平面几何选讲练习题.docx
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平面几何选讲练习题.docx
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平面几何选讲练习题
F
A
B
C
平面几何选讲练习题
1.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,
过点B作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2于点D,E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:
AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求
2.如图:
已知AD为⊙O的直径,直线BA与⊙O相切于点A,直线OB与弦AC垂直并相
交于点G,连接DC.
求证:
BA·DC=GC·AD.
3.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE=
3
1AC,BD=
3
1AB,点F在BC
上,且CF=
3
1BC。
求证:
(1)EF⊥BC;
(2)∠ADE=∠EBC。
4.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长线交BC于F.
(1)求
FC
BF的值;
(2)若△BEF的面积为1S,四边形CDEF的面
积为2S,求21:
SS的值.
5.已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,DC是ACB∠的平分线交
AE于点F,交AB于D点.
(1)求ADF∠的度数;
(2)若AB=AC,求AC:
BC.
6.自圆O外一点P引切线与圆切于点A,M为PA中点,过M引割线交圆于B,C两点.
求证:
∠MCP=∠MPB.
7.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过
点B作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2于点D,E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:
AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;
8.如图,AD是⊙O的直径,AB是⊙O于点M、N,直线BMN交AD的延长线于点C,
NCMNBM==,2=AB,求BC的长和⊙O的半径.
9.如图,AB是⊙O的直径,C,F为⊙O上的点,CA是∠BAF的角平分线,过点C作
CD⊥AF交AF的延长线于D点,CM⊥AB,垂足为点M.
(1)求证:
DC是⊙O的切线;
(2)求证:
AM·MB=DF·DA.
C
10.如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,
圆心O在PAC∠的内部,点M是BC的中点.
(Ⅰ)证明A,P,O,M四点共圆;
(Ⅱ)求∠OAM+∠APM的大小.
11.如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点A,过A点作直线AP垂直直线OM,
垂足为P.(Ⅰ)证明:
OM·OP=OA2;
(Ⅱ)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点,过B点的切线交
直线ON于K.证明:
∠OKM=90°
12.如图,在四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.
求证:
AB∥CD.
13.已知∆ABC中,AB=AC,D是∆ABC外接圆劣弧
AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至E。
(1)求证:
AD的延长线平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30
,∆ABC中BC边上的高为2+,
求∆ABC外接圆的面积。
14.如图,已知ABC∆的两条角平分线AD和CE相交于H,0
60B∠=,F在AC上,且AEAF=。
(I)证明:
B,D,H,E四点共圆:
(II)
证明:
CE平分DEF∠。
15.已知:
如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA
的延长线于点E.求证:
(1)△ABC≌△DCB
(2)DE·DC=AE·BD.
平面几何选讲练习题答案
1.
(1)证明:
连接AB,∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D,
又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E。
∴AD∥EC(4分)
(2)设BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,①
∵AD∥EC,∴2
69=+⇒
=y
xPC
APPE
DP②,
由①②可得,⎩⎨
⎧==4
3yx或⎩⎨
⎧-=-=1
12yx(舍去)∴DE=9+x+y=16,
∵AD是⊙O2的切线,∴AD2=DB∙DE=9×16,∴AD=12。
(6分)
2.证法一:
∵ACOB^,∴90AGB?
,又AD是⊙O的直径,∴90DCA?
,
又∵BAG
ADC?
(弦切角等于同弧对圆周角)………4分
∴Rt△AGB∽Rt△DCA…………………………………5分∴BAAGAD
DC=,又∵OGAC^∴GCAG=…………………………7分∴
BAGCAD
DC
=…………………………………………………9分
即BA•DC=GC•AD………………………………………10分证法二:
∵BA与⊙O相切于A∴90BAO
?
又AGBO^于G,∴ABG
GOA?
