则实数a取值的集合为.
答案
(1)D
(2)
应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论
【例2】
(1)已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k=( )
A.-B.C.0D.-或0
(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于________.
解析
(1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示.
由图可知,若要使不等式组表平面区域是直角三角形,只有当直线kx-y+1=0与直线y轴或y=2x垂直时才满足.结合图形可知斜率k的值为0或-.
(2)不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中t≠0.
若该曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,
|F1F2|=3t=2c,e====;
若该曲线为双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a,
|F1F2|=3t=2c,e====.
答案
(1)D
(2)或
探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.
2.相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.
【训练2】设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.
解析 若∠PF2F1=90°.则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,
解得|PF1|=,|PF2|=,所以=.
若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.
综上知,=或2.
答案 或2
应用3 由变量或参数引起的分类讨论
【例3】已知f(x)=x-aex(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
解
(1)f′(x)=1-aex,
当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)是(-∞,+∞)上的单调递增函数;
当a>0时,由f′(x)=0得x=-lna,
若x∈(-∞,-lna),则f′(x)>0;当x∈(-lna,+∞),则f′(x)<0.
所以函数f(x)在(-∞,-lna)上的单调递增,在(-lna,+∞)上的单调递减.
(2)f(x)≤e2xa≥-ex,
设g(x)=-ex,则g′(x)=.
当x<0时,1-e2x>0,g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递增.
当x>0时,1-e2x<0,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.
所以g(x)max=g(0)=-1,所以a≥-1.
故a的取值范围是[-1,+∞).
探究提高 1.
(1)参数的变化取值导致不同的结果,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等.
(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在,涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.
2.分类讨论要标准明确、统一,层次分明,分类要做到“不重不漏”.
【训练3】已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.当t≠0时,求f(x)的单调区间.
解 f′(x)=12x2+6tx-6t2.
令f′(x)=0,解得x=-t或x=.
因为t≠0,所以分两种情况讨论:
①若t<0,则<-t.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-t,+∞)
f′(x)
+
-
+
f(x)
所以,f(x)的单调递增区间是,(-t,+∞);
f(x)的单调递减区间是.
②若t>0,则-t<.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-t)
f′(x)
+
-
+
f(x)
所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-t),;
f(x)的单调递减区间是.
热点二 转化与化归思想
应用1 特殊与一般的转化
【例4】
(1)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F,作一直线交抛物线于P,Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p,q,则+等于( )
A.2aB.C.4aD.
(2)(2017·浙江卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是________,最大值是________.
解析
(1)抛物线y=ax2(a>0)的标准方程为x2=y(a>0),焦点F.
过焦点F作直线垂直于y轴,则|PF|=|QF|=,
∴+=4a.
(2)由题意,不妨设b=(2,0),a=(cosθ,sinθ),
则a+b=(2+cosθ,sinθ),a-b=(cosθ-2,sinθ).
令y=|a+b|+|a-b|
=+
=+,
令y=+,
则y2=10+2∈[16,20].
由此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,
(|a+b|+|a-b|)min==4,
即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是2.
答案
(1)C
(2)4 2
探究提高 1.一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.
2.对于某些选择题、填空题,如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.
【训练4】
(1)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,那么( )
A.a1a8>a4a5B.a1a8C.a1+a8>a4+a5D.a1a8=a4a5
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则=________.
解析
(1)取特殊数列{an},其中an=n(n∈N*).
显然a1·a8=8(2)令a=b=c,则△ABC为等边三角形,且cosA=cosC=,代入所求式子,得==.
答案
(1)B
(2)
应用2 函数、方程、不等式之间的转化
【例5】 已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t∈[-1,+∞),使得对任意的x∈[1,m],m∈Z且m>1,都有f(x+t)≤3ex,试求m的最大值.
解 ∵当t∈[-1,+∞)且x∈[1,m]时,x+t≥0,
∴f(x+t)≤3exex+t≤ext≤1+lnx-x.
∴原命题等价转化为:
存在实数t∈[-1,+∞),使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1,m]恒成立.
令h(x)=1+lnx-x(1≤x≤m).∵h′(x)=-1≤0,
∴函数h(x)在[1,+∞)上为减函数,
又x∈[1,m],∴h(x)min=h(m)=1+lnm-m.
∴要使得对任意x∈[1,m],t值恒存在,
只需1+lnm-m≥-1.
∵h(3)=ln3-2=ln>ln=-1,
h(4)=ln4-3=ln∴满足条件的最大整数m的值为3.
探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助.
2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.
【训练5】在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:
x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.
解析 设点P(x,y),且A(-12,0),B(0,6).
则·=(-12-x,-y)·(-x,6-y)=x(12+x)+y(y-6)≤20,
又x2+y2=50,
∴2x-y+5≤0,则点P在直线2x-y+5=0上方的圆弧上(含交点),
即点P在MCN上,
联立解得x=-5或x=1,
结合图形知,-5≤x≤1.
故点P横坐标的取值范围是[-5,1].
答案 [-5,1]
应用3 正与反、主与次的转化
【例6】
(1)设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在[-2,2]上变化时,y恒取正值,则x的取值范围是________.
(2)若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是________.
解析
(1)设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,
则f(t)是一次函数,当t∈[-2,2]时,f(t)>0恒成立,
则即
解得log2x<-1或log2x>3,即08,
故实数x的取值范围是∪(8,+∞).
(2)g′(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,
则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.
由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥-3x.
当x∈(t,3)时恒成立,∴m+4≥-3t恒成立,
则m+4≥-1,即m≥-5;
由②得m+4≤-3x,当x∈(t,3)时恒成立,则m+4≤-9,即m≤-.
∴使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围是.
答案
(1)∪(8,+∞)
(2)
探究提高 1.第
(1)题是把关于x的函数转化为在[0,4]内关于t的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的参数,将其看作是“主元”,而把其它变元看作是参数.
2.第
(2)题是正与反的转化,由于不为单调函数有多种情况,先求出其反面,体现“正难则反”的原则.
【训练6】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围为________.
解析 由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,
令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.
对-1≤a≤1,恒有g(x)<0,即φ(a)<0,
∴即解得-故当x∈时,对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0.
答案