全国赛论文定稿B题.docx
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全国赛论文定稿B题.docx
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全国赛论文定稿B题
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
B甲2409
所属学校(请填写完整的全名):
山东科技大学
参赛队员(打印并签名):
1.管晓薇
2.陈维民
3.李毅成
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
赵义军
日期:
2006年9月18日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
艾滋病疗法评价及疗效预测的分段线性回归模型
摘要
艾滋病的危害正在不断加剧,而治疗艾滋病又无特别有效的治疗方法,所以对不同的治疗方法进行测试对比并预测疗效,从而选择出较优的疗法,是迫在眉睫的研究课题。
本文基于题目所给的不同疗法的测试数据,采用分段线性回归分析方法,借助统计软件SAS等,对题目所给出的三个问题分别建立了模型并进行了疗效比较和预测,对模型进行了合理性检验。
得到的主要结果如下:
在问题1中,首先对附件1所给的数据进行分析处理,利用SAS软件作图,得到CD4含量、HIV含量与时间的关系,综合考虑找到了进行分段拟合的节点,以此为基础采用分段线性回归分析方法、最大似然估计法和广义最小二乘法,建立了分段线性模型1,对继续治疗的效果进行了预测,并确定了最佳治疗终止时间。
对于问题2,我们采用了曲线拟合光滑技术,对题目中附件2的数据通过Matlab和SAS统计软件,作出了四种疗法的效果图,比较得到第4种疗法为较优疗法。
利用分段线性回归分析方法、最大似然估计法和广义最小二乘法,建立了分段线性模型2,对第4种疗法的继续治疗效果给出预测,确定了最佳治疗终止时间。
在问题3中,利用第二个问题中所得的四种疗法的效果排序,并综合考虑到费用因素,确定了第3种疗法为较优疗法。
然后建立了分段线性回归模型3,通过模型3的预测和分析得出相对适用的结论。
最后对模型提出了评价与改进方向。
关键词:
分段线性回归,最大似然估计,SAS统计软件,检验,广义最小二乘法
艾滋病疗法评价及疗效预测的分段线性回归模型
一、问题重述
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一,从1981年发现以来的20多年间,它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”,英文简称AIDS,它是由艾滋病毒(医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV)引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统,使人体丧失抵抗各种疾病的能力,从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用,当CD4被HIV感染而裂解时,其数量会急剧减少,HIV将迅速增加,导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的,是尽量减少人体内HIV的数量,同时产生更多的CD4,至少要有效地降低CD4减少的速度,以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法,目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用,而且成本也很高。
许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。
ACTG320(见附件1)是同时服用zidovudine(齐多夫定),lamivudine(拉美夫定)和indinavir(茚地那韦)3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度(每毫升血液里的数量)。
193A(见附件2)是将1300多名病人随机地分为4组,每组按下述4种疗法中的一种服药,大约每隔8周测试的CD4浓度(这组数据缺HIV浓度,它的测试成本很高)。
4种疗法的日用药分别为:
600mgzidovudine或400mgdidanosine(去羟基苷),这两种药按月轮换使用;600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine(扎西他滨);600mgzidovudine加400mgdidanosine;600mgzidovudine加400mgdidanosine,再加400mgnevirapine(奈韦拉平)。
要求解决以下问题:
(1)利用附件1的数据,预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间(继续治疗指在测试终止后继续服药,如果认为继续服药效果不好,则可选择提前终止治疗)。
(2)利用附件2的数据,评价4种疗法的优劣(仅以CD4为标准),并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。
(3)艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下:
600mgzidovudine1.60美元,400mgdidanosine0.85美元,2.25mgzalcitabine1.85美元,400mgnevirapine1.20美元。
如果病人需要考虑4种疗法的费用,对
(2)中的评价和预测(或者提前终止)有什么改变。
二、问题假设
假设1:
不考虑药物的副作用对治疗效果的影响;
假设2:
不考虑性别因素对治疗效果的影响;
假设3:
假设当病人体内的CD4或者HIV的数量趋于稳定时,即可以认为治疗有效,可以继续治疗;
假设4:
假设当病人经过一段时间的治疗后,体内的HIV数量仍然持续增加或者CD4的数量持续降低,认为治疗无效,停止治疗;
假设5:
假设病人治疗期间药品价格稳定,当地经济发展无较大波动,不会对病人的治疗经费产生影响;
假设6:
只要经济条件允许,并且治疗有效时,病人均不会因外界不定因素中止治疗;
假设7:
在判断治疗效果过程中,假设CD4能在绝大程度上反映患者的病情变化程度。
三、变量及符号说明
:
第
个病人对于
的第
次测试值;
:
的简记符号;
:
病人编号;
:
治疗方案;
:
从测试开始的治疗周数;
:
第
个病人的年龄;
:
第
个病人从测试开始到第
次测试的时刻;
:
治疗费用;
四、模型建立与求解
1.模型1的建立与求解
1.1问题1数据处理与分析
(1)首先,我们先对附件1中的数据cd4count进行处理:
将其加1并取以10为底的对数,得到log(cd4count+1),其它列不变,用Matlab编程(见附录源程序清单,程序名indidualline.m)对300多个病人的log(cd4count+1)数据进行作图,得到了log(cd4count+1)与治疗时间t的关系,见图1.
