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谐波和无功功率王兆安
第2章谐波和无功功率
本章首先介绍谐波的一些基本概念及谐波分析方法,并讨论在非正弦电路中的无功功率、功率因数等基本概念。
这些概念及分析方法是以后各章的基础。
本章对谐波和无功功率的产生及其危害也作简要的介绍,这些内容可使读者对谐波抑制和无功补偿的必要性有更深刻的认识。
2.1谐波和谐波分析
2.1.1谐波的基本概念[23]
在供用电系统中,通常总是希望交流电压和交流电流呈正弦波形。
正弦波电压可表示为:
(2-1)
式中U——电压有效值;
——初相角;
——角频率,=2f=2/T
f——频率;
T——周期。
正弦波电压施加在线性无源元件电阻、电感和电容上,其电流和电压分别为比例、积分和微分关系,仍为同频率的正弦波。
但当正弦波电压施加在非线性电路上时,电流就变为非正弦波,非正弦电流在电网阻抗上产生压降,会使电压波形也变为非正弦波。
当然,非正弦电压施加在线性电路上时,电流也是非正弦波。
对于周期为T=2/的非正弦电压u(t),一般满足狄里赫利条件,可分解为如下形式的傅里叶级数
(2-2)
式中
n=1,2,3……
或
(2-3)
式中,cn、n和an、bn的关系为
在式(2-2)或(2-3)的傅里叶级数中,频率与工频相同的分量称为基波,频率为基波频率大于1整数倍的分量称为谐波,谐波次数为谐波频率和基波频率的整数比。
以上公式及定义均以非正弦电压为例,对于非正弦电流的情况也完全适用,把式中u(t)转成i(t)即可。
n次谐波电压含有率以HRUn(harmonicratio)表示,
(2-4)
式中Un——第n次谐波电压有效值(方均根值);
U1——基波电压有效值。
n次谐波电流含有率以HRIn表示,
(2-5)
式中In——第n次谐波电流有效值;
I1——基波电流有效值。
谐波电压含量UH和谐波电流含量IH分别定义为
(2-6)
(2-7)
电压谐波总畸变率THDu(totalharmonicdistortion)和电流谐波总畸变率THDi分别定义为
(2-8)
(2-9)
以上介绍了谐波及与谐波有关的基本概念。
可以看出,谐波是一个周期电气量中频率为基波频率大于1整数倍的正弦波分量。
由于谐波频率高于基波频率,有人把谐波也称为高次谐波。
“谐波”这一术语已经包含了频率高于基波频率的意思,因此再加上“高次”二字是多余的。
在本书称谐波中频率较高者为高次谐波,频率较低者为低次谐波。
谐波次数n必须是大于1的正整数。
n为非整数时的正弦波分量不能称为谐波。
当n为非整数的正弦波分量出现时,被分析的电气量已不是周期为T的电气量了。
但在某些场合下,供用电系统中的确存在一些频率不是基波频率整数倍的分数次波。
在有些关于谐波的著作中,把这些分数次波排除在论述范围之外。
考虑到分数次谐波产生的原因、危害及抑制方法均和谐波很相似,因此这些分数次谐波也在本书的研究范围之内。
暂态现象和谐波是不同的。
在进行傅里叶级数变换时,要求被变换的波形必须是不变的周期性波形。
实际供用电系统的负荷总是变化的,因此其电压电流波形也是不断变化的。
进行分析时,只要被分析波形能持续一段时间,就可以应用傅里叶级数变换。
暂态现象在供用电系统中总是不断发生的,有时也会对供电系统和用户带来不利影响。
在采用现代谐波抑制装置时,对这种暂态现象的不利影响可以起到一定的抑制作用,因此本书所涉及的内容并不把暂态现象完全排除在外。
对于非正弦波形,有时也用波形系数和振幅系数来描述其波形特征。
波形系数是非正弦波形的有效值和整流后的平均值之比。
振幅系数是非正弦波形的幅值和有效值之比。
