用推理方法研究三角形中位线三角形证明的再认识.docx
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用推理方法研究三角形中位线三角形证明的再认识.docx
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用推理方法研究三角形中位线三角形证明的再认识
教学内容
证明的再认识
(1)
课型
新授课
课时
1
执教
毛中初三数学组
教学目标
知识技能目标
1.进一步探索几何图形的性质,掌握研究几何图形的方法;
2.进一步了解证明的含义,理解证明的必要性,掌握证明的书写格式;
3.能证明三角形内角和定理及推论.
过程性目标
通过三角形内角和定理及推论的证明,体会证明的必要性,注意证明的格式,知道每一步推理都必须有依据,证明的表述必须条理清晰.
教学重点
进一步探索几何图形的性质,掌握研究几何图形的方法
能证明三角形内角和定理及推论.
教学难点
掌握证明的书写格式
教具准备
投影仪,胶片.
教学过程
教师活动
学生活动
(一)情境导入
1.任意画一个四边形,分别用度量和剪拼的方法,求出该四边形的内角和的大小.你能说说理由吗?
2.下列图中的线段和线段的长度是否相等?
用尺度量结果是否与你感觉一样?
学生自主探究,并跃跃欲试,来量一量,发现与自己的的感觉有有偏差
(二)归纳总结.
1.探索几何图形的性质时,常常采用看一看,画一画,比一比,量一量,算一算,想一想,猜一猜等方法得出结论,并在实验操作中对结论作出解释,这是研究几何图形性质的一种基本方法.但有时视觉上的错觉会误导我们,凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确,所以我们要学习用逻辑推理的方法(既证明)去探索图形的性质.
2.逻辑推理需要依据,依据包括公理,等式与不等式的有关性质以及等量代换,定理.
公理:
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等;
(4)全等三角形的对应边、对应角相等.
定理:
在公理与依据的基础上,用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题,并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理.我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面.
明白证明的必要性
师生共同回忆书中的有关性质以及等量代换,定理、公理,并明白证明的书写方法步骤。
(三)实践与探索
例1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度.
已知:
△ABC. 求证:
∠A+∠B+∠C=180°.
分析 回忆以前将三个内角拼在一起,发现三角形的三个内角的和等于180°,因此要设法将三个内角移在一个平角上,任作一个三角形ABC,延长AB到D,得平角ABD,过点B作BE∥AC,由平行线的性质把三个内角拼到点B处
得:
三角形内角和定理:
三角形的内角和等于180度.
说明
(1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线,辅助线常画成虚线;
(2)该定理的推理形式:
因为△ABC,所以∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理);
(3)该定理可以作为进一步推理的依据.利用三角形内角和定理,请同学们用逻辑推理的方法来说明(a)四边形内角和等于360°.(b)n边形的内角和等于(n-2)180°.
例2 如图,△ABC中,∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE相交于点O,且∠A=80°,求∠BOC的度数。
分析 在△ABC中,已知∠A的度数,利用三角形内角和定理,求∠ABC与∠ACB的和,又因为BD,CE分别平分∠ABC与∠ACB可得∠1与∠2的和,在△BOC中由三角形内角和定理可求∠BOC的度数.
师生共同分析,从180°入手,考虑有几种不同的证法。
搞清辅助线的含义及画法并明白定理的推理形式
学生自主探究,应用三角形内角和解题。
(四)小结与作业
小结:
(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的,实践为我们作出猜想提供了材料,推理证明为猜想的真实性提供保证;
(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等;
(3)注意证明的格式,每一步推理都必须有依据,证明的表述必须条理清晰.
各抒己见,并互相补充。
(五)板书设计
教学内容
证明的再认识
(2)
课型
新授课
课时
2
执教
毛中初三数学组
教学目标
知识技能目标
1.掌握推理证明的方法与步骤,培养言之有据的思维习惯;
2.用所学过的公理,定理,定义进行逻辑推理.
过程性目标
在推理过程中体会公理与定理,定理与定理之间的逻辑关系,熟练掌握证明的书写格式
教学重点
通过画图得出二次函数特点
教学难点
识图能力的培养
教具准备
投影仪,胶片.
教学过程
教师活动
学生活动
(一)情境导入
我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度,同学们能否以这个定理为依据,来证明三角形的外角性质?
哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质?
