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数学建模竞赛B题论文

算法与纸片拼接复原模型的建立

摘要

传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。

特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。

随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。

要完成破碎纸片的复原工作，需要对附件1中所给出的信息中找出所有纸片之间的关联。

首先，我们要对这些纸片输入MATLAB软件利用imread函数进行初步处理读取19张纸片的数据矩阵。

其次，利用纸张页边距这一特点对灰度值进行聚类分析可以选出一张纸片作为第一张基础拼接纸片。

最后，通过对前一张纸片矩阵的最右侧的一列数据和其余纸片矩阵最左侧的一列数据求吻合程度

的值，通过比较

的大小选出方差最小的一张纸片，并将其左侧与前一张纸片右侧拼接完成。

以此类推直到最后一张纸片也完成拼接复原工作。

最后由人工检验复原的结果，包括文字有无缺失、语句是否通顺等看拼接结果是否正确。

需要找出附件3中所给出的碎纸片之间的关联。

首先，将附件3中的纸片图片录入MATLAB软件，利用imread函数进行初步处理读取209张纸片的数据矩阵。

其次，利用纸张具有页边距的特点对灰度值进行聚类类分析，找出左侧留白的碎纸片，利用问题一中的方法将所有最左边碎纸片按顺序拼接复原好。

接下来，将这一列作为基础拼接列，用基础拼接列的第一张纸片的数据矩阵的最右侧的一列数据和其余纸片矩阵最左侧的一列数据求吻合程度

的值，通过比较

的大小选出方差最小的一张纸片，并将其左侧与前一张纸片右侧拼接完成。

以此类推直到最后一张纸片也完成拼接复原工作。

最后，由人工检验复原的结果，包括文字有无缺失、语句是否通顺等看拼接结果是否正确。

随着问题难度的加深，在前两问的基础上问题三不仅有纵向和横向的切割方法还涉及到英文文件的正反两面打印（一种情况是两面文字方向相同，另一种情况是两面的文字方向相反）的情况。

一方面，给拼接工作带来了很大的难度，另一方面正反面的粉碎情况可以对最后的拼接结果进一步检验。

通过对英语26个字母的书写格式进行分析，将附件5中的418张纸片录入MATLAB软件

关键词：

聚类分析，欧氏距离，旅行商

一、

问题重述

随着计算机技术的不断发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。

我们需要对以下问题进行讨论：

1.对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。

如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。

复原结果以图片形式及表格形式表达。

2.对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。

如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。

复原结果表达要求同上。

3.上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。

附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。

请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。

二、问题分析

（一）问题一

本题我们以附件1为例。

要完成破碎纸片的复原工作，我们需要对附件1中所给出的一些看似毫无头绪的信息中找出所有纸片之间的关联。

由于需要按顺序从已经确定的第一张碎纸片开始依次匹配相邻的碎纸片,不仅需要建立一个循环的算法，考虑到如果是一个汉字被裁开的话，左右笔画的连续性会使得两边像素点的数值基本相似，做可能相邻边缘矩阵的数值差的平方和后会得到一系列数值，理论上最小的数值即为复原过程中相邻的碎纸片，如果循环结果不符合要求，则有可能是出现了左右边缘都为空白的矩阵，还要在此处人工根据文字的特点排出正确的顺序。

