六年级奥数100题.docx
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六年级奥数100题
六年级奥数100题
1.六年级奥数100题.
请你算一算,这条阶梯到底有多少阶?
分析与解:
分析能力较强的同学可以看出,所求的阶梯数应比2.3.5.6的公倍数(即30的倍数)小1,并且是7的倍数.因此只需从29.59.89.119.……中找7的倍数就可以了.很快可以得到答案为119阶.
2.
明明和华华各有铅笔若干支,两个人的铅笔合起来共72支.现在华华从自己所有的铅笔中,取出明明所有的支数送给明明,然后明明又从自己现在所有的铅笔中,取出华华现有的支数送给华华,接着华华又从自己现在所有的铅笔中,取出明明现在所有的支数送给明明.这时,明明手中的铅笔支数正好是华华手中铅笔支数的8倍,那么明明和华华最初各有铅笔多少支?
分析与解:
有些数学题,如果顺着思考不易找到答案,往往从后往前想比较方便,即从已知条件倒推回去,找出答案来.
根据这道题的已知条件可知,无论明明取多少支铅笔给华华,还是华华取多少支铅笔给明明,两人所有的铅笔总支数(72支)是不变的;又知道最后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的8倍.这样我们可以求出最后两人手中铅笔的支数.
华华最后手中铅笔的支数是:
72÷(8+1)=8(支)
明明最后手中铅笔的支数是:
8×8=64(支)
接着倒推回去,就可以求出两人最初各有铅笔多少支了.
答案是:
明明最初有铅笔26支,华华最初有铅笔46支.
3.
六年级举行中国象棋比赛,共有12人报名参加比赛.根据比赛规则,每个人都要与其他人各赛一盘,那么这次象棋比赛一共要赛多少盘?
分析与解:
一共要赛66盘.
要想得出正确答案,我们可以从简单的想起,看看有什么规律.
假如2个人(A.B)参赛,那只赛1盘就可以了;假如3个人(A.B.C)
参赛,那么A—B.A—C.B—C要赛3盘;假如4个人参赛,要赛6盘,……
于是我们可以发现:
2人参赛,要赛1盘,即1;3人参赛,要赛3盘,即1+2;4个参赛,要赛6盘,即1+2+3;5人参赛,要赛10盘,即1+2+3+4;……
那么,12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘.
我们还可以这样想:
这12个人,每个人都要与另外11个人各赛1盘,共11×12=132(盘),但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次,(如A—B赛一盘,B—A又算了一盘),所以实际一共要赛132÷2=66(盘).
4.
请你把1~8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里,使每个面的4个角上的数之和都相等.
分析与解:
做这种填数游戏,有两种方法,一种是“笨”方法,即凑数的方法.分别用这8个数去试,这种方法可行,但很费事.另一种方法是用分析.计算的方法.这道题可以分析.计算如下:
在计算各个面上4个数的和时,顶点上的数总是分属3个不同的面,这样,每个顶点上的数都被重复计算了3次.因此,各个面上4个数的和为1~8这8个数的和的3倍,即(1+2+3+.+8)×3=108.又因为正方体有6个面,也就是每个面上的四个数的和应是108÷6=18.18应是我们填数的标准.
如果在前面上填入1.7.2.8(如图31),那么右侧面上已有2.8,其余两顶点只能填3.5.以此类推,答案如图31所示.
5.
晚饭后,爸爸.妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋.打开装棋子的盒子前,爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说:
“小红,爸爸给你出一道跳棋子的题,看你会不会做?
”小红毫不犹豫地说:
“行,您出吧?
”“好,你听着:
这盒跳棋有红.绿.蓝色棋子各15个,你闭着眼睛往外拿,每次只能拿1个棋子,问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的?
”
听完题后,小红陷入了沉思.同学们,你们会做这道题吗?
分析与解:
至少拿7次,才能保证其中有3个棋子同一颜色.
我们可以这样想:
按最坏的情况,小红每次拿出的棋子颜色都不一样,但从第4次开始,将有2个棋子是同一颜色.到第6次,三种颜色的棋子各有2个.当第7次取出棋子时,不管是什么颜色,先取出的6个棋子中必有2个与它同色,即出现3个棋子同一颜色的现象.
同学们,你们能从这道题中发现这类问题的规律吗?
如果要求有4个棋子同一颜色,至少要拿几次?
如果要求5个棋子的颜色相同呢?
6. 5猴摘了一堆桃子.决定睡后再分.过了一段时间,来了一只猴,把桃平均分5份,结果多出了1个,就把多出的1个吃了,拿走其中的一份;又过了一会,来了第二只猴,将桃子重新堆起,平均分成5份,发现也多一个,同样吃了1个,拿走其中的1份,第3,4,5只都是这样,问5只猴至少摘了多少桃子?
第5只猴子走后还剩多少个桃子?