求证:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
已知:
如图,∠CBD是△ABC的一个外角.
求证:
∠CBD=∠A+∠C.
学生先思考三角形的外角性质,再画图证明。
(二)探究归纳
我们已经学习了许多图形的性质,有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理,还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的,如:
全等三角形的判定公理:
边角边、角边角、边边边.除这些方法以外,同学们还有什么方法判断三角形全等?
(角角边)我们一起来证明命题:
有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.
已知:
△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′.
求证:
△ABC≌△A′B′C′.
弄清真命题的分类,并画图证明其中之一:
有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
(二)实践与探索1
例1 如图,D是△ABC中BC边上的一点,E是AD上的一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE.求证:
△AEB≌△AEC.
例2 如图,已知点A,C分别是线段BE、BD上的一点,连结AC,EC,AD.求证:
∠CAD+∠ACE+∠B+∠D+∠E=180°.说明
1.换一个角度看,还可把5个角集中转移到平角∠BAE处;
2.变式:
移动点A和点C的位置,可得一个五角星,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
学生独立分析弄清解法,尽量用多种方法解题。
根据180,考虑
如何转化为三角形的内角和。
学生独立完成。
(三)交流反思,作业
1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的,但仅仅通过观察和实验是不够的,必须要通过证明得到;
2.在推理过程中,不能只根据问题的某种相似性,生搬硬套,要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题.
师生共同总结。
(四)板书设计
(五)教后记
教学内容
用推理方法研究三角形
(1)
课型
新授课
课时
3
执教
毛中初三数学组
教学目标
知识技能目标
1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;
2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.
过程性目标
在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.
教学重点
1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;
2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.
教学难点
在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.
教具准备
投影仪,胶片.
教学过程
教师活动
学生活动
(一)情境导入
请同学们按以下步骤画△ABC.
1.任意画线段BC;
2.以B、C为顶点,在BC的同侧作锐角∠B=∠C,角的两边交于点A.
这个△ABC是一个什么三角形?
怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢?
大家可以用度量或沿AD对折的方法,得到AB=AC,这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法:
等角对等边.同学们是否想过,为什么当△ABC沿AD对折时,AB与AC完全重合?
现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题.
学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.
二、探究归纳.
1.求证:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:
AB=AC.
分析 要证明AB=AC,可设法构造两个全等三角形,使AB,AC分别是这两个全等三角形的对应边,因此可画∠BAC的平分线AD.
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”
说明
(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形.
(2)推理形式:
因为在△ABC中,∠B=∠C.(已知)
所以AB=AC.(等角对等边)
师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。
思考多种语法,这三线合一的理解打下基础。
2.同学们回忆一下,我们学过的等腰三角形具有哪些性质?
(1)等边对等角;
(2)等腰三角形的“三线合一”.以前,我们也用折叠的方法(可演示一下)来认识了这两个性质,现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质.先试着画出图形,写出已知,求证.
求证:
等腰三角形的两个底角相等.
已知:
△ABC中,AB=AC.
求证:
∠B=∠C.
分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形.
等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两个底角相等.(简称为“等边对等角”)
推理形式:
因为△ABC中,AB=AC.(已知)
所以∠B=∠C.(等边对等角)
说明
(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD;
(2)由△BAD≌△CAD,可进一步推得BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,因此AD也是中线,是BC边上的高线.
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合.(简写成“等腰三角形的三线合一”)
回忆学过的等腰三角形性质,并独立证明。
多种语法,发散思维。
理解识记。
(三)实践与探索
例 如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上一点,∠A=2∠EBC.
求证:
BE⊥AC.
分析 由已知条件∠A=2∠EBC,联想到作∠A的平分线AD,则∠CAD=
∠EBC,且AD⊥BC,所以∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°,即BE⊥AC.
师生共同研究。
(四)小结与作业
1.等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等,角相等的重要依据.
2.在研究有关等腰三角形的有关问题时,作顶角的平分线(既底边上的高,中线)是最常见的辅助线,可用“三线合一”的性质.平行线也是常用的辅助线,可以转移角或线段的位置.
作业
各抒己见,并互相补充。
(五)板书设计
教学内容
用推理方法研究三角形
(1)
课型
新授课
课时
4
执教
毛中初三数学组
教学目标
知识技能目标
1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;
2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.
过程性目标
在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.