波形系数、振幅系数都只是描述了非正弦波形的某一个数字特征,二者之间没有一一对应的关系。
它们和非正弦波形的谐波含量更没有一一对应的关系。
在带有整流电路的磁电式交流电表中,表针旋转角度决定了线圈电流整流后的直流平均值,表盘刻度为交流有效值,这时可按正弦波的波形系数1.11确定刻度。
在测量峰值的晶体管电压表中,表盘上的有效值根据正弦波的振幅系数
来确定刻度。
当被测波形包含有谐波时,按上述两种方法得到的有效值都会产生误差,必须进行必要的修正。
2.1.2谐波分析
式(2-2)和(2-3)是用傅里叶级数进行谐波分析时最基本的一般公式。
在进行谐波分析时,常常会遇到一些特殊波形,这些波形的谐波分析公式可以简化。
(1)u(t)为奇函数,其波形以坐标原点为对称,满足u(-t)=-u(t)。
这时式(2-2)中只含正弦项,直流分量a0和余弦项系数an均为零。
bn的计算可简化为
(2-10)
n=1,2,3,……
(2)u(t)为偶函数,其波形以纵坐标为对称,满足u(-t)=u(t)。
这时式(2-2)中只含直流分量和余弦项,正弦项系数bn为零。
a0和an的计算可简化为
(2-11)
在进行谐波分析时,通常纵坐标是可以人为选取的,只有选择合适的纵坐标才有可能使波形所描述的函数成为奇函数或偶函数。
(3)u(t+)=-u(t),即把波形的正半波向右平移半个周期后,和负半波是以横轴为对称的。
常把具有这种波形的函数称为对称函数。
这时式(2-2)和(2-3)中只含基波分量和奇次谐波分量,an和bn的计算可简化为
(2-12)
(4)u(t+)=-u(t),且在正半周期内,前后/2的波形以/2轴线为对称。
常把这种波形称为1/4周期对称波形。
通过选择适当的起始点,这种波形所描述函数既可成为奇函数,也可成为偶函数。
通常使其成为奇函数。
因为这种函数同时也是对称函数,因此用式(2-2)进行谐波分析时,其中只含基波和奇次谐波中的正弦项,且bn的计算式可简化为
(2-13)
下面讨论三相电路中的谐波分析。
一般来说,可以对各相的电压、电流分别进行上述谐波分析,但三相电路也有一些特殊的规律。
在对称三相电路中,各相电压、电流依次相差基波的2/3。
以相电压为例,三相电压可表示为
(2-14)
设a相电压所含的n次谐波为
则b、c相电压所含n次谐波就分别为
对上面各式进行分析,可得出以下结论:
(1)n=3k(k=1,2,3,,下同),即n为3、6、9等时,三相电压的谐波大小和相位均相同,为零序性谐波。
(2)n=3k+1,即n为4、7、10等时,b相电压比a相滞后2/3,c相电压比a相电压超前2/3,这些次数的谐波均为正序性谐波。
对称三相电路的基波本身也是正序性的。
(3)n=3k-1,即n为2、5、8等时,b相电压比a相超前2/3,c相电压比a相电压滞后2/3,这些次数的谐波均为负序性谐波。
对于三相电流进行谐波分析时可以得出完成相同的结论。
对于各相电压来说,无论是三相三线电路还是三相四线电路,相电压中都可以包含零序性谐波,而线电压中都不含有零序性谐波。
对于各相电流来说,在三相三线电路中,没有零序电流通道,因而电流中没有3、6、9等次零序性电流;而在三相四线电路中,这些零序性电流可以从中线中流过。
以上的分析仅适用于对称三相电路,对称三相电路的谐波也是三相对称的。
对于不对称三相电路来说,其谐波通常也是不对称的,无论是3k次谐波、3k+1次谐波,还是3k-1次谐波,其中都可能包含正序分量、负序分量和零序分量。
在不对称三相三线电路中,各相电流是可能包含3、6、9等次谐波的,但不可能包含这些谐波电流的零序分量,也不可能包含其他次谐波电流的零序分量。