【解答】:
设桃子共有X个,借4个桃成为X+4个.多一个桃就相当于少4个桃.
5个猴子分别拿了A,B,C,D,E个桃子.因此有:
A=(X+4)/5
B=4(X+4)/25
C=16(X+4)/125
D=64(X+4)/625
E=256(X+4)/3125
E为整数,所以X+4=3125K
当K=1时,X=3121
因此最少摘了3121个桃子.
然后容易算出最后至少剩余1020个桃子.
7.
唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑,米老鼠的速度是每分钟125米,唐老鸭的速度是每分钟100米.唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器,通过这种遥控器发出第n次指令,米老鼠就以原来速度的n×10%倒退一分钟,然后再按原来的速度继续前进.如果唐老鸭想在比赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数至少是_____次.
解答
8.
从1至25这25个自然数中,每次取出两个不同的数,使他们的和是4的倍数,共有多少种不同的取法
解答:
按除以4的余数分类:
(4,8,12,16,20,24)中任取2个:
共15
(2,6,10,14,18,22)中任取2个:
共15
(1,5,9,13,17,21,25)和(3,7,11,15,19,23)中各取1个:
7×6=42
共有15+15+42=72种.
9.
是否存在自然数n,使得n2+n+2能被3整除?
解答:
枚举法通常是对有限种情况进行枚举,但是本题讨论的对象是所有自然数,自然数有无限多个,那么能否用枚举法呢?
我们将自然数按照除以3的余数分类,有整除.余1和余2三类,这样只要按类一一枚举就可以了.
当n能被3整除时,因为n2,n都能被3整除,所以
(n2+n+2)÷3余2;
当n除以3余1时,因为n2,n除以3都余1,所以
(n2+n+2)÷3余1;
当n除以3余2时,因为n2÷3余1,n÷3余2,所以
(n2+n+2)÷3余2.
因为所有的自然数都在这三类之中,所以对所有的自然数n,(n2+n+2)都不能被3整除.
10.如下图,在圆柱形的桶外,有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物,已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米,B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米,而C.D两点之间的(桶口)弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线,应该怎么走?
路程总长是多少?
解答:
我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图(下图),由于B点在里面,不便于作图,设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴,作出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了.
将圆柱面展成平面图形(上图),延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直线CD的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD于O.
因为桶口沿线CD是B.F的对称轴,所以OB=OF,而A.F之间的最短线路是直线段AF,又AF=AO+OF,那么A.B之间的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外爬到O点后,转向桶内B点爬去.
延长AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形,AF是斜边,EF=CD,根据勾股定理, AF2=(AC+CE)2+EF2
=(12+8)2+152=625=252,解得AF=25.
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.
11.
甲仓有粮80吨,乙仓有粮120吨,如果把乙仓的一部分粮调入甲仓,使乙仓存粮是甲仓的60%,需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食?
答案与解析:
①甲仓有粮:
(80+120)÷(1+60%)=125(吨).②从乙仓调入甲仓粮食:
125-80=45(吨).
出三个正方形的边长是成比例缩小的,即为一个等比数列,而这个比就要用到相似三角形的知识点.这在以前讲沙漏原理或者三角形等积变形等专题的时候提到过.可以说是一道难度比较大的题.当然对于这种有特点
12.
如图,ABCG是的长方形,DEFG是的长方形.那么,三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少?
答案与解析:
长方形ABCG的面积是28,长方形DEFG的面积是20,梯形ABEF的面积是51,从图中可以看出,三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差就等于梯形ABEF的面积减去长方形ABCG的面积再减去长方形DEFG的面积,得到结果
13.
自然数1用了1个数字,自然数20用了2和02个数字,从自然数1到510共用了多少个数字?
答案与解析:
一位数1-9一共用了9个数字
二位数10-99中,有11-99共9个特殊的数,这样的数只用了1个数字,而其他的两位数每个都用了2个数字.于是一共用了2x(90-9)+9=171
三位数中,先考虑100-199的情况.其中,111用了1个数字;100,122…199一共有9个数,每一个都用到了2个数字;101,121,131…191一共9个数,每一个都用到了2个数字;其他的每一个都用到了3个数字.所以一共用了3x(100-9-9-1)+2x9+2x9+1=280.
同理,200-299中也用了280个,300-399用了280个,400-499用了280个.
这时候,就已经用了280x4+171+9=1300.从500-510中还能用到3x9+2+2=31所以一共1300+31=1331个
14.
已知甲车速度为每小时90千米,乙车速度为每小时60千米,甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行,在途径C地时乙车比甲车早到10分钟;第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地,在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时,那么AB距离是多少?
