高三数学一轮复习专练82空间几何体的表面积和体积.docx
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高三数学一轮复习专练82空间几何体的表面积和体积
巩固双基,提升能力
一、选择题
1.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )
A.32 B.16+16
C.48 D.16+32
解析:
由三视图知,四棱锥是底面边长为4,高为2的正四棱锥,∴四棱锥的表面积是16+4×
×4×2
=16+16
,故选B.
答案:
B
2.设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.9π+42B.36π+18
C.
π+12D.
π+18
解析:
该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求体积为2×32+
π
3=
π+18,故选D.
答案:
D
3.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
如图,设球心为O,OS=OA=OC得∠SAC=90°,又∠ASC=45°,所以AS=AC=
SC,同理BS=BC=
SC,可得SC⊥面AOB,则VS-ABC=
S△AOB·SC=
×
×4=
,故选C.
答案:
C
4.(2013·山西演练)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )
A.
πB.
π
C.
πD.
π
解析:
由三视图可知该几何体是底面边长为2,高为1的正三棱柱.其外接球的球心为上下底面中心连线的中点.
∴R2=
2+
2=
,S=4πR2=
π,故选C.
答案:
C
5.(2012·课标全国)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6B.9
C.12D.18
解析:
该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3,此几何体的体积为V=
×
×6×3×3=9.正确地理解三视图是解题的关键.
答案:
B
6.(2012·课标全国)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
设三角形ABC的中心为M,球心为O,则OM=
=
,则点S到平面ABC的距离为
.
所以V=
×
×
×
=
,所以选A.
答案:
A
二、填空题
7.(2012·上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为__________.
解析:
设底面半径为r,如图所示.
·2πr·l=2π,∴rl=2,
又∵
πl2=2π,∴l=2,∴r=1.
∴h=
=
,
∴V=
·π·12·
=
π.
充分利用展开图是半圆这一条件,才能求出r与l.
答案:
π
8.(2012·江苏)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为__________cm3.
解析:
连接AC交BD于O点,∵AB=CD,
∴ABCD为正方形,∴AO⊥BD.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥面ABCD,
又AO⊂面ABCD,∴B1B⊥AO.
又B1B∩BD=B,
∴AO⊥面BB1D1D,即AO长为四棱锥A-BB1D1D的高,
∴AO=
=
,SBB1D1D=BB1×BD=3
×2=6
.
∴VA-BB1D1D=
×6
×
=6.
答案:
6
9.(2012·上海)如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是__________.
解析:
如图,过B点作BE⊥AD,连接EC.可证AD⊥面EBC.
∴VD-ABC=VD-EBC+VA-EBC
由AB+BD=AC+CD=2a,可知当E为AD中点时体积最大,取BC中点F,连接EF.
∴VD-ABC=
·2c·S△BEC
∵BE=
,
∴EF=
,
∴S△BEC=
·2·
,
∴VD-ABC=
c
.
答案:
c
三、解答题
10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解析:
(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知,该几何体是四棱锥,且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形,高HO=4,O点是AC与BD的交点,如图所示.
∴该几何体的体积V=
×8×6×4=64.
(2)如图所示,作OE⊥AB,OF⊥BC,侧面HAB中,HE=
=
=5,
∴S△HAB=
×AB×HE=
×8×5=20.
侧面HBC中,HF=
=
=4
.
∴S△HBC=
×BC×HF=
×6×4
=12
.
∴该几何体的侧面积S=2(S△HAB+S△HBC)=40+24
.
11.(2013·滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:
m):
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.
解析:
(1)直观图如图所示:
(2)方法一:
由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的
,在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1m.
在Rt△BEB1中,BE=1m,EB1=1m,∴BB1=
m.
∴几何体的表面积
=1+2×
×(1+2)×1+1×
+1+1×2
=7+
(m2).
∴几何体的体积V=
×1×2×1=
(m3).
∴该几何体的表面积为(7+
)m2,体积为
m3.
方法二:
几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱,其表面积求法同方法一,
V直四棱柱D1C1CD-A1B1BA=Sh
=
×(1+2)×1×1
=
(m3).
∴几何体的表面积为(7+
)m2,体积为
m3.
12.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.
图1 图2 图3
(1)请画出该安全标识墩的侧视图;
(2)求该安全标识墩的体积;
(3)证明:
直线BD⊥平面PEG.
解析:
(1)侧视图同正视图,如图所示.
(2)该安全标识墩的体积为:
V=VP-EFGH+VABCD-EFGH
=
×402×60+402×20
=32000+32000
=64000(cm3).
(3)如图,连接EG,HF及BD,EG与HF相交于O,连接PO.
由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,∴PO⊥HF.
又EG⊥HF,∴HF⊥平面PEG.
又BD∥HF,∴BD⊥平面PEG.
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- 数学 一轮 复习 82 空间 几何体 表面积 体积