首先，我们要对这些纸片输入MATLAB软件利用imread函数进行初步处理读取19张纸片的数据矩阵。

其次，利用纸张具有页边距的特点，可以对每个纸片的灰度值进行聚类分析选出一张纸片作为第一张基础拼接纸片。

最后，通过对前一张纸片右侧矩阵的一列数据和其余纸片左侧矩阵的一列数据求纸片的吻合程度

，通过比较吻合程度

值的大小选出

值最小的一张纸片，并将其左侧与前一张纸片右侧拼接完成。

以此类推直到最后一张纸片也完成拼接复原工作。

在复原工作中我们需要做一些人工干预工作。

在读取好纸片矩阵后求算方差之间，我们需要人工选出编号为008的纸片作为基础拼接图片。

最后的拼接复原结果还需人工通过对拼接好的内容进行核对，包括文字有无缺失、语句是否通顺等来检验复原结果是否正确。

（二）问题二

类似问题一的求解过程。

本题我们以附件3为例。

要完成破碎纸片的复原工作，我们需要对附件3中所给出的一些看似无关的信息中找出所有纸片之间的关联。

由于需要按顺序从已经确定的纸片拼接基础列，再开始依次匹配相邻的碎纸片,不仅需要建立一个循环的算法，考虑到如果是一个汉字被裁开的话，上下、左右笔画的连续性会使得四个边像素点的数值基本相似，做可能相邻边缘矩阵的数值差的平方和后会得到一系列数值，理论上最小的数值即为复原过程中相邻的碎纸片，如果循环结果不符合要求，则有可能是出现了左右边缘都为空白的矩阵，还要在此处人工根据文字的特点排出正确的顺序。

首先，我们要对这些纸片输入MATLAB软件利用imread函数进行初步处理读取209张纸片的数据矩阵。

其次，使用MATLAB软件对纸片灰度值进行聚类分析选出这些纸片中所有最左侧有留白的纸片作为基础拼接片段，并按照问题一中的方法将这些基础拼接片段拼接复原成基础拼接列。

接着，通过对第一张基础拼接片段的数据矩阵的最右侧的一列数据和其余纸片的数据矩阵的最左侧一列数据求纸片的吻合程度

，通过比较吻合程度

值的大小选出

值最小的一张纸片，并将其左侧与前一张纸片右侧拼接完成。

以此类推直到最后一张纸片也完成拼接复原工作。

在复原工作中我们需要做一些人工干预工作。

在读取好纸片矩阵后求算方差之间，我们需要人工选出编号为的纸片作为基础拼接列。

最后的拼接复原结果还需人工通过对拼接好的内容进行核对，包括文字有无缺失、语句是否通顺等来检验复原结果是否正确。

（三）问题三

三、模型假设与符号说明

（一）模型假设

假设一：

纸张粉碎机的工作性能及各项指标稳定。

假设二：

每张纸片都是被均匀粉碎的。

假设三：

每张纸片经过粉碎时没有损耗。

（二）符号说明

纸片之间的吻合程度

四、模型建立与求解

（一）问题一

对于问题一给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片中纸片的复原工作所涉及到的问题有：

纸张之间的吻合程度对拼接效果的影响，人工干预对拼接效果的影响，需要按顺序从已经确定的第一张碎纸片开始依次匹配相邻的碎纸片,不仅需要建立一个循环的算法，考虑到如果是一个汉字被裁开的话，左右笔画的连续性会使得两边像素点的数值基本相似，例如根据编号为007和208的两张纸片的两侧像素点的一些特征可以判断这两张纸片是可以完成吻合拼接的。

做可能相邻边缘矩阵的数值差的平方和后会得到一系列数值，理论上最小的数值即为复原过程中相邻的碎纸片，如果循环结果不符合要求，还要进行人工干预。

针对以上问题我们模型的建立需要分以下步骤进行。

图1.编号为007与208的纸片拼接图

以图1.中的“民”字的拼接为例，007右侧“民”字的灰度值和208左侧“民”字的灰度值为

21

0

0

155

255

255

255

255

219

0

0

0

219

255

255

255

255

145

0

37

255

255

22

0

0

155

255

255

255

255

219

0

0

0

219

255

255

255

255

145

0

37

255

255

第一步：

数据的录入。

我们要对附录1中纸片编号为000、001、002、003、004、005、006、007、007、008、009、010、011、012、013、014、015、016、017、018的图片导入MATLAB软件中，利用MATLAB软件中的imread语句读成表示各个位置点的数值化矩阵，将19个纸矩阵按原顺序排列，组成总的数值化矩阵。