不对称三相三线或三相四线电压中,各线电压中也可能包含3、6、9等次谐波,但同样不可能包含这些谐波电压的零序分量,也不可能包含其他次谐波的零序分量。
采用傅里叶级数对非正弦连续时间周期函数进行分析是谐波分析的最基本方法。
实际上经常把连续时间信号的一个周期T等分成N个点,在等分点进行采样而得到一系列离散时间信号,然后采用离散傅里叶变换(DFT)或快速傅里叶变换(FFT)的方法进行谐波分析。
有关这方面的内容可参阅参考文献[3]和[4]。
2.1.3公用电网谐波电压电流限值
由于公用电网中的谐波电压和谐波电流对用电设备和电网本身都会造成很大的危害,世界许多国家都发布了限制电网谐波的国家标准,或由权威机构制定限制谐波的规定。
制定这些标准和规定的基本原则是限制谐波源注入电网的谐波电流,把电网谐波电压控制在允许范围内,使接在电网中的电气设备能免受谐波干扰而正常工作。
世界各国所制定的谐波标准大都比较接近。
我国水利电力部于1984年根据国家经济委员会批转的《全国供用电规则》的规定,制定并发布了《电力系统谐波管理暂行规定》(SD126-84)[22]。
国家技术监督局于1993年又发布了中华人民共和国国家标准(GB/T14549-93)《电能质量公用电网谐波》[23],该标准从1994年3月1日起开始实施。
下面的内容均引自该标准。
公用电网对于不同的电压等级,允许电压谐波畸变率也不相同。
电压等级越高,谐波限制越严。
另外,对偶次谐波的限制也要严于对奇次谐波的限制。
表2-1给出了公用电网谐波电压限值。
表2-1公用电网谐波电压(相电压)限值
电网标称电压
电压总谐波畸变率
各次谐波电压含有率
kV
%
奇次
偶次
0.38
5.0
4.0
2.0
6
4.0
3.2
1.6
10
35
3.0
2.4
1.2
66
110
2.0
1.6
0.8
公用电网公共连接点的全部用户向该点注入的谐波电流分量(方均根值)不应超过表2-2中规定的允许值。
表2-2注入公共连接点的谐波电流允许值
标准
基准短
谐波次数及谐波电流允许值
电压
路容量
A
kV
MVA
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0.38
10
78
62
39
62
26
44
19
21
16
28
13
24
11
12
9.7
18
8.6
16
7.8
8.9
7.1
14
6.5
12
6
100
43
34
21
34
14
24
11
11
8.5
16
7.1
13
6.1
6.8
5.3
10
4.7
9.0
4.3
4.9
3.9
7.4
3.6
6.8
10
100
26
20
13
20
8.5
15
6.4
6.8
5.1
9.3
4.3
7.9
3.7
4.1
3.2
6.0
2.8
5.4
2.6
2.9
2.3
4.5
2.1
4.1
35
250
15
12
7.7
12
5.1
8.8
3.8
4.1
3.1
5.6
2.6
4.7
2.2
2.5
1.9
3.6
1.7
3.2
1.5
1.8
1.4
2.7
1.3
2.5
66
500
16
13
8.1
13
5.4
9.3
4.1
4.3
3.3
5.9
2.7
5.0
2.3
2.6
2.0
3.8
1.8
3.4
1.6
1.9
1.5
2.8
1.4
2.6
110
750
12
9.6
6.0
9.6
4.0
6.8
3.0
3.0
2.4
4.3
2.0
3.7
1.7
1.9
1.5
2.8
1.3
2.5
1.2
1.4
1.1
2.1
1.0
1.9
当公共连接点处的最小短路容量不同于基准短路容量时,可按式(2-15)修正表2-2中的谐波电流允许值。
(2-15)
式中:
Sk1——公共连接点的最小短路容量,MVA;
Sk2——基准短路容量,MVA;
Ihp——表2-2中第n次谐波电流允许值,A;
Ih——短路容量为Sk1时的第n次谐波电流允许值。
第n次谐波电压含有率HRUn与第n次谐波电流分量In的关系如下:
(2-16)
式中:
UN——电网的标称电压,kV;
In——第n次谐波电流,A;
Zn——系统的第n次谐波阻抗,。
如谐波阻抗Zn未知,HRUn和In的关系可按下式进行近似的工程估算:
(2-17)
或
(2-18)
式中:
Sk——公共连接点的三相短路容量,MVA。
两个谐波源的同次谐波电流在一条线路上的同一相上迭加,当相位角已知时总谐波电流In可按式(2-19)计算。
(2-19)
式中:
In1——谐波源1的第n次谐波电流,A;
In2——谐波源2的第n次谐波电流,A;
n——谐波源1和2的第n次谐波电流之间的相位角。
当两个谐波源的谐波电流间的相位角不确定时,总谐波电流可按式(2-20)计算。
(2-20)
式中系数Kn可按表2-3选取。
表2-3式(2-20)中系数Kn的值
h
3
5
6
11
13
9,>13,偶次
Kh
1.62
1.28
0.72
0.18
0.08
0
两个以上同次谐波电流迭加时,首先将两个谐波电流迭加,然后再与第三个谐波电流迭加,以此类推。
两个及两个以上谐波源在同一节点同一相上引起的同次谐波电压迭加的公式和式(2-19)或(2-20)类似。
同一公共连接点有多个用户时,每个用户向电网注入的谐波电流允许值按此用户在该点的协议容量与其公共连接点的供电设备容量之比进行分配。
第i个用户的第n次谐波电流允许值Ini按式(2-21)计算。
(2-21)
式中:
In——按式(2-15)计算的第n次谐波电流允许值,A;
Si——第i个用户的用电协议容量,MVA;
St——公共连接点的供电设备容量,MVA;
——相位迭加系数,按表2-4取值。
表2-4相位迭加系数取值
h
3
5
6
11
13
9,>13,偶次
1.1
1.2
1.4
1.8
1.9
2
2.2无功功率和功率因数
2.2.1正弦电路的无功功率和功率因数
在正弦电路中,负载是线性的,电路中的电压和电流都是正弦波。
设电压和电流分别可表示为
(2-22)
式中为电流滞后电压的相角。
电流i被分解为和电压同相位的分量ip和与电压相差90的分量iq。
ip和iq分别为
(2-23)
电路的有功功率P就是其平均功率,即
(2-24)
电路的无功功率定义为
(2-25)
可以看出,Q就是式(2-24)中被积函数的第2项无功功率分量uiq的变化幅度。
uiq的平均值为零,表示了其有能量交换而并不消耗功率。
Q表示了这种能量交换的幅度。
在单相电路中,这种能量交换通常是在电源和具有储能元件的负载之间进行的。
从式(2-24)可看出,真正的功率消耗是由被积函数的第1项有功功率分量uip产生的。
因此,把由式(2-23)所描述的ip和iq分别称为正弦电路的有功电流分量和无功电流分量。
对于发电机和变压器等电气设备来说,其额定电流值与导线的截面积及铜损耗有关,其额定电压和绕组电气绝缘有关,在工作频率一定的情况下,其额定电压还和铁芯尺寸及铁芯损耗有关。
因此,工程上把电压电流有效值的乘积作为电气设备功率设计极限值,这个值也就是电工设备最大可利用容量。
因此,引入如下视在功率的概念:
(2-26)
从式(2-24)可知,有功功率P的最大值为视在功率S,P越接近S,电气设备的容量越得到充分利用。
为了反映P接近S的程度,定义有功功率和视在功率的比值为功率因数。
(2-27)
从式(2-24)和(2-26)可以看出,在正弦波电路中,功率因数是由电压和电流之间的相角差决定的。
