八年级下册数学.docx
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八年级下册数学
1.1等腰三角形
基础知识基本技能
1.等腰三角形
(1)概念:
有两边相等的三角形叫等腰三角形,其中相等的两边叫腰,另一条边叫底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.
(2)理解:
①等腰三角形是特殊的三角形,它具备三角形所有的性质,如内角和是180°,两边之和大于第三边等.②等腰三角形是轴对称图形,这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法.
破疑点等腰三角形有关概念的认识
(1)对于等腰三角形问题,我们说角或边时,一般都要指明是顶角还是底角,是底边还是腰,没说明则都有可能,要讨论解决,这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方;
(2)等腰三角形顶角可以是直角,是钝角或锐角,而底角只能是锐角.
【例1】等腰三角形两边长分别是5cm和11cm,则它的周长是( ).
A.27cmB.22cm
C.27cm或22cmD.无法确定
2.等腰三角形性质1
(1)性质1:
等腰三角形的两个底
角相
等(简写成“等边对等角”).
(2)理解:
这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明,因而更简便.
(3)适用条件:
必须在同一个三角形中.
(4)应用模式:
在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C.
【例2-1】已知等腰三角形的一个角为40°,则其顶角为( ).
A.40°B.80°
C.40°或100°D.100°
【例2-2】如图,AD、BC相交于O,AB∥CD,OA=OB,求证:
∠C=∠D.
3.等腰三角形性质2
(1)性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质.
(2)含义:
这是等腰三角形所特有的性质,它实际上是一组定理,应用过程中,只要是在等腰三角形前提下,知道是其中“一线”,就可以说明是其他的“两线”
,性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系,所以应用非常广泛.
(3)对称性:
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.
(4)应用模式:
如图,在△ABC中,
①∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC(或BD=CD);
②∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC);
③∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴BD=DC(或AD⊥B
C).
解技巧“三线合一”的应用 因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的,所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的,一般得出一个结论,因此应用要灵活.
【例3】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,交BC于D,BD=5cm,求底边BC的长.
4.等腰三角形的判定
(1)判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
(2)与性质的关系:
判定定理与性质定理是互逆的,性质:
→
;
判定:
→
.
(3)理解:
性质和判定应用的前提都是在同一三角形中,并且不经过三角形全等的证明,直接由等边得等角或由等角得等边,所以应用起来更简单、便捷.
破疑点
等腰三角形的判定方法的理解
教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种:
一是判定定理;二是定义.另外还有很多方法,如在同一个三角形中,三线中两线重合,也能说明是等腰三角形.但不常用,一般是通过推理得出角相等或边相等,再得出是等腰三角形.
【例4】如图,BE平分∠ABC,交AC于E,过E作DE∥BC,交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形.
5.等边三角形的概念和性质
(1)等边三角形
①概念:
三边都相等的三角形是等边三角形.
②认识:
它是特殊的等腰三角形,具备等腰三角形的所有性质.
(2)性质:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
(3)拓展:
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,它三边相等,三个内角相等,各边上的高、中线,对应的角平分线重合,且长度相等.
【例5】如图,点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上,且BM=CN,AM、BN交于点Q.求证:
∠BQM=60°.
6.等边三角形的判定
(1)判定定理:
①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
(2)判定方法:
等边三角形的判定方法有三种:
一是定义,另运用两个定理.
(3)拓展理解:
对于判定定理①,有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形.
解技巧巧用条件证明等边三角形 在证明三角形是等边三角形时,根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明.若已知三边关系,一般选定义法;若已知三角关系,一般选判定定理①;若已知该三角形是等腰三角形,则选判定定理②.
【例6】如图,等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?
试说明你的结论.
基本方法基本能力
7.等腰三角形性质和判定的综合应用
类似于全等三角形的性质和判定的关系,等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的.