图1每个个体的log(cd4count+1)的变化
从图1可以看出每个个体的log(cd4count+1)和时间t的关系的叠加,log(cd4count+1)的数值主要集中在折线比较密集的一块区域内,表明利用该种疗法进行治疗时,从整体上来说,可看出log(cd4count+1)随着时间变化的大致趋势。
(2)对于问题1,关键是要了解CD4和HIV的变化与时间t的关系。
我们基于SAS数据统计方法,由SAS软件编程(见源程序清单,程序名question10.sas),采用了loesssmoothing技术作图,得到了
和HIV关于时间
的整体变化曲线,对于附件1提供的治疗方案得到图形如图2.在图2中,实线代表
与时间t的关系,虚线代表HIV与时间t的关系。
由图2中CD4和HIV的整体变化与时间t的曲线关系,我们可明显看出,大约在8周之前,
在上升,HIV在下降。
在8周以后趋于平稳。
图2
1.2模型1建立
以8周为分节点,采用分段线性回归模型,根据附件1提供的治疗方案数据作拟合。
设
表示第
个病人从测试开始(
)到第
次测试的时刻,
表示第i个病人对于log(cd4count+1)的第j次测量值,并考虑到每个病人的随机变化参数,从而模型1可表示为:
其中
和
且
和
相互独立
1.3模型1求解
(1)用最大似然估计法对
进行估计,运用SAS软件编程(见附录源程序清单,程序名question11.sas)运算,得到
的最大似然估计值和估计的标准差如下:
(2)采用广义最小二乘法,对待定系数
进行估计,运用SAS软件编程(见附录源程序清单,程序名question11.sas)运算,得到
的估计值和其对应的标准差,并给出了相应的t-values和p-values.见下面的运行结果,其中Intercept、week、week_16依次表示
.
(3)将得到的待定系数代入,得到模型1的求解结果如下:
,
,
1.4模型1检验
我们通过对模型进行求解,得到相应的结果,与实际情况比较符合,另外通过SAS软件得到的残差进行分析检验,证明我们的模型是可行的.
1.5利用模型1预测治疗效果或确定最佳治疗终止时间
(1)在40周之后,按步长8对时刻t进行赋值,根据模型1得到的求解结果,用matlab编程运算,得到各时刻的
预测值,从而可对个体的治疗效果进行预测;
(2)由每一个得到的
数据,再由matlab编程运算,可以预测整体的治疗效果,并给出最佳治疗终止时间为第23~25周。
2.模型2的建立与求解
2.1四种治疗方案的评价
基于SAS数据统计方法,由SAS软件编程(见源程序清单,程序名question20.sas),采用loesssmoothing技术作图,对于四种方案,得到了
关于时间
的变化曲线,见图3.
图3
在图3中,trt分别取1、2、3、4,代表四种治疗方案对应的CD4含量与时间的关系。
由图3可明显看出,第4种方案最优,第3种方案次之,第2种方案再次之,
第1种方案的治疗效果最差。
2.2模型2的建立
(1)对于较优的方案4,由图3可看出,其CD4含量的峰值对应的时间在14到18周之间,取其平均值得到在16周左右,然后开始下降。
而对于1、2、3种治疗方案,其CD4含量大约在第9周呈现下降趋势。
(2)对较优的方案4,以16周为分节点,采用分段线性回归模型,根据方案4已有的测试数据作拟合。
设
表示第
个病人从测试开始(
)到第
次测试的时刻,
表示第i个病人对于log(cd4count+1)的第j次测量值,并考虑到年龄和每个病人的随机变化参数,从而模型2可表示为:
其中:
,
为协方差,
且
和
相互独立
2.3模型2求解:
(1)用最大似然估计法对
进行估计,运用SAS软件编程(见附录源程序清单,程序名question21.sas)运算,得到
的最大似然估计值和估计的标准差如下:
(2)采用广义最小二乘法,对待定系数
进行估计,运用SAS软件编程(见附录源程序清单,程序名question21.sas)运算,得到
的估计值和其对应的标准差,并给出了相应的t-values和p-values.见下面的运行结果,其中Intercept、age、week、week_16依次表示
.