答案与解析:
画图可知某一个人到C点时间内,第一次甲走的和第二次甲走的路程和为一个全程还差90×10/60=15千米,第一次乙走的和第二次乙走的路程和为一个全程还差60×1.5=90千米.而速度比为3:
2;这样我们可以知道甲走的路程就是:
(90-15)÷(3-2)×3=215,所以全程就是215+15=230千米.
15.
甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园,甲班和乙班步行的速度都是每小时4千米.学校有一辆汽车,它的速度是每小时68千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生,为了使两个班同时到达公园,已知公园相距学校100千米,求汽车行驶的总路程.
答案与解析:
为了使两个班同时到达公园,那么必须汽车来回接送一次,这是一个接送问题,接送问题关键就是画好路线图,
车先载着甲从A到C,然后放下甲,回去接乙,在D碰到乙,然后乙坐上车,跟甲同时到B,因为甲班和乙班的步行速度一样,又是同时到达,所以甲班和乙班的步行路程也一样,所以AD等于BC,根据时间一样,步行和汽车的速度比等于步行和汽车的路程比,如果设乙走的AD为1份,那么车走的AC加上CD为17份,1+17=2AC,所以AC为9份,又BC也为1份,所以总路程AB被我们分成了10份,全长为100千米,一份即为10千米,我们再看汽车走的一共有9+8+9=26份,所以汽车行驶的总路车为260千米.
16.
甲乙两人在A.B两地间往返散步,甲从A.乙从B同时出发;第一次相遇点距B处60米.当乙从A处返回时走了lO米第二次与甲相遇.A.B相距多少米?
答案与解析:
“第一次相遇点距B处60米”意味着乙走了60米和甲相遇,根据总结,两次相遇两人总共走了3个全程,一个全程里乙走了60,则三个全程里乙走了3×60=180米,第二次相遇是距A地10米.画图我们可以发现乙走的路程是一个全程多了10米,所以A.B相距=180-10=170米.
17.
甲,乙两人在一条长100米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇多少次?
答案与解析:
10分钟两人共跑了(3+2)×60×10=3000米3000÷100=30个全程.我们知道两人同时从两地相向而行,他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1.3.5.7...29共15次.
18.
王强骑自行车上班,以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车,发现每隔12分钟有一辆汽车从后面超过他,每隔4分钟迎面开来一辆,如果所有汽车都以相同的匀速行驶,发车间隔时间也相同,那么调度员每隔几分钟发一辆车?
答案与解析:
汽车间隔距离是相等的,列出等式为:
(汽车速度-自行车速度)×12=(汽车速度+自行车速度)×4
得出:
汽车速度=自行车速度的2倍. 汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=(2倍自行车速度-自行车速度)×12÷2倍自行车速度=6(分钟).
19.
一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体,大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体,这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个?
答案与解析:
共有10×10×10=1000个小正方体,其中没有涂色的为(10-2)×(10-2)×(10-2)=512个,所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000-512=488个.
20.
从一个长为8厘米,宽为7厘米,高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体,剩下的几何体的表面积是多少平方厘米?
答案与解析:
最大正方体的边长为6,这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的,所以现在的面积为(8×7+8×6+7×6)×2-6×6×2=220.
21.
大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶,大货车先走1.5小时,小轿车出发后4小时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行5千米,那么出发后3小时就追上了大货车.问:
小轿车实际上每小时行多少千米?
答案与解析:
根据追及问题的总结可知:
4速度差=1.5大货车;3(速度差+5)=1.5大货车,所以速度差=15,所以大货车的速度为60千米每小时,所以小轿车速度=75千米每小时
22.
将14,33,35,30,39,75,143,169这八个数平均分成两组,使他们的成绩相等.______×______×______×______=______×______×______×______.
答案与解析:
14=2×7 35=5×7
33=3×11 39=3×13
143=11×13 169=13×13
75=3×5×5 30=2×3×5
再根据质因数的情况,把含有相同质因数的数归为一组.其中质因数3.5.13各有四个,质因数2.7.11各有二个,因其中二个5及二个13在同一个数中,故分摊时应先考虑,于是可得如下两个小组,每小组中两个数的积分别相等:
然后把两个小组中左右的数按上下或对角线分别结合,就得如下两种分组结果:
第一种:
一组是:
75.14.69.33,
另一组是:
35.30.143.39;
第二种:
一组是:
75.14.143.39
另一组是:
35.30.169.33.
故答案为:
第一种75.14.69.33和35.30.143.39;
第二种75.14.143.39和35.30.169.33.
32.
要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?
答案与解析:
假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出
600×(30%-25%)=30(克)
这是因为30%的糖水多用了.
于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液.
这样,每“换掉”100克,就会减少糖100×(30%-15%)=15(克)所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)
由此可知,需要15%的溶液200克.
需要30%的溶液600-200=400(克)
答:
需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克.
24.
学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?
答案与解析:
总份数为47+48+45=140
一班植树560×47/140=188(棵)
二班植树560×48/140=192(棵)
三班植树560×45/140=180(棵)
答:
一.二.三班分别植树188棵.192棵.180棵.