一方面等腰三角形是特殊的三角形,由等腰三角形性质,可以知道许多相等的线段,相等的角,还能知道垂直关系,成倍数关系的线段或角,所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、
线段相等或垂直关系等;另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用,直接由线段相等得到角相等,由角相等到线段相等,省去了全等的证明,简化了过程,因此很多时候,等腰三角形性质和判定的应用更广泛.注意:
等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中.
【例7】如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是BC边上的高,求证:
CD=AB+BD.
图1 图2
8.巧用“三线合一”性质解题
(1)性质:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,简称“三线合一”性质;
(2)应用:
它是等腰三角形特有的性质,这条线段是中线、高,也是角平分线,它包含有线段相等、角相等、垂直等关系,涉及量多,应用广泛,是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法.
构造“三线合一”解决等腰三角形问题 在等腰三角形问题中,最常添加的辅助线就是作底边上的高,或作顶角的平分线,或作底边上的中线,这样就可以由其中一线得到其他两线,从而知道更多的条件,以便更好地完成计算、证明.
【例8】已知:
如图a所示,△ABC中,AB=AC,BF是AC边上的高,求证:
∠FBC=
∠BAC.
图a 图b
9.等边三角形的应用
等边三角形也称正三角形,它是最特殊的三角形,它除了三边相等,三个内角相等,且每个角都是60°外,还具有很多特殊的性质:
如,证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可;同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等,并且任何一条高(或中线、顶角的平分线)将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形;它的高和边长也存在着特殊的比例关系,因此已知是等边三角形,就可以知道其中的许多等量关系.
等边三角形的判定也具有自己独特的特点,可以由普通三角形满足条件直接判定,也可以在等腰三角形
的基
础上进行判定.
【例9】(学科内综合题)如下图所示,在等边三角形ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F,试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理.
思维拓展创新应用
10.面积法证明等腰三角形的性质
面积法是解决几何问题常用的一种的方法,它巧妙地运用面积之间的关系,通过计算的方式,求线段的长度,或用来证明线段之间的数量关系,有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷,更巧妙,因而在特定条件下能出奇制胜,是一种很好的方法.
面积法的运用,一般以同一个三角形的面积是相等的为基础,运用不同求法,即底不同、高不同、但面积都等于底×高的一半,或将一个图形分解成不同的图形来求面积,但面积之和相等.通过面积相等联系起各量之间的关系,再运用等式的性质,通过化简求出某些线段的长,或计算出某些线段之间的数量(如比例)关系.
解技巧巧用面积法证明线段
的关系 因为直角三角形的特殊性,所以面积法最常用在直角三角形中求斜边上的高,有时也用在等腰三角形中证明线段相等或求线段的和.
11.等
腰三角形中的“二推一”模式应用
在等腰三角形问题中,“等边、角平分线(等角)、平行”是出现最多,最常见的数量与位置关系,若这三个关系出现在同一图中,一般以其中任意两个条件为题设,推导、证明出第三个条件成立,因此我们称它为等腰三角形中的“二推一”.
(1)基本图形:
等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况,一种是角平分线在外,要用到一个外角等于和它不相邻的两内角和;另一种是角平分线在内,基本图形如图①和图②所示,
演变图形类型较多,主要有以下几种:
(2)方法:
通过角相等作为纽带,将线段相等、线段平行联系起来,在此过程中要用到等量代换得出的角相等,方式一般是:
→
→
;
→
→
.
【例11-1】如图1,已知,在△ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的高,G为底边BC上任一点,GF⊥AB,GE⊥AC,垂足分别为F、E.
求证:
GF+GE=BD.
【例11-2】如图,在△ABC中,∠CAE是△ABC的外角,在下列三项中:
①AB=AC;②AD平分∠CAE;③AD∥BC,选择其中两项为题设,另一项为结论,组成一个真命题,并证明.
【例11-3】如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的角平分线,MN过O点,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为___.
【例11-4】如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线BO、CO相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,△OEF的周长=10,求BC的长.