∴Rt△BGA∽Rt△AGO…………………………3分∵
BAAOAG
OG
=………………………………………①…5分
∵OGACG^弦于,∴G为AC的中点又∵O为直径AD的中点,∴12
AOAD=
,12
OGDC=
………………………7分
∴1
12
AD
BA
ADAGDCDC==∴BA•DC=GC•AD……………………………10分
F
AB
C
3.证明:
设AB=AC=3a,则AE=BD=a,CF=.2a
(1)
.3
232,32232===
=aaCACFa
aCB
CE又∠C公共,故△BAC∽△EFC,由∠BAC=90°,∴∠EFC=90°,∴EF⊥BC…………4分
(2)由
(1)得.2
2222,
2
22,2=
=
=
=
=
a
aBF
ADa
aEF
AEaEF故
.BF
ADEF
AE=∴…………6分∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE∽△FBE,
…………8分
∴∠ADE=∠EBC。
…………10分
4.证明:
(1)过D点作DG∥BC,并交AF于G点,-------------------------2分
∵E是BD的中点,∴BE=DE,又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG,∴△BEF≌△DEG,则BF=DG,∴BF:
FC=DG:
FC,又∵D是AC的中点,则DG:
FC=1:
2,
则BF:
FC=1:
2;----------------------------------------------4分
(2)若△BEF以BF为底,△BDC以BC为底,则由
(1)知BF:
BC=1:
3,
又由BE:
BD=1:
2可知1h:
2h=1:
2,其中1h、2h分别为△BEF和△BDC的高,则
6
12131=⨯=∆∆BDC
BEFSS则21:
SS=1:
5.-----------------------8分
5.AC为圆O的切线,∴EACB∠=∠
又知,DC是ACB∠的平分线,
∴DCBACD∠=∠∴ACDEACDCBB∠+∠=∠+∠
即AFDADF∠=∠又因为BE为圆O的直径,∴︒=∠90DAE∴︒=∠-︒=
∠45180(2
1DAEADF
(2)EACB∠=∠,ACBACB∠=∠,∴ACE∆∽ABC∆∴
AB
AEBC
AC=
又AB=AC,∴︒=∠=∠30ACBB,∴在RT⊿ABE中,
3
330tantan=
︒=∠==BAB
AEBC
AC……10分
6.证明:
∵PA与圆相切于A,
∴2MAMBMC=⋅,………………2分
∵M为PA中点,∴PMMA=,………………3分
PMMB=.………5分MCPM∵∠BMP=∠PMC,………………6分∴△BMP∽△PMC,………………8分∴∠MCP=∠MPB.………………10分7.
(1)证明:
连接AB,∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D,又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E。
∴AD∥EC(4分)
(2)设BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,①∴PM2=MBMC,∴∵AD∥EC,∴DPAP9+x6==②,PEPCy2由①②可得,x=3x=12或(舍去)∴DE=9+x+y=16,y=4y=1∵AD是⊙O2的切线,∴AD2=DBDE=9×16,∴AD=12。
分)(68.证明:
∵AD是⊙O的直径,AB是⊙O的切线,直线BMN是⊙O的割线,∴∠BAC=90,AB2=BMBN.∵BM=MN=NC,AB=2,∴2BM2=4,∴BM=2,∴BC=3BM=32…4分∴AB2+AC2=BC2,4+AC2=18,AC=14.∵CNCM=CDCA,∴222==CD14,∴CD=214715∴⊙O的半径为(CACD=14………………………………………8分2149.解:
(I)连结OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA是∠BAF的角平分线,∴∠OAC=∠FAC,∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD.………………3分∵CD⊥AF,∴CD⊥OC,即DC是⊙O的切线.…………5分(Ⅱ)连结BC,在Rt△ACB中,CM⊥AB,∴CM2=AMMB.又∵DC是⊙O的切线,∴DC2=DFDA.易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM,∴AMMB=DFDA…………10分P10.(Ⅰ)证明:
连结OP,OM.因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.AMCO于是∠OPA+∠OMA=180°,由圆心O在∠PAC的内部,B可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆…6分(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.由(Ⅰ)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.所以∠OAM+∠APM=90°.……10分11.(Ⅰ)证明:
因为MA是圆O的切线,所以OA⊥AM
又因为AP⊥OM,在Rt△OAM中,由射影定理知,OA2=OMOP.(Ⅱ)证明:
因为BK是圆O的切线,BN⊥OK,同(Ⅰ),有OB2=ONOK,又OB=OA,所以OPOM=ONOK,即ONOM=.OPOK又∠NOP=∠MOK,所以△ONP∽△OMK,故∠OKM=∠OPN=90°12.证明:
由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA,故A、B、C、D四点共圆,从而∠CBA=∠CDB。
再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。
因此∠DBA=∠CDB,所以AB∥CD。
13.解:
(Ⅰ)如图,设F为AD延长线上一点∵A,B,C,D四点共圆,∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,即AD的延长线平分∠CDE.(Ⅱ)设O为外接圆圆心,连接AO交BC于H,则AH⊥BC.连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15,∠ACB=75,∴∠OCH=60.设圆半径为r,则r+3r=2+3,a得r=2,外接圆的面积为4π。
200014.解:
(Ⅰ)在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆.(Ⅱ)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°由(Ⅰ)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°.又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.E15.证明:
(1∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DBA∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△BCD(2∵△ABC≌△BCD,B∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB∴△ADE∽△CBD∴DE:
BD=AE:
CD,∴DEDC=AEBD.DC
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