解答题相似三角形判定和性质学生doc.docx
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解答题相似三角形判定和性质学生doc
11.(2011四川眉山,25,9分)如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F.
(1)求证:
∠DCP=∠DAP;
(2)若AB=2,DP:
PB=1:
2,且PA⊥BF,求对角线BD的长.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的性质。
12.(2011年四川省绵阳市,24,12分)已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B.
(1)求m的值;
(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:
△ABC是等腰直角三角形;
(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C′,且与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点,如图.请在抛物线C′上求点P,使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.
考点:
二次函数综合题.
25、(2011年四川省绵阳市,25,14分)已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD或BD的延长线,垂足为E,如图.
(1)若BD是AC的中线,求
.的值;
(2)若BD是∠ABC的角平分线,求
的值;
(3)结合
(1)、
(2),试推断
的取值范围(直接写出结论,不必证明),并探究
的值能小于
吗?
若能,求出满足条件的D点的位置;若不能,说明理由.
考点:
相似三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;解直角三角形.
13.(2011成都,20,10分)如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点.
(1)若BK=
KC,求
的值;
(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=
AD时,猜想线段AB.BC.CD三者之间有怎样的等量关系?
请写出你的结论并予以证明.再探究:
当AE=
AD(n>2),而其余条件不变时,线段AB,BC,CD三者之间又有怎样的等量关系?
请直接写出你的结论,不必证明.
考点:
相似三角形的判定与性质;角平分线的性质。
14.2011•乐山)选做题:
从甲、乙两题中选做一题,如果两题都做,只以甲题计分.
题乙:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,AD=2,BC=BD=3,AC=4.
(1)求证:
AC⊥BD;
(2)求△AOB的面积.
我选做的是 题.
考点:
根与系数的关系;分式的化简求值;勾股定理的逆定理;梯形;相似三角形的判定与性质。
15.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DE交于点O.若△ADE的面积为S,则四边形B0GC的面积=
【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的面积;三角形中位线定理.
16.(2011•乐山)如图
(1),在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.
(1)如图
(2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 .证明:
(2)如图(3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是
.证明:
(3)如图
(1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是
.(写出关系式,不必证明)
考点:
相似三角形的判定与性质;勾股定理。
17.(2011•南充,19,8分)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.
(1)求证:
△ABF∽△DFE
(2)若sin∠DFE=
,求tan∠EBC的值.
考点:
相似三角形的判定与性质;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);解直角三角形。
专题:
应用题;证明题。
18.(2011四川遂宁,22,9分)已知AB是⊙O的直径,弦AC平分∠BAD,AD⊥CD于D,BE⊥CD于E.
求证:
(1)CD是⊙O的切线;
(2)CD2=AD•BE.
考点:
切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。
19.(2011四川雅安,24,10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)如果BC=8,AB=5,求CE的长.
考点:
切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。
专题:
证明题。
20.已知:
在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧
上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.
(1)求证:
AC⊥BH
(2)若∠ABC=45°,⊙O的直径等于10,BD=8,求CE的长.
考点:
圆周角定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
21.(2011杭州,22,10分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为E,F.
(1)求证:
△FOE≌△DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求
的值.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;直角梯形;锐角三角函数的定义.
22.(2011杭州,24,12分)图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为h1,h2,△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形.
(1)求蝶形面积S的最大值;
(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求h1与h2满足的关系式,并求h2的取值范围.
考点:
相似三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的判定与性质;轴对称的性质;中心对称;平行线分线段成比例.
23.(2011浙江嘉兴,16,4分)如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连接CD.OD,给出以下四个结论:
①AC∥OD;②CE=OE;③△ODE∽△ADO;④2CD2=CE•AB.其中正确结论的序号是 ①④ .
考点:
相似三角形的判定与性质;三角形内角和定理;等腰三角形的判定;圆心角.弧.弦的关系;圆周角定理.
24.(2011浙江义乌,23,10分)如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连接BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
(1)如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在 相似 关系(填“相似”或“全等”),并说明理由;
(2)如图2,设∠ABP=β.当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等?
