版高中全程复习方略课时提能训练73直线与平面垂直苏教版数学文.docx
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版高中全程复习方略课时提能训练73直线与平面垂直苏教版数学文
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课时提能演练(四十四)
(45分钟100分)
一、填空题(每小题5分,共40分)
1.(2012·无锡模拟)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,有下列四个命题:
(1)若l⊥α,m⊂α,则l⊥m;
(2)若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
(3)若l∥α,m⊂α,则l∥m;
(4)若l∥α,m∥α,则l∥m.
则其中命题正确的是______.
2.对于四面体ABCD,给出下列四个命题:
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;
②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;
④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)
3.已知直线a⊂平面α,直线AO⊥α,垂足为O,AP∩α=P,若条件p:
直线OP不垂直于直线a,条件q:
直线AP不垂直于直线a,则条件p是条件q的______条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
4.如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形有______个.
5.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______.
6.如图,PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.
其中正确的命题是______.
7.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于______.
8.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连结PA、PB、PC,若PA=PB=PC,则点O是△ABC的______(填“重心”、“外心”或“垂心”)
二、解答题(每小题15分,共45分)
9.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1B1,证明:
AB=AC.
10.(2012·扬州模拟)如图为一个简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC,
(1)求证:
BE∥平面PDA;
(2)若N为线段PB的中点,求证:
EN⊥平面PDB.
11.(2012·镇江模拟)如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,AC∩BD=G.
(1)求证:
AE⊥平面BCE;
(2)求证:
AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-BGF的体积.
【探究创新】
(15分)如图所示,在矩形ABCD中,AB=
BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C′,且C′O⊥平面ABD于点O,点O恰在AB上.
(1)求证:
BC′⊥平面ADC′;
(2)求点A到平面BC′D的距离.
答案解析
1.【解析】
(1)正确.若l⊥α,则l与α内任意一条直线垂直;
(2)正确.若l∥m,则l、m与α内任意一条直线所成的角均相同,而l⊥α,故
m⊥α;
(3)错误.若l∥α,m⊂α,则l与m平行或异面;
(4)错误.若l∥α,m∥α,则l与m平行、相交或异面.
答案:
(1)
(2)
2.【解析】对于①,取BC的中点E,则BC⊥AE,BC⊥DE,∴BC⊥面ADE,∴BC⊥AD,故①正确.对于④,设O为A在面BCD上的射影,依题意OB⊥CD,OC⊥BD,∴O为垂心,∴OD⊥BC,∴BC⊥AD,故④正确,②③易知不正确,故答案为①④.
答案:
①④
3.【解题指南】利用逆否命题来判断OP⊥a与AP⊥a的关系即可.
【解析】如图由AO⊥α,a⊂α得AO⊥a,又OP⊥a,故a⊥平面AOP,从而a⊥AP.
反之,由AO⊥α,a⊂α得AO⊥a,又a⊥AP,故a⊥平面AOP,从而a⊥OP.
故a⊥OP⇔a⊥AP,从而p⇔q.
答案:
充要
4.【解析】分三类:
(1)在底面ABCD中,共有四个直角,因而有四个直角三角形;
(2)四个侧面都是直角三角形;
(3)过两条侧棱的截面中,△PAC为直角三角形.故共有9个直角三角形.
答案:
9
【变式备选】如图,PA⊥面ABC,△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为_______.
【解析】∵PA⊥面ABC,
∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC.
又BC⊥AC,AC∩PA=A,
∴BC⊥面PAC,∴BC⊥PC,
∴△PAB、△PAC、△ABC、△PBC都是直角三角形.
答案:
4
5.【解析】正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.
答案:
36
6.【解析】∵PA⊥⊙O所在平面,
∴BC⊥PA.
∵AB为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,
∴BC⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
又AF⊂平面PAC,∴AF⊥BC,③正确;
又AF⊥PC且PC∩BC=C,
∴AF⊥平面PBC,故④错误,
∴AF⊥PB,①正确.
又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,
∴EF⊥PB,②正确.
答案:
①②③
7.【解析】∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥QD,又∵PQ⊥QD,∴QD⊥平面PAQ.
∴AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上,
当圆与BC相切时,点Q只有一个,
故BC=2AB=2.
答案:
2
8.【解析】如图,连结AO,BO,CO.
∵PO⊥平面ABC,
∴PO⊥AO,PO⊥BO,PO⊥CO,
又PA=PB=PC,
∴Rt△APO≌Rt△BPO≌Rt△CPO,
∴OA=OC=OB,
即O为△ABC的外心.
答案:
外心
9.【证明】如图,取BC的中点F,连结EF,则EF
B1B,
从而EF
DA.
连结AF,则四边形ADEF为平行四边形,从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1B1,
故AF⊥平面BCC1B1,从而AF⊥BC.
又AB⊥AC,∴AF为BC的垂直平分线,
∴AB=AC.
10.【证明】
(1)∵EC∥PD,PD⊂平面PDA,EC
平面PDA,
∴EC∥平面PDA,同理可得BC∥平面PDA,
∵EC⊂平面EBC,BC⊂平面EBC,且EC∩BC=C,
∴平面BEC∥平面PDA,
又∵BE⊂平面EBC,∴BE∥平面PDA.
(2)连结AC与BD交于点F,连结NF,
∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=
PD,
又EC∥PD且EC=
PD,∴NF∥EC且NF=EC,
∴四边形NFCE为平行四边形,
∴NE∥FC,∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PD,又PD∩BD=D,
∴AC⊥平面PDB,∴NE⊥平面PDB.
11.【解析】
(1)
⇒AE⊥平面BCE.
(2)
(3)
⇒FG⊥平面BCE⇒FG⊥平面BCF.
∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE.
∵AE=EB=BC=2,
∴在Rt△BCE中,BF=CF=
∴
∴VC-BGF=VG-BCF=
S△CFB·FG=
.
【探究创新】
【解析】
(1)因为C′O⊥平面ABD,AD⊂面ABD,
所以C′O⊥AD,又因为AD⊥AB,AB∩C′O=O,
所以AD⊥平面ABC′,所以AD⊥BC′,
又因为BC′⊥DC′,DC′∩AD=D,
所以BC′⊥平面ADC′.
(2)VA-BC′D=VC′-ABD,设点A到平面BC′D的距离为h,
则
所以h=C′O,
在Rt△AC′B中,AB=
BC′=3,
故AC′=
∴
即点A到平面BC′D的距离为
.
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