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趣味数学
第5讲有趣的数字
数字问题一直是中小学数学竞赛中的热门问题,解这类问题一般要用到整数的性质及解整数问题的常用方法,如数的整除性、剩余类、奇偶分析、尾数的性质等。
有时还得用解竞赛题的一些技巧,如筛选、排除、枚举、局部调整、从极端考虑等。
有一类特殊的数字问题,它们的条件与1到9这9个数字或0到9这10个数字有关,这就增加了题目的趣味性。
解这类题目,要注意利用题目条件中有9个或10个不同数字这一条件,另外这9个或10个数字之和是9的倍数这个特点,也很有用。
例1在下式中的每两个相邻数之间都添上一个加号或减号,组成一个算式。
要求算式运算结果等于37,且这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能的大。
10987654321
那么,这些减数的最大乘积是多少?
解:
把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中1个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么结果将要减少这个数的2倍。
因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是
18÷2=9。
对于大于2的数来说,两数之和总比两数乘积小。
为了使这些数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包括1)。
9最多可拆成三数之和2+3+4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24。
添上加、减号的算式是:
10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
例2我的岁数的3次方是一个四位数,我的岁数的4次方是一个六位数,要组成这两个数,需要用遍0到9这10个数字。
问:
我的年龄各是多少?
解:
设我的年龄x。
注意到223=10648和174=83521是五位数,故应有17<x<22。
取x等于18,19,21(x显然不应等于20),逐一计算他们的3次方与4次方,经验证,只有18合乎题意:
183=5832,184=104976。
故x=18。
例3将1~9这9个数字填入下面方格中,且使积P最小:
P=□□□×□□□×□□□。
9的一个排列。
为使P最小,显然a1,a4,a7是1,2,3的一个排列,不妨设a1=1,a4=2,a7=3。
又a2,a5,a8是4,5,6的一个排列。
逐一计算
14×25×36,15×24×36,14×26×35,
15×26×34,16×24×35,16×25×34,
可知14×25×36是六个积中最小的一个。
故知a2=4,a5=5,a8=6。
如果我们掌握了下面的性质,“两数和为定值时,两数的积随着这两数差的减少而增大”的话,那么上述验证的解法可以简化如下:
对于积14×25×36,任意变换两个乘数的个位数字,都会使两乘数的和不变而差减少,从而它们的积也增大,故14×25×36是最小的。
最后a3,a6,a9是7,8,9的一个排列,用类似的方法得a3=7,a6=8,a9=9时,P=147×258×369积最小。
例4能否将自然数1~10填入右图所示的五角星各交点的“○”中,使每条直线上的四个数字之和都相等?
解:
假定能够做到,注意到在计算数字和时,每一个数都被计算了2次,则每条直线上4个数字的和等于
(55×2)÷5=22。
考虑相交于10的两条直线,可知10与1在同一条直线上,否则这两直线的数字和不小于
2×10+(2+3+4+5+6+7)=47。
设与10不在同一条直线上的三个数为x,y,z,则
x+y+z=55-2×22+10=21。
又设x,y,1,u在同一条直线上,则x+y+U+1=22,即x+y+u=21,z=u矛盾。
故满足题设的填法是不存在的。
例5用1,2,…,9这9个数字,最多能组成多少个平方数?
要求每个数字都要用一次且只能用一次。
解:
一位平方数有3个:
1,4和9。
剩下6个数字中2和5,3和6可组成2个平方数25和36,但7和8不能组成平方数。
注意到784=282,故一共可组成5个平方数:
1,9,25,36,784。
例6用1,2,…,9这9个数字排成没有重复数字的九位数,一共可以排多少个?
