普通高等学校招生全国统一考试数学试题浙江卷含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学试题浙江卷含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)
参考公式:
若事件A,B互斥,则
若事件A,B相互独立,则
若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中
分别表示台体的上、下底面积,
表示台体的高
柱体的体积公式
其中
表示柱体的底面积,
表示柱体的高
锥体的体积公式
其中
表示锥体的底面积,
表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中
表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则
A.
B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}
2.双曲线
的焦点坐标是
A.(−
,0),(
,0)B.(−2,0),(2,0)
C.(0,−
),(0,
)D.(0,−2),(0,2)
3.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是
A.2B.4C.6D.8
4.复数
(i为虚数单位)的共轭复数是
A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i
5.函数y=
sin2x的图象可能是
A.
B.
C.
D.
6.已知平面α,直线m,n满足m
α,n
α,则“m∥n”是“m∥α”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.设0
ξ
0
1
2
P
则当p在(0,1)内增大时,
A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小
8.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S−AB−C的平面角为θ3,则
A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1
9.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为
,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是
A.
−1B.
+1C.2D.2−
10.已知
成等比数列,且
.若
,则
A.
B.
C.
D.
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:
“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。
凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?
”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为
,
,
,则
当
时,
___________,
___________.
12.若
满足约束条件
则
的最小值是___________,最大值是___________.
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=
,b=2,A=60°,则sinB=___________,c=___________.
14.二项式
的展开式的常数项是___________.
15.已知λ∈R,函数f(x)=
,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是___________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.
16.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
17.已知点P(0,1),椭圆
+y2=m(m>1)上两点A,B满足
=2
,则当m=___________时,点B横坐标的绝对值最大.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(
).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=
,求cosβ的值.
19.(本题满分15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:
AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
20.(本题满分15分)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列
{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
21.(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(Ⅰ)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴;
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+
=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
22.(本题满分15分)已知函数f(x)=
−lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:
f(x1)+f(x2)>8−8ln2;
(Ⅱ)若a≤3−4ln2,证明:
对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分,满分40分。
1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.D8.D9.A10.B
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算。
多空题每题6分,单空题每题4分,满分36分。
11.8;1112.−2;813.
14.7
15.
16.126017.5
三、解答题:
本大题共5小题,共74分。
18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ)由角
的终边过点
得
,
所以
.
(Ⅱ)由角
的终边过点
得
,
由
得
.
由
得
,
所以
或
.
19.本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力。
满分15分。
方法一:
(Ⅰ)由
得
,
所以
.
故
.
由
,
得
,
由
得
,
由
,得
,所以
,故
.
因此
平面
.
(Ⅱ)如图,过点
作
,交直线
于点
,连结
.
由
平面
得平面
平面
,
由
得
平面
,
所以
是
与平面
所成的角.
由
得
,
所以
,故
.
因此,直线
与平面
所成的角的正弦值是
.
方法二:
(Ⅰ)如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下:
因此
由
得
.
由
得
.
所以
平面
.
(Ⅱ)设直线
与平面
所成的角为
.
由(Ⅰ)可知
设平面
的法向量
.
由
即
可取
.
所以
.
因此,直线
与平面
所成的角的正弦值是
.
20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。
满分15分。
(Ⅰ)由
是
的等差中项得
,
所以
,
解得
.
由
得
,
因为
,所以
.
(Ⅱ)设
,数列
前n项和为
.
由
解得
.
由(Ⅰ)可知
,
所以
,
故
,
.
设
,
所以
,
因此
,
又
,所以
.
21.本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。
满分15分。
(Ⅰ)设
,
,
.
因为
,
的中点在抛物线上,所以
,
为方程
即
的两个不同的实数根.
所以
.
因此,
垂直于
轴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
所以
,
.
因此,
的面积
.
因为
,所以
.
因此,
面积的取值范围是
.
22.本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。
满分15分。
(Ⅰ)函数f(x)的导函数
,
由
得
,
因为
,所以
.
由基本不等式得
.
因为
,所以
.
由题意得
.
设
,
则
,
所以
x
(0,16)
16
(16,+∞)
-
0
+
2-4ln2
所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,
故
,
即
.
(Ⅱ)令m=
,n=
,则
f(m)–km–a>|a|+k–k–a≥0,
f(n)–kn–a<
≤
<0,
所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,
所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.
由f(x)=kx+a得
.
设h(x)=
,
则h′(x)=
,
其中g(x)=
.
由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3–4ln2,
故–g(x)–1+a≤–g(16)–1+a=–3+4ln2+a≤0,
所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)–kx–a=0至多1个实根.
综上,当a≤3–4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
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