在这种情况下,功率因数常用cos来表示。
从式(2-24)、(2-25)和(2-26)可知,S、P和Q有如下关系:
(2-28)
应该指出,视在功率只是电压电流有效值的乘积,它并不能准确反映能量交换和消耗的强度。
在一般电路中,视在功率并不遵守能量守恒定律。
2.2.2非正弦电路的无功功率和功率因数
在含有谐波的非正弦电路中,有功功率、视在功率和功率因数的定义均和正弦波电路相同。
有功功率仍为瞬时功率在一个周期内的平均值。
视在功率、功率因数仍分别由式(2-26)和式(2-27)来定义。
这几个量的物理意义也没有变化。
非正弦周期函数可用傅里叶级数表示成式(2-3)的形式。
式中的sin(t+1)、sin(2t+2)、sin(3t+3)等都是互相正交的。
也就是说,上述函数集合中的两个不同函数的乘积在一个周期内的积分为零。
所以其有功功率P为
(2-29)
电压和电流的有效值分别为
(2-30)
(2-31)
因此
(2-32)
含有谐波的非正弦电路中的无功功率的情况比较复杂,至今没有被广泛接受的科学而权威性的定义。
仿照式(2-28),可以定义无功功率
(2-33)
这里无功功率Q只是反映了能量的流动和交换,并不反映能量在负载中的消耗。
在这一点上,它和正弦电路中无功功率最基本的物理意义是完全一致的。
因此这一定义被广泛接受。
但是,这一定义对无功功率的描述是很粗糙的。
它没有区别基波电压电流之间产生的无功、同频率谐波电压电流之间产生的无功以及不同频率谐波电压电流之间产生的无功。
也就是说,这一定义对于谐波源和无功功率的辨识,对于理解谐波和无功功率的流动都缺乏明确的指导意义。
这一定义也无助于对谐波和无功功率的监测、管理和收费。
仿照式(2-25)也可以定义无功功率。
为了和式(2-33)区别,采用符号Qf[2]。
(2-34)
这里Qf是同频率电压电流正弦波分量之间产生的。
在正弦波电路中,通常规定感性无功为正,容性无功为负。
把这一规定引入非正弦电路,就可能出现一些很不合理的现象。
同一个谐波源有可能出现某些次谐波为感性无功,而另一些次谐波为容性无功,二者相互抵消的情况。
而实际上,不同频率的无功功率是无法互相补偿的,这种互相抵消是不合理的。
在这里,Qf已没有度量电源和负载之间能量交换幅度的物理意义了。
尽管如此,因为式(2-34)Qf的定义可看成正弦波情况下定义的自然延伸,它仍被广泛采用。
在非正弦的情况下,S2P2+Qf2,因此引入畸变功率D,使得
(2-35)
比较上式和式(2-33)可得
(2-36)
和Qf不同,D是不同频率的电压电流正弦波分量之间产生的。
在公共电网中,通常电压的波形畸变都很小,而电流波形的畸变则可能很大。
因此,不考虑电压畸变,研究电压波形为正弦波,电流波形为非正弦波时的情况有很大的实际意义。
设正弦波电压有效值为U,畸变电流有效值为I,其基波电流有效值及与电压相角差分别为I1和1,n次谐波有效值为In。
考虑到不同频率的电压电流之间不产生有功功率,按照上述定义可以得到
在这种情况下,Qf和D都有明确的物理意义。
Qf是基波电流所产生的无功功率,D是谐波电流所产生的无功功率。
这时功率因数为
(2-37)
式中=I1/I,即基波电流有效值和总电流有效值之比,称为基波因数,而cos1称为基波功率因数或位移因数。
可以看出,功率因数是由基波电流相移和电流波形畸变两个因数决定的。
总电流也可以看成由三个分量组成,即基波有功电流、基波无功电流和谐波电流。
式(2-37)在工程上得到广泛应用。
2.2.3无功功率的时域分析
上述定义和分析都是建立在傅里叶级数基础上的,属于频域分析。
还有一种在时域对无功电流和无功功率进行定义的方法。