这些数的最大公约数是多少,
解:
根据乘法原理,一共可以排成
9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880(个)
没有重复数字的九位数。
因为其中每个九位数的数字和都是45,45是9的倍数,所以每个九位数都是9的倍数。
而九位数987654321和987654312的差为9,故它们的最大公约数应是9。
例7左下图中有3个等边三角形和3条通过4个点的直线。
请你将1到9这9个自然数写到9个黑点旁,使得每个等边三角形顶点3个数字之和相等,又要使得每条直线上的4个数字之和相等。
解:
3个三角形上的数字都是不同的,它们的数字之和相等,因此每个三角形上的数字之和等于45÷3=15。
由此我们可以认为,3个三角形上的数字,恰好是纵横图上3条横行,或者3条纵列(见右上图)。
本题要对照三阶纵横图求解。
把3条直线上所有数字相加,中间小三角形上数字要算2次,因此相加之和应是45+15=60,即每条直线上4个数字之和应等于20。
解题的关键是确定中间小三角形上应是哪三个数。
譬如,它是2,7,6,那么7和6所在的直线上另外2个数字之和应是20-7-6=7,可是在三阶纵横图其他两条纵列上,每列各取一数相加之和是不能等于7的。
对于(4,3,8)(2,9,4)和(6,1,8)作同样考察,都会得到与(2,7,6)一样的情况。
当中间小三角形上的3个数是1,5,9时,有5+9+4+2=20,1+9+3+7=20和1+5+8+6=20,得到一个解(见左下图)。
当中间小三角形上的3个数是7,5,3时,得到另一个解(见右下图)。
例8能否在圆周上放置0,1,2,…,9这10个数字,使得任何两个相邻数的差为3,4或5?
解:
因为0,1,2,8,9这5个数中的任何两个都不能排在一起(否则相邻数之差不是3,4或5),故它们之间都应隔着一个数。
但此时其余的5个位置上都不能放置7,无论将7放到哪里,它都会与一个相邻数的差不是3,4或5中的一个。
故满足题意的放置方法是没有的。
说明:
一般而言,将0~n这n+1个数放置到圆周上,使任何两数之差为3,4或5的问题,在n≤12时无解,在n≥13时有解,下图是n=14时的一种放置方法。
例9已知a1,a2,…,a10是0,1,2,…,9的一个排列,a1,a2a3,a4a5a6,a7a8a9a10,都是平方数,写出它们的全部解。
解:
本题宜采用穷举与淘汰相结合的方法来解。
先写出1~99这99个数的平方,删去其中有重复数字的平方数,如122=144等,在剩下的数中进行适当的组合,可以得到四个解:
(1)12=1,62=36,282=784,952=9025。
(2)32=9,92=81,242=576,482=2304。
(3)32=9,92=81,182=324,842=7056。
(4)32=9,42=16,282=784,552=3025。
例10用1,2,…,9这9个数字,组成数字不重复使用的3个三位数,使得第2个数是第1个数的2倍,第3个数是第1个数的3倍。
例如192,384,576。
类似这样的3个三位数还有好几组。
如果这样的三位数有n组,那么在所有这3n个三位数中,最大的一个与最小的一个的差是多少?
解:
在一组满足条件的3个三位数中,第3个数最大,且是3的倍数,依次验证987,984,981,其中981适合((327,654,981)是一组满足条件的3个三位数)。
在一组三位数中,第一个最小,在123~192中经过试验,只有192适合题意。
故本题的解为981-192=789。
说明:
进一步的推算可知,满足题设条件的三位数共有4组:
192,384,576;327,654,981;
219,438,657;273,546,819。
例11用1,2,3,…,9这9个数字,写出大小相等的3个分数,
解:
我们先考虑这些分数都是真分数的情况,解题的关键是抓住以下两个结论:
①三个分数中至多只有一个最简分数。
②数字5不会出现在某个分数的分子或分母的个位上。
(为什么?
请读者考虑。
)
9个数字组成3个真分数,每个数字只用一次,有如下3种情况:
由②知5只能出现在某个分母的十位上,显然这个分数不是最简分数,故此分母要从51~59的合数中去选取。
经试算可得3个解:
综合
(1)
(2)(3)三种情况,满足条件的真分数有7个解,分子分母颠倒后,又得7个解。
本题共有14个解。
例12两人轮流从1,2,…,9这9个数字中取数。
每次取一个,谁先取的数中有3个数的和为15就算赢家。
如果第1个人取的数是5,那么第2个人应该取几才能使自己立于不败之地?
分析与解:
本题条件中的“和为15”,使我们联想到右图中的“幻方”,它的每行、每列及对角线的和都等于15。
故本题等价于甲乙二人轮流将黑白二色棋子放入九宫格中,哪一方放入的棋子先成一行(横行、竖行和斜行)者为胜。
甲先占了中间一格,乙应选哪一格才能保证自己不败?
这个问题实际上是“井字棋”游戏,乙的对策如果不对,会导致失败。
假设乙选择边上的位置,比如选3,则甲选4,乙只好选6。
甲再选2。
这时8,9这两个位置乙只能选一个,甲必得其一,这样甲就必胜无疑了。
所以当甲选5时,乙应选九宫格中位于角上的数字,即应选2,4,6,8中的一个,才能使自己立于不败之地。
]
练习5
1.将数码1,2,3,4,5,6,7,8,9填入下面的9个方格中,组成3个三位数连乘的算式:
□□□×□□□×□□□。
连乘积可能取到的最大值是多少?