教学重点
1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;
2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.
教学难点
在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.
教具准备
投影仪,胶片.
教学过程
教师活动
学生活动
(一)情境导入
请同学们按以下步骤画△ABC.
1.任意画线段BC;
2.以B、C为顶点,在BC的同侧作锐角∠B=∠C,角的两边交于点A.
这个△ABC是一个什么三角形?
怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢?
大家可以用度量或沿AD对折的方法,得到AB=AC,这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法:
等角对等边.同学们是否想过,为什么当△ABC沿AD对折时,AB与AC完全重合?
现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题.
学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.
二、探究归纳.
1.求证:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:
AB=AC.
分析 要证明AB=AC,可设法构造两个全等三角形,使AB,AC分别是这两个全等三角形的对应边,因此可画∠BAC的平分线AD.
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”
说明
(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形.
(2)推理形式:
因为在△ABC中,∠B=∠C.(已知)
所以AB=AC.(等角对等边)
师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。
思考多种语法,这三线合一的理解打下基础。
2.同学们回忆一下,我们学过的等腰三角形具有哪些性质?
(1)等边对等角;
(2)等腰三角形的“三线合一”.以前,我们也用折叠的方法(可演示一下)来认识了这两个性质,现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质.先试着画出图形,写出已知,求证.
求证:
等腰三角形的两个底角相等.
已知:
△ABC中,AB=AC.
求证:
∠B=∠C.
分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形.
等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两个底角相等.(简称为“等边对等角”)
推理形式:
因为△ABC中,AB=AC.(已知)
所以∠B=∠C.(等边对等角)
说明
(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD;
(2)由△BAD≌△CAD,可进一步推得BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,因此AD也是中线,是BC边上的高线.
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合.(简写成“等腰三角形的三线合一”)
回忆学过的等腰三角形性质,并独立证明。
多种语法,发散思维。
理解识记。
(三)实践与探索
例 如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上一点,∠A=2∠EBC.
求证:
BE⊥AC.
分析 由已知条件∠A=2∠EBC,联想到作∠A的平分线AD,则∠CAD=
∠EBC,且AD⊥BC,所以∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°,即BE⊥AC.
师生共同研究。
(四)小结与作业
1.等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等,角相等的重要依据.
2.在研究有关等腰三角形的有关问题时,作顶角的平分线(既底边上的高,中线)是最常见的辅助线,可用“三线合一”的性质.平行线也是常用的辅助线,可以转移角或线段的位置.
作业
各抒己见,并互相补充。
(五)板书设计
教学内容
用推理方法研究三角形(3)
课型
新授课
课时
5
执教
毛中初三数学组
教学目标
知识技能目标
1.掌握角平分线的性质定理及判定定理,并能用逻辑推理的方法证明;
2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点;
3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等.
过程性目标:
能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系,增强概念的辨析能力,提高分析能力.
教学重点
目标1、2、3
教学难点
能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系,增强概念的辨析能力,提高分析能力.
教具准备
投影仪,胶片.
教学过程
教师活动
学生活动
(一)情境导入
在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.沿着射线OC对折,发现PD和PE完全重合,即PD=PE,由此,我们得到了角平分线的性质.请同学们来叙述这一性质:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质.
学生自主探究,画图,实验
(二)实践与探索1
1.同学们按上述性质画出图形,写出已知、求证,老师及时补充.
已知:
OC是∠AOB平分线,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足.
求证:
PD=PE.
分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。
角平分线性质定理:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
2.反过来,如果一个点到一个角两边的距离相等,这个点是否就在这个角的平分线上呢?
画出图形,我们通过证明来解答这个问题.
已知:
如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD=QE.
求证:
点Q在∠AOB的平分线上.
分析 要证点Q在∠AOB的平分线上,即QO是∠AOB的平分线,画射线OQ,只要证∠AOQ=∠BOQ,利用H.L.证明△DOQ≌△EOQ,得∠AOQ=∠BOQ.
角平分线判定定理:
到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。
(三)实践与探索2
我们知道,任意三角形的三条角平分线交于一点.现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实.
分析 要证明三条角平分线交于一点,只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上.
如图,已知AD、BE是△ABC的两条角平分线,AD、BE交于点O,CF平分∠ACB.
求证:
点O在CF上.
说明
1.根据角平分线的性质,三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等;
2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心(内切圆的圆心).