这种方法是把电流按照电压波形分解成有功电流ip(t)和无功电流iq(t)两个分量,其中ip(t)的波形与电压u(t)完全一致,即
(2-38)
式中G为一比例常数,其取值应使一周期ip(t)内所消耗的功率和i(t)消耗的功率相等。
即
(2-39)
把式(2-38)代入上式可得
由此可求得
(2-40)
即
(2-41)
定义无功电流iq(t)为
(2-42)
由式(2-39)和(2-42)可得
(2-43)
即ip和iq正交。
因此可求得i、ip和iq的有效值之间关系如下
考虑到S=UI,并定义P=UIp、Q=UIq,给上式两边同乘以U2可得
(2-44)
可以看出,上式和在频域分析法中得出的结论是完全一致的。
时域分析的方法是S.Fryze在1932年就提出的[40],随着电网谐波问题日益严重和现代技术的进步,近年这一定义才又重新引起人们的兴趣。
2.2.4三相电路的功率因数
在三相对称电路中,各相电压电流均为对称,功率因数也相同。
三相电路总的功率因数就等于各相的功率因数。
在三相电路中,影响功率因数的因素除电流和电压的相位差、波形畸变外,还有一个因数就是三相不对称。
三相不对称电路的功率因数至今没有统一的定义。
定义之一为
(2-45)
式中各相的S为其电流与各线到人为中点电压的乘积。
可以看出,即使三相都是电阻性负载,只要三相不对称,功率因数仍小于1。
该定义简单且易于计算,考虑了不对称的因素,但其依据不充分。
另一定义称为向量功率因数[3]:
(2-46)
式中S为向量,各相S的相角为该相电流滞后或超前电压的角度。
2.2.5无功功率的物理意义
前面已经说过,无功功率只是描述了能量交换的幅度,而并不消耗功率。
图2-1的单相电路就是这方面的一个例子,其负载为电感电阻性。
电阻消耗有功功率,而电感则在一周期内的一部分时间把从电源吸收的能量储存起来,另一部分时间再把储存的能量向电源释放,并不消耗能量。
无功功率的大小表示了电源和负载电感之间交换能量的幅度。
电源向负载提供这种无功功率既是阻感性负载内在的需要,反过来也对电源的出力带来一定的影响。
图2-1单相阻感性负载电路的能量流动
图2-2三相阻感性负载电路无功能量的流动
图2-2是带有电感电阻性负载的三相电路,为了和图2-1相对照,假设U、R、L的参数均和图2-1相同,为对称三相电路。
这时无功功率的大小当然也表示了电源和负载电感之间能量交换的幅度。
无功能量在电源和负载之间来回流动。
同时,可以证明,各相的无功功率分量(uiq)的瞬时值之和在任一时刻都为零。
因此,可以认为无功能量是在三相之间流动的。
这种流动是通过阻感性负载进行的。
图2-3SVG电路无功能量的流动
图2-3是一个静止无功发生电路(SVG,参见第4章4.4节)。
通过对各半导体开关器件的适当控制,其电源电流的相位可以超前电压90,也可以滞后电压90,使SVG发出无功功率或吸收无功功率。
在进行PWM控制时,如果开关频率足够高,电流就非常接近正弦波,SVG的直流侧电容C的电压几乎没有波动。
也就是说,C只是为SVG提供一个直流工作电压,它和SVG交流侧几乎没有能量交换。
只要开关频率足够高,C的容量就可以足够小。
因此,C可以不被看成是储能元件。
同样,只要开关频率足够高,SVG交流侧电感L也可足够小,L也不是交换无功能量意义上的电感。
因此,这种电路可以近似看成无储能元件的电路。
这时,无功能量的交换就不能看成是在电源和负载储能元件之间进行的。
因为各相无功分量的瞬时值之和在任一时刻都为零。
因此,仍可以认为无功能量是在三相之间流动的。
事实上
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