(3)将得到的待定系数代入,得到预测模型2的求解结果如下:
,
2.4模型2检验
我们通过对模型进行求解,得到相应的结果,与实际情况比较符合,另外通过SAS软件得到的残差进行分析检验,证明我们的模型是可行的.
2.5利用模型2预测较优疗法4的治疗效果或确定最佳治疗终止时间
(1)在40周之后,按步长16对时刻t进行赋值,根据模型2得到的求解结果,用matlab编程(见源程序清单question23.m)运算,得到各时刻的
预测值,从而可对个体的治疗效果进行预测;
(2)由每一个得到的
数据,再由matlab编程(见源程序清单question23.m)运算,得到图4,可以预测方案4的整体治疗效果,并给出最佳治疗终止时间为第46~50周。
图4
3.模型3建立与求解
3.1各种治疗方法费用的简单统计
治疗方法
一天的服药费用(美元)
一周的服药费用(美元)
1
1.6或0.85
11.2或5.95
2
3.45
24.15
3
2.45
17.15
4
3.65
25.55
3.2较优疗法的选择
用SAS软件编程(见附录源程序清单,程序名question30.sas)运算作图,得到4种不同治疗方法的log(cd4+1)与费用cost的关系图5:
图5log(cd4+1)与费用cost的关系
由问题2的求解可知,在不考虑费用的前提下,四种疗法疗效的排序为:
疗法4>疗法3>疗法2>疗法1.但如果考虑费用,药物的本来疗效并不会降低,但由于不发达国家的人均收入比较低,病人可能付不起费用的情况,所以较优疗法的选择应同时考虑疗法的优劣和费用。
从图5可看出,在第16周(花费约450美元)之前,四种疗法并未达到最佳的治疗效果,而在16周之后,第3、4种治疗方法的log(cd4+1)值会逐渐趋同,并且下降速率较缓,而第3种疗法所需费用比第4种疗法少,所以病人应选择第3种疗法为较优疗法。
3.3模型3建立与求解
利用与模型2相同的建模与求解方法,对于较优的第3种疗法,可得模型3如下:
,
3.4利用模型3预测较优疗法3的治疗效果或确定最佳治疗终止时间
(1)在40周之后,按步长16对时刻t进行赋值,根据模型3得到的求解结果,用matlab编程运算,得到各时刻的
预测值,从而可对个体的治疗效果进行预测;
(2)由每一个得到的
数据,再由matlab编程运算,可以预测方案3的整体治疗效果,并给出最佳治疗终止时间为第44~48周。
五、模型评价与改进方向
模型的评价:
本模型采用了分段线型回归分析的方法,在合理假设的情况下,比较准确的预测出关于艾滋病相关疗法方案疗效预测的数学问题。
其优点有:
1.能充分利用概率统计的思想、数学知识,以及数形结合的思想,既利于分析问题,又形象易懂。
2.本模型在构建过程中,采用了合理的假设,使理论和实际能很好的相吻合,具有一定的普遍实用性。
3.在对方程的计算中,利用了Matlab和SAS数学软件编程计算和图象模拟,提高了运算效率和准确率。
4.利用最小二乘估计和残差分析法来验证,提高了预测值的可信度
模型的改进:
1.由于研究资金限制和调查的开展难度,该模型未将时间变量和性别和病毒的抗药性和药品的副作用等因素考虑在内,应在这两方面作出相应改进。
2.在求解问题时,我们有些数据取的是近似估计值,在处理过程中采取了一定的近似,因此应进行更加精确的统计分析。
六、参考文献
[1]姜启源,谢金星,叶俊,数学模型,北京,高等教育出版社,2003年。
[2]黄燕,SAS统计分析及应用,北京,机械工业出版社,2006年。
[3]苏金明,阮沈勇,王永利,MATLAB工程数学,北京,电子工业出版社,2005年。
[4]查干花,吕繁,HIV/AIDS疫情估计与预测方法,华南预防医学,Vol.32No.3,P23-27,
2006年。
[5]孙洪清, 李超群, 巫善明,HIV/AIDS治疗方案的META分析,中华中西医杂志,Vol.15No.4,2003年
[6]任莉莉,李富荣,齐晖,戴勇,外围血CD4+淋巴细胞及Th1/Th2细胞因子变化与HIV/AIDS因子疾病发展的相关性,中国现代医学杂志,Vol.15,No.20,2005年
[7]崔为国,王林等,HIV/AIDS患者结核菌素反应及与CD4细胞关系,中国公共卫生,Vol.21,No.6,2005年
[8]陈小平,肖斌权等,间日疟对HIV感染者/AIDS患者CD4淋巴细胞凋亡率的影响,中国性病艾滋病防治,Vol.7,No2,2001年
[9]佚名,CD4+T淋巴细胞记数测定的主要意义,
附录:
源程序清单
-----------------------------------------------------------------
/*individualline.m*/
i=1;
j=1;
while(A(i,1)~=0)
j=i;
while(A(j,1)==A(j+1,1))
j=j+1;
end
plot(A(i:
j,2),A(i:
j,3));
holdon;
i=j;
i=i+1;
end
-----------------------------------------------------------------
/*question10.sas*/
datacd4;
infile'd:
/q1.txt';
inputidgroupweeklogcd4;
trt=0;
if(group=2)thentrt=1;
run;
procsortdata=cd4;bytrt;
procloessdata=cd4;bytrt;
modellogcd4=week/degree=1smooth=0.5;
odsoutputOutputStatistics=Results;
run;
procsortdata=Results;bytrtweek;run;
symbol1color=blackvalue=noneinterpol=joinline=1;
symbol2color=blackinterpol=joinvalue=noneline=3;
axis1label=(angle=90rotate=0);
procgplotdata=Results;
plotPred*week=trt/vaxis=axis1haxis=axis2hm=3vm=3;
run;
-----------------------------------------------------------------
/*Question11.sas*/
datacd4;
infile'd:
/q11.txt';
inputidgroupweeklogcd4;
week_8=max(week-8,0);
run;
procmixeddata=cd4method=remlnoclprint=10covtest;
classid;
modellogcd4=weekweek_8/solutionchisq;
randominterceptweekweek_8/subject=idtype=unggcorrsolution;
odsoutputsolutionR=bluptable;
run;
-----------------------------------------------------------------
/*question20.sas/*
datacd4;
infile'd:
/cd4data.txt';
inputidgroupagesexweeklogcd4;
trt=4;
if(group=3)thentrt=3;
if(group=2)thentrt=2;
if(group=1)thentrt=1;
run;
procsortdata=cd4;bytrt;
procloessdata=cd4;bytrt;
modellogcd4=week/degree=1smooth=0.5;
odsoutputOutputStatistics=Results;
run;
procsortdata=Results;bytrtweek;run;
symbol1color=blackvalue=noneinterpol=joinline=1;
symbol2color=redvalue=noneinterpol=joinline=2;
symbol3color=greenvalue=noneinterpol=joinline=3;
symbol4color=bluevalue=noneinterpol=joinline=4;
axis1label=(angle=90rotate=0);
procgplotdata=Results;
plotPred*week=trt/vaxis=axis1haxis=axis2hm=3vm=3;
run;
-----------------------------------------------------------------
/*question21.sas*/
datacd4;
infile'd:
/q24.txt';
inputidgroupageweeklogcd4;
week_16=max(week-16,0);
run;
procmixeddata=cd4method=remlnoclprint=10covtest;
classid;
modellogcd4=ageweekweek_16/solutionchisq;
randominterceptweekweek_16/subject=idtype=unggcorrsolution;
odsoutputsolutionR=yhat;
run;
-----------------------------------------------------------------
/*question30.sas*/
datacd4;
infile'd:
/wenti3.txt';
inputidgroupageweekcostlogcd4;
trt=4;
if(group=3)thentrt=3;
if(group=2)thentrt=2;
if(group=1)thentrt=1;
run;
procsortdata=cd4;bytrt;
procloessdata=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
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