两两比较的比例标度判断矩阵如前。

问题：

选择哪种方案？

解：

1、建立递阶层次结构:

2、单一准则下的相对权向量转换公式：

aij

k

1

aj

—

k

aij

1i

j

aij

1i

j

2k

2k1

1

ij2k1

0.5

0

准则C

U1

U2

Un

w（C）

U1

n

2

n

11

12…

•1n

1i

n（n

1）j1

1j

i1

n

2

n

U2

21

22…

-2n

2i

n（n

1）j1

2j

i1

Un

n

2

n

n1

n2…

•nn

ni

n（n

1）j1

nj

i1

比如计算准则C2得

C2

A1

A2

A3

w（C2）

A

0

0.857

0.909

1.766

0.5887

A2

0.143

0

0.8

0.943

0.3143

A3

0.091

0.2

0

0.291

0.0970

同理得准则G,Ci,C2,C3,C4,C5下排序权重，上述比较矩阵显然满足一致性条件。

Cl,

通

方

费

安

市

车

便

用

全

容

Gw

G

G

C2

C3

C4

C5

通车

0

0.85

0.90

0.85

0.90

0.

7

9

7

9

3530

方便

0.14

0

0.85

0.5

0.85

0.

C2

3

7

7

2360

费用

0.09

0.14

0

0.14

0.85

0.

Cz

1

3

3

7

1230

安全

0.14

0.5

0.85

0

0.85

0.

C4

3

7

7

2360

市容

0.09

0.14

0.14

0.14

0

0.

C5

1

3

3

3

0520

通车

能力

天桥