2.在下面的一排数字之间填入5个加号,组成一个连加算式,将这个算式的计算结果的最大值记为a,最小值记为b,则a+b的值是多少?
123456789
3.请你将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填入下图的方格中,使得每一行、每一列及两条对角线上的3个数字和都不相等。
4.用1,2,…,9这9个数字,最多可以组成多少个质数?
要求每个数字都要用一次且只能用一次。
5.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字排成没有重复数字的九位数,且这个九位数是11的倍数。
这样的九位数中,最大的一个是多少?
6.能否将数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入左下图中的圆圈中(每个数填一次),使得各个阴影三角形的3个顶点上的数之和相等?
7.在上图的圆圈里,按照顺时针方向把9个数字分成3段,组成3个数。
这3个数恰好是一个乘法等式:
28×157=4396。
下面8个圆圈也有这样的特点,请你也来试一试,怎么分段?
注意:
最后两个圆圈分段以后,被乘数是一位数。
练习5
1.6117211516。
解:
仿例3的解法,可求得
763×852×941=6117211516。
2.6993。
提示:
最大值a=1+2+3+4+5+6789=6804,
最小值b=12+34+56+78+9=189,
a+b=6804+189=6993。
3.
4.6个。
解:
1至9中的质数有4个:
2,3,5,7,剩下的5个数中只有2个奇数:
1和9。
而除了2以外的质数都是奇数,故本题的解是最多可组成6个质数。
例如2,3,5,7,89,461。
5.987652413。
解:
因为这9个数字的和是45,根据能被11整除的数的特征,这个九位数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数,所以这个差只能是0,11,22,33和44。
由于各位数字之和是45为一奇数,根据数的奇偶性可知奇位数字之和与偶位数字之和,只可能是一奇一偶,故它们的差不能是0,22或44。
若差是33,则奇位数字之和与偶位数字之和,只能是39和6,但这是不可能的。
于是差只能为11。
奇位数字之和是28,偶位数字之和是17,这样可以求出最大数为987652413。
6.能。
解:
先考虑位于3个“角”上的3个三角形,它们没有公共顶点,共涉及到9个数(只差中间1个○内的数)。
注意到0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,这9个数有如下几种情况:
(1)和为42。
每个三角形3个顶点上的3个数字之和为14,中间数为3。
与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是9,8;7,6。
还缺一对,不可能。
(2)和为45。
每个三角形3个顶点上3个数字和为15,中间数为0。
与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是9,2;7,4;5,6。
(3)和为39。
每个三角形3个顶点上3个数字和为13,中间数为6。
与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是7,0;5,2;3,4。
(4)和为36。
每个三角形3个顶点上3个数字和为12,中间数为9。
与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只有1,2。
还缺一对,不可能。
据此,有下图所示的两种填法。
7.
(1)42×138=5796;
(2)18×297=5346;
(3)27×198=5346;(4)39×186=7254;
(5)48×159=7632;(6)12×483=5796;
(7)4×1963=7852;(8)4×1738=6952。
提示:
9个数分3段,大体上是两位数和三位数相乘,得到一个四位数。
我们就按2,3,4或3,2,4的关系来试分。
试分以后,需要试算。
试算时,不必把全部乘积都乘出来,最简便的办法是先从个位数来判断。
比如有一种分法是:
21,385,7964,从这3个数的个位数看,因为1×5≠4,所以,就可以判断这种分法不符合题目条件,应该否定。
因此,如果试分以后,被乘数和乘数的个位数相乘,乘积的个位数与分段时的乘积个位数不符,那么就可以否定。
否定了错误的分法,就可以选出正确答案来。
8.3816547290。
解:
根据条件易知a10=0,a5=5;a2,a4,a6,a8分别是偶数2,4,6,8之一,a1,a3,a7,a9分别是奇数1,3,7,9之一。
的倍数,从而a1+a2+…+a6也是3的倍数,于是a4+a5+a6也是3的倍数。
同理a7+a8+a9也是3的倍数。
a4=2或a4=6。
a9找不到适当的数。
下面我们讨论其他三种情况:
综上所述,本题仅有一解:
3816547290。
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