高三数学一轮人教B版基础巩固第9章 第3节 空间点.docx

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高三数学一轮人教B版基础巩固第9章第3节空间点

第九章　第三节

一、选择题

1．（2015·河南省实验中学期中）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（　　）

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

[答案]　C

[解析]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①取ADD1A1为α，ABCD为β，则α⊥β，取BC为m，则m⊂β，知A错；②取ABCD为α，取ADD1A1为γ，BCC1B1为β，则α⊥γ，α⊥β，但β∥γ，知D错；取三棱柱的三个侧面分别为α，β，γ，满足B的条件，但α与β相交，知B错；∵m∥α，过m作平面δ∩α＝a，则m∥a，∵m∥β，∴a⊥β，由面面垂直的判定定理知α⊥β，故C正确．

2．（2015·江西赣州博雅文化学校月考）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α

C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α

D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α

[答案]　B

[解析]　如图

（1）β∥α，知A错；如图

（2）知C错；如图（3），a∥a′，a′⊂α，b⊥a′，知D错；由线面垂直的性质定理知B正确．

3．（文）已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　）

A．AB∥CD

B．AB与CD异面

C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

[答案]　D

[解析]　若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.

（理）a、b、c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（　　）

A．若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面

B．若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交

C．若a∥b，则a、b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

[答案]　C

[解析]　如图

（1）知A错；如图

（2）知B错；如图（3）知D错．在直线c上任取一点P，过P作直线m∥a，则m∥b，因此a，b与c所成的角都等于m与c所成的角，故选C.

4．（2014·汉沽一中检测）已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是（　　）

A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线

C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α

[答案]　C

[解析]　如图

（1）可知A错；如图

（2）可知B错；如图（3），m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥m，故D错．

∵n∥α，∴n与α无公共点，∵m⊂α，∴n与m无公共点，又m、n共面，∴m∥n，故选C.

5．（2013·北京）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（　　）

A．3个　　　　　　B．4个

C．5个D．6个

[答案]　B

[解析]　P到各顶点距离的取值有4个：

其中P到点A，C，B1的距离相等，P到A1，C1，D的距离相等，另两个为P到点B和点D1的距离．

6．（文）（2014·山西康杰中学期中）下列四个命题中错误的是（　　）

A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面

B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面

[答案]　C

[解析]　过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确．

（理）（2014·陕西咸阳范公中学摸底）下列命题中正确的个数是（　　）

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．

A．0　　B．1　　　　

C．2　　D．3

[答案]　B

[解析]　“若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α”是错误的，因为直线l可与平面α相交．“若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行”是错误的，因为直线l可与平面α内的直线成异面直线．“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行”是错误的，因为另一条直线可能在平面内．“若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一条直线都没有公共点”是正确的，因为直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点．综上可知应选B.

二、填空题

7．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：

①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）

[答案]　①②④

[解析]　设与两异面直线都平行的平面为α，β⊥α，则a、b在β内的射影为两条平行直线，∴①正确；当a⊥α时，a、b在α内的射影为一条直线及线外一点，∴④正确；适当调整角度可以使a在α内的射影a′与b垂直，从而a′与b在α内的射影b′垂直，无论什么情况下，两直线的射影都不可能重合．

8．（2013·杭州二模）已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S，则S的最大值为________．

[答案]　8

[解析]　据正视图与侧视图知，该三棱柱的初始状态是水平放置的，直观图如图所示．

据所给的数据知，底面正三角形的高是

，∴底面边长是2.将三棱柱绕OO′旋转时，俯视图是矩形，该矩形的一组对边的长度保持不变（长度为4），另一组对边长度不断变化，在底投影面上的投影的长度的最大值为2，∴S的最大值为4×2＝8.

9．（文）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：

把你认为正确的结论序号都填上）．

[答案]　③④

[解析]　∵点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，∴AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；

∵B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，

∴BN与MB1是异面直线，故③真；同理④真，故填③④.

（理）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．

[答案]　

[解析]　如图，连结DE，

∵AD∥BC，

∴AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即∠EAD.

设正方体棱长为a，

∴DE＝

＝

a，

∴AE＝

＝

＝

a，

∴cos∠EAD＝

＝

＝

.