例如图,已知BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别是E、D,BE、CD相交于点O,且∠1=∠2.求证:
OB=OC.
分析要证明OB=OC,只要证明△OBD≌△OCE,可利用角平分线及垂线的条件得OD=OE.
师生共同研究该问题的证明方法,要证明三条角平分线交于一点,只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上.
学生独立思考完成证明。
(四)小结与作业
1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据,不必通过全等三角形可简化证明;
2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反,要注意两者应用是的区别;
3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
作业:
1、如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证:
点F在∠DAE的平分线上.
2.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∠BAC的平分线交BC于点D.求证:
AB=CD+AC.
各抒己见,并互相补充。
(五)板书设计
教学内容
用推理方法研究三角形(3)
课型
新授课
课时
6
执教
毛中初三数学组
教学目标
知识技能目标
1.掌握角平分线的性质定理及判定定理,并能用逻辑推理的方法证明;
2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点;
3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等.
过程性目标:
能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系,增强概念的辨析能力,提高分析能力.
教学重点
目标1、2、3
教学难点
能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系,增强概念的辨析能力,提高分析能力.
教具准备
投影仪,胶片.
教学过程
教师活动
学生活动
(一)情境导入
在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.沿着射线OC对折,发现PD和PE完全重合,即PD=PE,由此,我们得到了角平分线的性质.请同学们来叙述这一性质:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质.
学生自主探究,画图,实验
(二)实践与探索1
1.同学们按上述性质画出图形,写出已知、求证,老师及时补充.
已知:
OC是∠AOB平分线,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足.
求证:
PD=PE.
分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。
角平分线性质定理:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
2.反过来,如果一个点到一个角两边的距离相等,这个点是否就在这个角的平分线上呢?
画出图形,我们通过证明来解答这个问题.
已知:
如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD=QE.
求证:
点Q在∠AOB的平分线上.
分析 要证点Q在∠AOB的平分线上,即QO是∠AOB的平分线,画射线OQ,只要证∠AOQ=∠BOQ,利用H.L.证明△DOQ≌△EOQ,得∠AOQ=∠BOQ.
角平分线判定定理:
到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。
(三)实践与探索2
我们知道,任意三角形的三条角平分线交于一点.现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实.
分析 要证明三条角平分线交于一点,只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上.
如图,已知AD、BE是△ABC的两条角平分线,AD、BE交于点O,CF平分∠ACB.
求证:
点O在CF上.
说明
1.根据角平分线的性质,三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等;
2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心(内切圆的圆心).
例如图,已知BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别是E、D,BE、CD相交于点O,且∠1=∠2.求证:
OB=OC.
分析要证明OB=OC,只要证明△OBD≌△OCE,可利用角平分线及垂线的条件得OD=OE.
师生共同研究该问题的证明方法,要证明三条角平分线交于一点,只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上.
学生独立思考完成证明。
(四)小结与作业
1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据,不必通过全等三角形可简化证明;
2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反,要注意两者应用是的区别;
3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
作业:
1、如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证:
点F在∠DAE的平分线上.
2.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∠BAC的平分线交BC于点D.求证:
AB=CD+AC.
各抒己见,并互相补充。
(五)板书设计
教学内容
用推理方法研究三角形(5)
课型
新授课
课时
7
执教
毛中初三数学组
教学目标
知识技能目标
1.正确理解逆命题、逆定理的概念,会识别互逆命题,能正确判断命题的真假;
2.会证明勾股定理的逆定理,能熟练运用勾股定理及其逆定理进行推理、计算.
过程性目标
1.能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系,增强概念的辨析能力,提高分析能力;
2.在证明及运用线段的垂直平分线的定理的过程中,体会两个定理条件与结论之间的变化,进一步提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点
知识技能目标中的1、2
教学难点
过程性目标中的1、2
教具准备
投影仪,胶片.
教学过程
教师活动
学生活动
(一)情境导入
前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理,如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等,这些定理都是命题.再如:
“两直线平行,内错角相等”;“内错角相等,两直线平行”也是命题.观察这些命题的题设与结论,你发现了什么?
学生回忆前面学习的有关定理,自主探究,观察这些命题的题设与结论,发现特点.
(二)实践与探索1
1.命题“两直
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- 推理 方法 研究 三角形 中位线 证明 再认识