常见递归数列通项公式的求解策略.docx

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常见递归数列通项公式的求解策略

常见递归数列通项公式的求解策略

数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。

数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。

一、周期数列

如果数列满足：

存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。

例1、已知数列满足a1=2，an+1=1－，求an。

解:

an+1=1－an+2=1－=－,从而an+3=1－=1＋an－1=an,

即数列是以3为周期的周期数列。

又a1=2，a2=1－=,a3=－1

2,n=3k＋1

所以an=,n=3k＋2（kN）

－1,n=3k＋3

二、线性递归数列

1、一阶线性递归数列：

由两个连续项的关系式an=f（an-1）（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1=f（n）an＋g（n），其中f（n）和g（n）可以是常数，也可以是关于n的函数。

（一）当f（n）=p时，g（n）=q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。

（1）当p=1时，是以q为公差的等差数列。

（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。

（3）当p1且q0时，an＋1=pan＋q可化为an＋1－=p（an－）,此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。

例2、已知：

=且，求数列的通项公式。

解：

=

－=

即数列是以为公比，

为首项的等比数列。

（二）当f（n），g（n）至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。

（1）当f（n）=1时，化成an＋1=an＋g（n）,可用求和相消法求an。

例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an－1（n2）,

（1）求a2,a3;

（2）证明：

an=.

（1）解：

a1=1,a2=3＋1=4,a3=32＋4=13.

（2）证明：

an=3n--1＋an－1（n2）,

an－an－1=3n—1,

an－1－an－2=3n—2,

an－2－an－3=3n—3

……,

a4－a3=33,

a3－a2=32,

a2－a1=31

将以上等式两边分别相加，并整理得:

an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31,

即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1=.

（2）当g（n）=0时,化为an＋1=f（n）an，可用求积相消法求an。

例4、已知数列｛an｝满足a1=－2,an=3nan－1，求通项an。

解：

a1=－2,

an=3nan－1

an－1=3n－1an－2，

an－2=3n－2an－3，

……，

a4=34a3，

a3=33a2，

a2=32a1

将以上等式两边相乘并整理得：

an=3n·3n－13n－2·…·34·33·32·a1=－2·32+3+…+n

=－2·3

（3）当f（n）是非1的常数p时，an＋1=pan＋g（n）可用两边同除以pn+1得，令bn+1=，则bn+1=bn＋，仿照

（1）求出bn之后，再求出an.

例5、设有数列｛an｝:

a1=1,an＋1=an＋，求an.

解：

an＋1=an＋2n+1an＋1=2nan＋2

令bn+1=2n+1an＋1，则bn+1=bn＋2，即｛bn｝是以2为公差，b1=2a1=2为首项的等差数列，

故有bn=2＋（n－1）·2=2n，从而an=，即an=

一般情况，当f（n）不是常数时，仿（3）可求

例6、已知｛an｝中，a1=2,nan＋1=（n＋1）an＋2，求｛an｝的通项公式。

解：

nan＋1=（n＋1）an＋2

令bn+1=，则bn+1=bn＋，仿

（1）可求得

bn=b1＋2[＋＋…＋]=a1＋2（1－）=2＋2（1－）=4－

an=nbn=4n－2

2、二阶线性递归数列：

由三个连续项的关系式an＋1=f（an,an-1）（n,nN）及两个初始值a1,a2所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫二阶线性递归数列。

设数列｛an｝满足an＋1=pan＋qan-1，则其通项an的求法如下：

（1）写出递推式所对应的特征方程x2=px＋q；

（2）解特征方程得到两个根x1,x2；（3）如果x1x2，则可设an=ax1n＋bx2n；如果x1=x2，则可设an=（c＋dn）x1n；（4）由初始值a1,a2求出a,b或c,d.

例7、已知数列｛an｝满足an＋1=－2an＋3an-1，且a1=1,a2=5，求通项公式an.

解：

关于an＋1=－2an＋3an-1所对应的特征方程是x2=－2x＋3，其两个根为1和－3。

设an=a＋b（－3）n,因为a1=1,a2=5,所以

a＋b（－3）=1

a＋b=5

解得a=2,b=，所以an=2＋（－3）n.

例8、已知数列｛an｝中，an＋2=6an+1－9an，且a1=1,a2=2,求an

解：

递归关系an＋2=6an+1－9an所对应的特征方程是

x2=6x－9，其根是二重根3.

设an=（c＋dn）3n,a1=1,a2=2,

3（c＋d）=1

9（c＋2d）=2

解得c=,d=－，所以an=（4－n）3n--2

三、其它递归数列

1、形如an+1=panq（p>0,an>0）型的递归数列，可用对数代换法求an

例9、设数列｛an｝满足a1=4,an+1=5an2，求an.