[点评]　化异为共的思想．

在立体几何解题过程中，经常运用化异为共的思想解决问题．

（1）与异面直线有关的命题真假判断．

（2）异面直线的判定方法

异面直线的判定主要用定理法、反证法

1°定理法：

过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线（此结论可作为定理使用）．

2°反证法：

先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

①一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是（　　）

A．①②B．③④

C．②③D．①③

[答案]　D

[解析]　如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D.

②如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2（　　）

A．互相平行

B．异面且互相垂直

C．异面且夹角为

D．相交且夹角为

[答案]　D

[解析]　将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为

.故选D.

（3）求异面直线所成角的方法

求异面直线所成的角主要用平移法，其一般步骤为

1°平移：

选取适当的点，平移异面直线的一条（或两条）成相交直线．

2°证明：

证明所作的角是异面直线所成的角．

3°求解：

找出含有此角的三角形，并解之．

4°取舍：

根据异面直线所成角的范围确定大小．

（一）在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；

这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡．

③如图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．

[解析]　在平面ABB1A1内作EN∥AM交AB于E，则EN与CN所成的锐角（或直角）即为AM和CN所成的角．设正方体棱长为a.

在△CNE中，可求得CN＝

a，NE＝

a，CE＝

a，由余弦定理得，cos∠CNE＝

＝

.

即异面直角AM与CN所成角的余弦值为

.

（二）利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；

这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．

④如图所示，正方体AC1中，B1E1＝D1F1＝

，求BE1与DF1所成角的余弦值．

[解析]　∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，∴在A1B1上取H，使A1H＝

，即可得：

AH∥DF1.引NH∥BE1，则锐角∠AHN就是DF1与BE1所成的角．

设正方体棱长为a，在△AHN中，易求得：

AN＝

，AH＝NH＝BE1＝

a.

由余弦定理得，cos∠AHN＝

＝

.

即BE1与DF1所成的角的余弦值为

.

（三）整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三．

这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体（相当于将原几何体作了一个平移）创造平移直线的条件．

⑤如下图长方体AC1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.求BD1与C1N所成角的余弦值．

[解析]　如图所示，将长方体AC1平移到BCFE－B1C1F1E1的位置，则C1E∥BD1，C1E与C1N所成的锐角（或直角）就是BD1与C1N所成的角．

在△NC1E中，根据已知条件可求B1N＝4，C1N＝5，C1E＝13，EN＝

＝4

.

由余弦定理，得cos∠NC1E＝

＝－

.

∴BD1与C1N所成角的余弦值为

.

三、解答题

10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置．

[解析]　如图，在正方体AC1中，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ，又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，

∴R∈平面A1C1CA，又R∈平面BDEF，∴R∈PQ，

∴R是A1C与PQ的交点．

一、选择题

11．（2014·东北三省联考）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：

①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；

③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.

其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[答案]　D

[解析]　①过n作平面γ∩α＝a，∵n∥α，∴n∥a，又m∥n，∴m∥a，∵m⊄α，∴m∥α，∴①正确；

②过m作平面γ1∩β＝b，∵m∥β，∴m∥b，∵α∥β，∴b∥α，过b作平面γ2∩α＝c，则b∥c，∴m∥c，∵m⊄α，∴m∥α，∴②正确；

③在直线n上取点P，过点P作m′∥m，∵n⊥m，∴n⊥m′，设m′与n确定的平面为δ，∵n⊥α，∴n与α相交，故平面δ与α相交，设交线为d，则n⊥d，∴m′∥d，∴m∥d，∵m⊄平面α，∴m∥α，∴③正确；

④设α与β的交线为l，在α内作直线g⊥l，则g⊥β，∵m⊥β，∴m∥g，∵m⊄α，∴m∥α，故④正确．

12．（2014·广东执信中学期中）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（　　）

A．线段B1C

B．线段BC1

C．BB1的中点与CC1中点连成的线段

D．BC中点与B1C1中点连成的线段

[答案]　A

[解析]　如图所示，连接AB1，B1C，AC，由于四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DD1.因为BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1.因为BD1⊂平面BDD1，所以BD1⊥AC，同理可证BD1⊥AB1.因为AB1∩AC＝A，所以BD1⊥平面AB1C.因为B1C⊂平面AB1C，所以BD1⊥B1C.过点A有且只有一个平面与BD1垂直，且过点A与BD1垂直的直线都在此平面内，故AP⊂平面AB1C，而平面AB1C∩平面BCC1B1＝B1C，故点P在侧面BCC1B1内的轨迹为线段B1C，故选A.