若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合.已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面积为S,求S关于x的函数关系式.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质。
25.(2010广东,21,9分)如图
(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90º,固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G,H点,如图
(2)
(1)问:
始终与△AGC相似的三角形有及;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图
(2)的情形说明理由)
(3)问:
当x为何值时,△AGH是等腰三角形.
考点:
相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等腰直角三角形;旋转的性质
27.(2011襄阳,25,10分)如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.
(1)求证:
∠ADP=∠EPB;
(2)求∠CBE的度数;
(3)当
的值等于多少时,△PFD∽△BFP?
并说明理由.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质。
分析:
(1)根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角,根据同角的余角相等,即可求证;
(2)首先证得△PAD≌△EGP,可以证得△BCG是等腰直角三角形,可以证得∠EBG=45°,即可证得∠CBE=45°;
(3)这两个三角形是直角三角形,若相似,则对应边的比相等,即可求得
的值.
28.(2011湖北武汉,24,10分)
(1)如图1,在△ABC中,点D.E.Q分别在ABACBC上,且DE∥边长,AQ交DE于点P,求证:
=
;
(2)如图,△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.
①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;
②如图3,求证:
MN2=DM•EN.
考点:
相似三角形的判定与性质;正方形的性质。
29.(2011湖南怀化,21,10分)如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH.使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上.AD与HG的交点为M.
(1)求证:
=
;
(2)求这个矩形EFGH的周长.
考点:
相似三角形的判定与性质;矩形的性质。
30.如图①,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到△ABD和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起.
(1)操作:
如图②,将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合),FE交DA于点G(G点不与D点重合).求证:
BH•GD=BF2
(2)操作:
如图③,△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合),且CF始终经过点A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG.
探究:
FD+DG=DB.请予证明.
【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质;旋转的性质.
31.(2011福建莆田,25,14分)已知菱形ABCD的边长为1,∠ADC=60º,等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。
(1)(4分)特殊发现:
如图1,若点E、F分别是DC、CB的中点,求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动,记等边△AEF的外心为点P。
①(4分)猜想验证:
如图2,猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②(5分)拓展运用:
如图3,猜想△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断
是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;菱形的性质;三角形的外接圆与外心.
32.(2011甘肃兰州,27,12分)已知:
如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。
(1)求证:
四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?
若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.
33.(2011湖南益阳,21,12分)如图是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=1.
(1)证明:
△ABE≌△CBD;
(2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅助线,不找全等的相似三角形);
(3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论;
(4)求线段BD的长.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰梯形的性质.
34.(2011•江西,25,10)某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨:
定义:
如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上,那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
结论:
在探讨过程中,有三位同学得出如下结果:
甲同学:
在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形.
乙同学:
在直角三角形中,两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
丙同学:
在不等边锐角三角形中,两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
任务:
(1)填充甲同学结论中的数据;
(2)乙同学的结果正确吗?
若不正确,请举出一个反例并通过计算给予说明,若正确,请给出证明;
(3)请你结合
(2)的判定,推测丙同学的结论是否正确,并证明.
考点:
相似三角形的判定与性质;正方形的性质。
35.(2011年江西省,25,10分)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
设∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在两射线上.
活动一:
如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.
数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗?
答:
能(填“能“或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.
①θ=22.5度;
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an(n为正整数,如A1A2=a1,A3A4=a2,…),求出此时a2,a3的值,并直接写出an(用含n的式子表示).
活动二:
如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1.
数学思考:
(3)若已经向右摆放了3根小棒,则θ1=2θ,θ2=3θ,θ3=4θ(用含θ的式子表示);
(4)若只能摆放4根小棒,求θ的范围.
考点:
相似三角形的判定与性质;一元一次不等式组的应用;平行线的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.
36.在△ABC中,∠A=90°,点D在线段BC上,∠EDB=
∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F.
(1)当AB=AC时,(如图1),
①∠EBF=22.5°;
②探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明;
(2)当AB=kAC时(如图2),求
的值(用含k的式子表示).
考点:
相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰直角三角形.
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