第二步：

选择基础纸片。

利用纸张具有页边距的这一特点，使用MATLAB软件对每张纸片的灰度值进行聚类分析，最后我们选出了编号为008的纸片作为第一张基础拼接纸片。

第三步：

计算两张纸片的吻合程度

的值。

通过对前一张纸片右侧矩阵的一列数据和其余纸片左侧矩阵的一列数据对应相减求出对应的差平方，最后将这一列差平方累加得出

的具体值。

第四步：

比较吻合程度

值的大小。

选出

最小的一张纸片，并将其左侧与前一张纸片右侧拼接完成。

以此类推直到最后一张纸片也完成拼接复原工作。

制作程序见附录1。

第四步：

人工检验。

对拼接好的内容进行核对，包括文字有无缺失、页面左右两侧是否有文字的残余、两侧留白是否合理、语句是否通顺等后得出正确的拼接图片见附录2。

附件2中英文文件纸片的拼接复原方法同理，得出拼接图片见附录2，附件1的拼接顺序见表1，附件2的拼接顺序见表2.。

表1.附件1的拼接表

008

015

013

016

004

011

003

017

002

005

006

010

014

019

012

008

018

001

007

表2.附件2的拼接表

004

007

003

008

016

019

012

001

006

002

010

014

011

009

013

015

018

017

005

根据表1.和表2.的信息可以很清晰的看出附件1和附件2中纸片的拼接顺序。

按照此顺序人工可以轻松地将附件1和附件2中的纸片拼接复原。

手工拼接复原同时也对此模型的结果做了进一步的验证。

运用此方法可以高效率的处理这一类粉碎机单向粉碎纸张的拼接复原工作。

（二）问题二

对于问题二，被碎纸机纵向和横向粉碎的一页印刷文字文件碎纸片中纸片的复原工作所涉及到的问题有：

纸张之间的吻合程度对拼接效果的影响，人工干预对拼接效果的影响，需要按顺序从已经确定的第一张碎纸片开始依次向下匹配相邻的碎纸片形成一列基础拼接列,不仅需要建立一个循环的算法，考虑到如果是一个汉字被裁开的话，上、下、左、右笔画的连续性会使得四边像素点的数值基本相似，做可能相邻边缘矩阵的数值差的平方和后会得到一系列数值，理论上最小的数值即为复原过程中相邻的碎纸片，如果循环结果不符合要求，还要进行人工干预。

针对以上问题我们模型的建立分以下几步：

第一步：

数据的录入。

我们要对附录3中纸片编号从000到208的图片导入MATLAB软件中，利用MATLAB软件中的imread语句读成表示各个位置点的数值化矩阵，将209个纸矩阵按原顺序排列，组成总的数值化矩阵。

第二步：

每一行的拼接。

1.确定纸张四周的图片

利用纸张具有页边距的这一特点，使用MATLAB软件对每张纸片的灰度值矩阵进行分析，通过排列每张图片的四周灰度值整列全为255的行数，确定其四周的页边距。

然后对不同位置的页边距进行排序，可以找出所有图片中最左侧的十一张图片，以及最右侧的十一张图片。

同样，可以用此办法找出最上边和最下边的各十九张图片。

然后通过相邻两边的共有图片确定四个拐角处的图片。

2.对所有纸条进行大致分组

通过对最左侧图片的灰度值矩阵进行分析，可以大致找出行首图片中行间距的大致位置，然后通过对每一张图片检索，找出对应位置灰度值全为255的所有图片，归结为一类。

同样用此办法，可以确定，每一行的大概分类。

3.对每一行的排序

对第一列的所有图片进行分析，通过matlab确定第一列图片的灰度值的最后一列。

比较这一行所有图片灰度值的第一列，通过欧氏距离确定相似度，然后对相似度进行排序，取数值最小者为该行的第二个图片。

然后通过第二张图片的最后一列确定第三张图片直至某张图片灰度值最后一列全为255。

同时通过最后一列的图片的灰度值确定前一张图片直至某张图片灰度值第一列全为255。

这样就确定了该图片每一行的结果。

第三步：

组行成页。

由上一步可以得知每一行的排列结果，可以分为两种情况：

1.该行图片灰度值的最后一列不全为255，即这行图片与下一行图片有文字上的交集。

这样可以通过欧氏距离计算该行图片灰度值的最后一列与每一行的第一列之间的相似度，就可以知道每行图片为该行的下一行。

2.该行图片灰度值的最后一列全为255，即这行图片与下一行图片没有文字上的交集。

这样可以使用matlab确定这行图片底部灰度值全为255的行数。

由于两行文字中的行间距约为27，可以计算出下一行图片文字与顶部的大概距离。

从而可以确定下行图片。

第四步：

人工干预工作。

1.找出图片四个拐角的具体编号。

2.在大致确定每一行的排列顺序时需要通过人工干预准确的对各个片段进行配对，并对拼接好的内容进行核对，包括文字有无缺失和错误、页面左右两侧是否有文字的残余、两侧留白是否合理、语句是否通顺等后得出正确的拼接图片，附件3中的中文文件拼接结果见表3.附件4中的英文文件拼接顺序见表4。