13．（文）（2013·天津一中月考）在正三棱锥P－ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，有下列三个论断：

①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中正确论断的个数为（　　）

A．3个B．2个

C．1个D．0个

[答案]　C

[解析]　过P作PO⊥平面ABC于O，则PO⊥AC，又正三角形中BE⊥AC，所以AC⊥平面PBE，所以AC⊥PB，所以①正确，②错误．因为AB与AC相交，所以③不正确，所以正确论断只有1个．

（理）已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是（　　）

A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD

[答案]　D

[解析]　对于A，∵CD∥AF，CD⊄平面PAF，AF⊂平面PAF.∴CD∥平面PAF.故A正确．对于B，∵DF⊥AF，DF⊥PA，PA∩AF＝A.∴DF⊥平面PAF.故B正确．对于C，∵CF∥AB，CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB.∴CF∥平面PAB.故C正确．对于D，若CF⊥平面PAD，则CF⊥AD，而CF与AD夹角为60°，故D错．所以选D.

14．（文）（2014·洛阳检测）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E,F分别是点A在PB,PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC.

正确命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[答案]　C

[解析]　∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又PA⊥面圆O，故PA⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥面PAC，

∴BC⊥AF，又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥面PBC，故AF⊥BC，AF⊥PB，又AE⊥PB，且AF∩AE＝A，所以PB⊥面AEF，从而EF⊥PB，故①②③正确，若AE⊥BC，则可证AE⊥面PBC，则AE∥AC∥AF，这是不可能的，选C.

（理）（2014·福建质量检查）如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．MN∥AB

B．MN与BC所成的角为45°

C．OC⊥平面VAC

D．平面VAC⊥平面VBC

[答案]　D

[解析]　依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC.综上所述可知选D.

二、填空题

15．（2015·深圳五校一联）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是________．

①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥β.

②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n.

③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.

④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.

[答案]　②④

[解析]　在选项①中，只有两条相交直线都平行于另一个平面才能有两平面互相平行，所以①不正确；在③中，直线n有可能在平面β内，所以③不正确，所以只有②④正确．

16．（2014·保定高阳中学月考）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．

[答案]　2＋

[解析]　如图所示，E，F，E1，F1分别为AA1，DD1，BB1，CC1的四等分点，可证BN⊥平面EFF1E1.又M为AC1的中点，所以M在平面EFF1E1上，故点P所构成的轨迹是平行四边形FEE1F1，周长等于2EF＋2EE1＝2＋

.

三、解答题

17．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝

，点E在CD上移动．

（1）求三棱锥E－PAB的体积；

（2）试在PD上找一点F，使得PE⊥AF，并证明你的结论．

[解析]　

（1）∵PA⊥平面ABCD，

∴VE－PAB＝VP－ABE＝

S△ABE·PA

＝

×

×1×

×1＝

.

（2）F是PD的中点．

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD⊥AD，

∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，

∵F是PD上的点，AF⊂平面PAD，∴AF⊥DC，

∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD，

又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC，

∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF.

18．（文）（2015·安徽示范高中一联）直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝2，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起，使△ADC为等边三角形，如图所示．

（1）求证：

平面ADC⊥平面ABC；

（2）求四棱锥A－BCDE的体积．

[解析]　

（1）D、E是边AC、AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE⊥AC.

⇒DE⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴BC⊥平面ADC，∴平面ADC⊥平面ABC.

（2）过点A作AM⊥CD，∴AM⊥平面CBED，M为DC的中点，

∵AB＝2BC＝2，∠ACB＝90°，

∴在折起前AC＝

，

∴AD＝

，∴AM＝

，

又DE＝

BC＝

，

∴S梯形BCDE＝

×（

＋1）×

＝

，

∴VA－BCDE＝

S梯形BCDE·AM＝

.

（理）（2014·安徽宣城调研）如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.

（1）当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

（2）若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．

[解析]　

（1）方法一：

如图

（1）所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2，所以OM∥FB∥EC且OM＝

EC＝FB，所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

方法二：

如图

（2）所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．

（2）由

（1）知，BM与EF异面，∠OFE（或∠MBP）就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝

，MB＝OF＝

，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝

＝

＝

，所以BM与EF所成的角的余弦值为

.