1.2直角三角形
(一)
【学习目标】
1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法。
2、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【学习重难点】重点:
勾股定理及其逆定理。
难点:
结合具体例子了解逆命题的概念。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、直角三角形:
有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
2、边的关系:
直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
角的关系:
直角三角形的两个锐角_________。
3、有两个角___________的三角形是直角三角形。
4、在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的________。
5、阅读教材:
第2节《直角三角形》
二、教材精读
6、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。
解:
①S
=(上底+下底)×高=
②S
=
因为S
=S
,所以
归纳:
勾股定理:
直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
7、已知:
如图,在△ABC,AB2+AC2=BC2,求证:
△ABC是直角三角形。
证明:
作出Rt△A’B’C’,使∠A=90°,A’B’=AB,A’C’=AC,则
B’C’2=_____________(勾股定理)
∵AB2+AC2=BC2,A’B’=AB,A’C’=AC,
∴BC2=B’C’2
∴BC=_______
∴在△ABC和△A’B’C’中,
∴△ABC≌△A’B’C’(______)
∴∠A=∠A’=90°(全等三角形的对应角相等)
因此,△ABC是直角三角形。
归纳:
1、勾股定理的逆定理:
∵AB2+AC2=BC2,,∴∠___=90°(△ABC是直角三角形)
2、互逆命题:
在两个命题中,如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______,那么这两个命题称为__________,其中一个命题称为另一个命题的__________。
3、互逆定理:
一个命题是真命题,它的逆命题却______是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为________,其中一个定理称为另一个定理的________。
模块二合作探究
8、已知:
如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=
。
(1)求DC的长;
(2)求AD的长;(3)求AB的长;(4)求证:
△ABC是直角三角形.
9、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图5所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?
最低造价是多少?
10、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假。
(1)如果ab=0,那么a=0,b=0;
(2)初三(6)班有62位同学;(3)等边对等角;
11、找出下列定理有哪些存在逆定理,并把它写出来。
(1)如果
,则
(2)全等三角形对应角相等(3)对顶角相等
模块三形成提升
1、直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为;直角三角形的两边分别为13和5,则另一条边为。
如果三角形的三边长是6、10、8,则这个三角形是三角形。
2、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,求:
AD
模块四小结反思
一、本课知识:
1、勾股定理:
直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
2、如果三角形两边的平方___等于第三边的______,那么这个三角形是____三角形。
1.3直角三角形
(二)
【学习目标】
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法,能够证明直角三角形全等“HL”判定定理
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】直角三角形全等“HL”判定定理。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、一般三角形全等判定方法有:
。
2、直角三角形的判定:
①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
②有两个角互余的三角形是_____三角形。
③如果三角形两边的平方___等于第三边的______,那么这个三角形是____三角形。
3、阅读教材:
第2节《直角三角形》
二、教材精读
4、已知:
如图,△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°,且AB=A’B’,BC=B’C’,
求证:
△ABC≌△A’B’C’
证明:
Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
AC2=___________,A’C’2=____________2,(勾股定理)
∵AB=A’B’,BC=B’C’,’
∴AC2=______∴AC=_______
∴△ABC≌A’B’C’()
归纳:
斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。
(“斜边、直角边”或“__”)
推理格式:
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°
∵AB=A’B’
BC=B’C’
∴△ABC____A’B’C’(HL)
实践练习:
如图,∠B=∠E=90°,AC=DF,BF=EC。
求证:
BA=ED。
模块二合作探究
5、在Rt△ABC中,∠C=90°,且DE⊥AB,CD=ED,求证:
AD是∠BAC的角平分线。
6、如图,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E是AB上的一点,求证:
CE=DE。
7、用三角尺可以作角平线,如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M、N,使OM=ON,再过点M作OA的垂线,过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线。
证明:
模块三形成提升
1、如图,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90°。
(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(3)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
2、如图,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,BD=CD。
求证:
EB=FC。
模块四小结反思
一、本课知识:
1、斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。
(“斜边、直角边”或“__”)
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