最终的拼接程序见附录3。

表3.附件3中中文文件纸片拼接顺序

049

054

065

143

186

002

057

192

178

118

190

095

011

022

129

028

091

188

141

061

019

078

067

069

099

162

096

131

079

063

116

163

172

006

177

020

152

036

168

100

076

062

142

030

041

023

147

191

050

179

120

086

195

026

001

087

018

038

148

046

161

024

035

081

189

122

103

130

193

088

167

025

008

009

105

074

071

156

083

132

200

017

080

033

202

198

015

133

170

205

085

152

165

027

060

089

146

102

154

114

040

151

207

155

140

185

108

117

004

101

113

194

119

123

014

128

003

105

082

199

135

012

073

160

203

169

134

039

031

051

107

115

176

094

034

084

183

090

047

121

042

124

144

077

112

149

097

136

164

127

058

043

125

013

182

109

197

016

184

110

187

066

106

150

021

173

157

181

204

139

145

029

064

111

201

005

092

180

048

037

075

055

044

206

010

104

098

172

171

059

007

208

138

158

126

068

175

045

174

000

137

053

056

093

153

070

166

032

196

表4.附件4中英文文件纸片拼接顺序

011

154

190

184

002

104

180

064

106

004

149

032

204

065

039

067

147

170

196

198

094

113

164

028

103

091

080

101

026

100

006

017

028

146

107

029

040

158

186

098

024

117

150

005

059

058

092

030

037

046

127

093

141

088

121

126

105

155

114

176

182

151

022

057

202

071

165

082

001

129

063

138

153

053

038

123

120

175

085

050

160

187

097

203

031

108

116

136

073

036

207

135

015

076

043

199

045

173

079

161

179

143

007

049

061

119

033

142

168

062

169

054

192

133

118

189

162

197

112

060

014

068

174

137

195

008

047

172

156

096

023

099

122

090

185

109

095

069

167

163

166

188

111

144

206

003

130

034

013

110

025

027

178

066

205

010

157

074

145

083

134

055

018

056

035

016

009

183

152

044

128

200

131

052

125

140

193

087

089

048

072

012

177

124

000

102

115

（三）问题三

表5.附件5文件正面拼接顺序

136a

47b

20b

164a

81a

189a

29b

18a

108b

66b

110b

174a

183a

150b

155b

140b

125b

111a

78a

5b

152b

147b

60a

59b

14b

79b

144b

120a

22b

124a

192b

25a

44b

178b

76a

36b

10a

89b

143a

200a

86a

187a

131a

56a

138b

45b

137a

61a

94a

98b

121b

38b

30b

42a

84a

153b

186a

83b

39a

97b

175b

72a

93b

132a

87b

198a

181a

34b

156b

206a

173a

194a

169a

161b

11a

199a

90b

203a

162a

2b

139a

70a

41b

170a

151a

1a

166a

115a

65a

191b

37a

180b

149a

107b

88a

13b

24b

57b

142b

208b

64a

102a

17a

12b

28a

154a

197b

158b

58b

207b

116a

179a

184a

114b

35b

159b

73a

193a

163b

130b

21a

202b

53a

177a

16a

19a

92a

190a

50b

201b

31b

171a

146b

172b

122b

182a

40b

127b

188b

68a

8a

117a

167b

75a

63a

67b

46b

168b

157b

128b

195b

165a

105b

204a

141b

135a

27b

80a

0a

185b

176b

126a

74a

32b

69b

4b

77b

148a

85a

7a

3a

0

0

0

9a

0

145b

0

0

82a

0

205b

0

0

15a

0

101b

0

118a

0

129a

0

0

62b

0

0

52b

0

0

71a

0

0

33a

0

119b

160a

95b

51a

48b

133b

23a

54a

196a

112b

103b

55a

100a

106a

91b

49a

26a

113b

134b

104b

6b

123b

109b

96a

43b

99b

表6.附件5文件反面拼接顺序

078b

111b

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