最新人教版高中数学必修三概率的基本性质优质教案.docx

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最新人教版高中数学必修三概率的基本性质优质教案

§3.1.3概率的基本性质

一、教材分析

教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念.

教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出.

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；

（2）概率的几个基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）=P（A）+P（B）；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）

（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.

2、过程与方法：

通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观：

通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。

三、重点难点

教学重点：

概率的加法公式及其应用.

教学难点：

事件的关系与运算.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1

体育考试的成绩分为四个等级：

优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下：

优

85分及以上

9人

良

75—84分

15人

中

60—74分

21人

不及格

60分以下

5人

在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？

从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？

为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题.

思路2

（1）集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}

{2,3,4,5}等；

（2）在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：

C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数}…….

师生共同讨论：

观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？

这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.

思路3

全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？

为什么？

为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：

C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},……

类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.

（1）如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？

反之,成立吗？

（2）如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？

（3）如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？

（4）事件D3与事件F能同时发生吗？

（5）事件G与事件H能同时发生吗？

它们两个事件有什么关系？

活动：

学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.

讨论结果：

（1）如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.

（2）如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.

（3）如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.

（4）事件D3与事件F不能同时发生.

（5）事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.

由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:

①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为B

A（或A

B）,不可能事件记为

任何事件都包含不可能事件.

②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若B

A同时A

B）,我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.

③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为A∪B或A+B.

④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为A∩B或AB.

⑤如果A∩B为不可能事件（A∩B=

）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.

⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.

继续依次提出以下问题:

（1）概率的取值范围是多少?

（2）必然事件的概率是多少?

（3）不可能事件的概率是多少?

（4）互斥事件的概率应怎样计算?

（5）对立事件的概率应怎样计算?

活动：

学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:

（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1之间.

（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.

（3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.

（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.

（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由（4）可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.

讨论结果：

（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P（A）≤1.

（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P（E）=1.

（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P（F）=0.

（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P（A∪B）=P（A）+P（B）,这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.

（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P（A∪B）=1.所以1=P（A）+P（B）,P（B）=1-P（A）,P（A）=1-P（B）.如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P（G）=1-P（H）.

上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它的应用.

（三）应用示例

思路1

例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?

哪些是对立事件?

事件A：

命中环数大于7环；事件B：

命中环数为10环；

事件C：

命中环数小于6环；事件D：

命中环数为6、7、8、9、10环.

活动：

教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.

解：

A与C互斥（不可能同时发生）,B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件（至少一个发生）.

点评：

判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.

变式训练

从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品.

解：

依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：

（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：

（2）中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件.（4）中的2个事件既互斥又对立.

例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是

取到方块（事件B）的概率是

问：

（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

活动：

学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P（D）=1-P（C）.

解：

（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得P（C）=P（A）+P（B）=

.

（2）事件C与事件D互斥,且C∪D为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P（D）=1-P（C）=

.

点评：

利用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意.

变式训练

某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率.

解：

（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03.

思路2

例1抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P（A）=

P（B）=

求出“出现奇数点或偶数点”的概率？

活动：

学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.

解：

记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件,所以P（C）=P（A）+P（B）=

+

=1.

出现奇数点或偶数点的概率为1.

变式训练

抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P（A）=

P（B）=

求出现奇数点或2点的概率之和.

解：

“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=

+

=

.

例2袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为

得到黑球或黄球的概率是

得到黄球或绿球的概率也是

试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

活动：

学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.

解：

从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A、B、C、D,则有P（B∪C）=P（B）+P（C）=

；P（C∪D）=P（C）+P（D）=

；P（B∪C∪D）=1-P（A）=1

=

解得P（B）=

P（C）=

P（D）=

.

即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是

、

、

.

变式训练

已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是

从中取出2粒都是白子的概率是

现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

解：

从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为

+

.

（四）知能训练

1.下列说法中正确的是（）

A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大

B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小

C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件

D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

答案：

D

2.课本练习1—5.

（五）拓展提升

1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于

求男女生相差几名?

解：

设男生有x名,则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为

.

选得2名委员都是女性的概率为

.

以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于

得

+

=

.解得x=15或x=21.

即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.

总之,男女生相差6名.

2.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

血型

A

B

AB

O

该血型的人所占比/%

28

29

8

35

已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问：

（1）任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？

（2）任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？

解：

（1）对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P（A′）=0.28,P（B′）=0.29,P（C′）=0.08,P（D′）=0.35.

因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有P（B′+D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64.

（2）由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A′+C′,且P（A′+C′）=P（A′）+P（C′）=0.28+0.08=0.36.

即任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概率为0.36.

注：

第

（2）问也可以这样解：

因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有P（

）=1-P（B′+D′）=1-0.64=0.36.

（六）课堂小结

1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P（A∪B）=P（A）+P（B）；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生.

2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：

（1）事件A发生且事件B不发生；

（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形:

①事件A发生B不发生；②事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.

（七）作业

习题3.1A组5,B组1、2.