25.
观察1+3=4;4+5=9;9+7=16;16+9=25;25+11=36这五道算式,找出规律,然后填写2001+()=2002
答案与解析:
上面的规律是:
右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3.5.7.9.11……,所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个,即4003.
26.
好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
答案与解析:
(1)劣马先走12天能走多少千米?
75×12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?
900÷(120-75)=20(天)
列成综合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)
答:
好马20天能追上劣马.
27.
一堆苹果共有8个,如果规定每次取1~3个,那么取完这堆苹果共有多少种不同取法?
答案与解析:
取1个苹果有1种方法,取2个苹果有2种方法,取3个苹果有4种取法,以后取任意个苹果的种数等于取到前三个苹果所有情况之和,以此类推,参照上题列表如下:
取完这堆苹果一共有81种方法.
28.
小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑.小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米?
答案与解析:
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间.又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×(500÷200)]秒,
所以小亮的速度是(500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米)
答:
小亮的速度是每秒3米.
29.
用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5.三条边的长各是多少厘米?
答案与解析:
3+4+5=1260×3/12=15(厘米)
60×4/12=20(厘米)
60×5/12=25(厘米)
答:
三角形三条边的长分别是15厘米.20厘米.25厘米.
30.
书架的第一层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
(2)从书架的第1.2.3层各取1本书,有多少种不同的取法?
答案与解析:
(1)从书架上任取一本书,有3类办法:
第一类办法是从第一层取一本计算机书,有4种方法;第二类是从第二层取1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书,有两种方法.根据分类计数原理,不同取法的种数是4+3+2=9(种),所以,从书架上任取1本书,有9种不同的取法.
(2)从书架上的第1.2.3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:
第1步从第1层1本计算机书,有4种方法;第2类是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分布计数原理,从书架的第1.2.3层各取1本书,不同取法的种数是24种,所以,从书架的第1.2.3层各取1本书,有24种不同的取法.
31.
一张硬纸板长60厘米,宽56厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形,不许有剩余.问正方形的边长是多少?
答案与解析:
硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长.
60和56的最大公约数是4.
答:
正方形的边长是4厘米.
32.
一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同.其中红球10个,白球9个,黄球8个,蓝球2个.某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个球,才能保证至少有4个球颜色相同?
答案与解析:
把四种颜色的球的总数(3+3+3+2)=11看作11个“抽屉”,那么,至少要取(11+1)个球才能保证至少有4个球的颜色相同.
答:
他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同.
33.
甲.乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲.乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套?
答案与解析:
把甲的套数看作5份,乙的套数就是6份.
甲获得的利润是80%×5=4份,乙获得的利润是50%×6=3份
甲比乙多4-3=1份,这1份就是10套.
所以,甲原来购进了10×5=50套.
34.
甲.乙两种商品,成本共2200元,甲商品按20%的利润定价,乙商品按15%的利润定价,后来都按定价的90%打折出售,结果仍获利131元,甲商品的成本是多少元?
答案与解析:
设方程:
设甲成本为X元,则乙为2200-X元.根据条件我们可以求出列出方程:
90%×[(1+20%)X+(1+15%)(2200-X)]-2200=131.解得X=1200.
35.
有两支粗细不同的蜡烛,细蜡烛之长是粗蜡烛之长的2倍,细蜡烛点完需一小时,粗蜡烛点完需两小时.有一次停电,将这两支蜡烛同时点燃,来电时,发现两支蜡烛所剩下的长度一样,问停电多少时间?
答案与解析:
设:
停电X小时,细蜡烛的长度为单位长度2,粗的为1,则细的每小时烧的长度是2,粗的是1/2,依题意列方程:
2-X*2=1-X*1/2
-2X+X/2=1-2
-3/2X=-1
X=2/3
36.
如图,已知边长为5的额正方形ABCD和边长为的正方形CEFG共顶点C,正方形CEFG绕点C旋转60°,连接BE.DG,则ΔBCE的面积与ΔCDG的面积比是多少?
答案与解析:
将ΔCDG绕点C逆时针旋转900,得到ΔCBH,这样点E.C.H在同一直线上,且CE=CG=CH,所以ΔBCE的面积=ΔBCH的面积=ΔCDG的面积,所求面积比为1:
1.
37.
(燕尾定理)如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点,阴影部分的面积是多少平方厘米
答案与解析:
连接F.C两点,因为F是DG的中点,那么△CFG与△CFD的面积相等,并且等于△CDG面积的一半,即长方形ABCD面积的四分之一,又因为EC=2DE,那么△CFE的面积等于△EDF的两倍,所以阴影部分的面积即是:
2÷4×(5÷6)=5/12
答:
阴影部分的面积是十二分之五平
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- 六年级 100