解：

由an+1=5an2可知an>0，所以两边取对数，得lgan+1=2lgan＋lg5，令bn=lgan，则bn+1=2bn＋lg5，化为

bn+1＋lg5=2（bn＋lg5），即｛bn＋lg5｝是以2为公比，b1＋lg5=lga1＋lg5=lg20为首项的等比数列，从而有：

bn＋lg5=（lg20）2即bn=（lg20）2－lg5，所以lgan=lg,

即an=

2、形如n+1=型的递归数列，可用倒数代换法求（0）

例10、已知数列｛n｝满足n+1=，且a1=－2,求通项公式n

解：

n+1=两边取倒数得，令bn=，则bn+1=bn＋，可化为bn+1－2=（bn－2），即｛bn－2｝是以为公比，以b1－2=－为首项的等比数列，bn－2=－即－2=－,n=

3、分式递归数列n+1=（c0,）型的通项公式的求法：

（1）写出递推式所对应的特征方程=；

（2）解特征方程得到两个根x1,x2；（3）如果x1x2，则数列｛｝是等比数列；如果x1=x2，则数列｛｝是等差数列；（4）由等比数列或等差数列的通项公式求n

例11、（1987年中国数学奥林匹克集训队习题）设｛n｝满足=2,n=（n1），求n

解：

由递推式n=所对应的特征方程=得其根为x1=－2,x2=3,

÷=×=－4

数列｛｝是以－4为公比，=－4为首项的等比数列，则有=－4·（－4）n

n=

线性二项递归数列的通项及应用

一个数列{an}，如果它的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式an=f（n）表示时，这个公式叫做这个数列的通项公式。

一般地说，给出一个数列，就是给出它的构成规律。

常见的用解析式给出它构成规律的方法有通项公式法以及递推公式法。

“给出数列的递推公式，求通项公式”是数列教学的一个难点。

下面先就一道习题的解法对“线性二项递归数列的通项”求解方法做一简单小结。

例：

已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+7,求{an}的通项公式。

解法一：

（配凑法）

∵a1=3,an+1=2an+7

令an+1–p=2（an-p）

则an+1=2an-p,

比较系数得p=-7

则      =2（常数）

由定义知，数列{an+7}是公比q=2的等比数列，

则an+7=（a1+7）·2n-1  

又∵a1=3,则得出数列{an}的通项公式为：

an=10·2n-1-7

解法二：

（叠加法）

∵an+1=2an+7

∴an=2an-1+7

2an-1=22an-2+2×7

22an-2=23an-3+22×7

…

2n-2a2=2n-1a1+2n-2×7

将以上n-1个式子叠加，两边相消得：

an=2n-1·a1+7（1+2+22+…+2n-2）

          =2n-1·a1+7（2n-1-1）

由于a1=3

∴得an=10·2n-1-7

解法三：

（解方程组法） 

∵an+1=2an+7     ① 

 ∴an=2an-1+7    ②  

①－②得：

an+1-an=2（an-an-1）

设bn=an+1－an,则     =2

 b1=a2－a1=2a1+7－a1=10

 bn=10·2n-1

 an+1－an=10·2n-1

联立方程组

解得an=10·2n-1－7

解法四：

（递归法）

∵an+1=2an+7

∴an=2an-1+7

=2（2an-2+7）+7=22an-2+2×7+7

=22（2an-3+7）+2×7+7

=23an-3+22×7+2×7+7

=……

=2n-1a1+（2n-2×7+2n-1×7+…+2×7+7）

=2n-1·a1+7（2n-1－1）

∵a1=3  

∴an=10·2n-1－7

解法五：

（不动点法）

设f（x）=ax+b（a1,b0）,则f（x）的不动点是

f（x）的n次迭代函数的解析式可表示如下：

f[n]（x）=an（x-  ）+

∵an+1=2an+7,a1=3

∴an=2an-1+7

=2n-1（a1-   ）+

=10·2n-1-7

解法六：

（特征根法）

若数列{an}中,a1已知,an+1=a·an+b（a≠1,b≠0）

则称x=ax+b为{an}的特征方程，其根x=  称为特征根。

这时有如下结论：

an=（a1-x）·an-1+x

对于本题，由于a1=3,a=2,b=7.∴x=   =-7

∴an=10·2n-1-7

[应用举例]

 例1：

小王贷款a元用于购房，采用月均等额本息还款方式，若m个月将款全部还清，月利率为r，求每月还款额x。

解：

设第n（n≤m）次还款后，小王还欠an元钱，这an元钱到下月增值到an（1+r）元，还x元后，还有an+1=（1+r）an-x。

可知小王每次还款后仍欠银行的钱依次形成一个数列{an}，其中a1=a（1+r）-x,an+1=（1+r）an-x     

所以有， 

an=（1+r）an-1-x

=（1+r）[（1+r）an-2-x]-x

=（1+r）2an-2-（1+r）x-x

=（1+r）3an-3-（1+r）2x-（1+r）x-x

=（1+r）4an-4-（1+r）3x-（1+r）2x-（1+r）x-x

=LL

=（1+r）n-1a1-x[（1+r）n-2+（1+r）n-3+L+（1+r）+1]

=（1+r）n-1[a（1+r）-x]-x