寒假专题全等三角形的应用25.docx
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寒假专题全等三角形的应用25.docx
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寒假专题全等三角形的应用25
年级
初二
学科
数学
版本
人教新课标版
课程标题
寒假专题——全等三角形的应用
编稿老师
何莹娟
一校
林卉
二校
李秀卿
审核
孙永涛
一、学习目标:
1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念;能准确辨认全等三角形的对应元素.
2.掌握全等三角形的性质;会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决某些实际问题.
3.通过对典型例题的解法的探讨,激活学生的解题思维,提高学生的解题水平。
4.从应用的角度将特殊三角形的主要特性系统化,为学生应用这些特性解题奠定基础。
二、重点、难点:
1.全等三角形的识别方法。
2.利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决某些实际问题.
三、考点分析:
全等三角形在我们的生活中应用非常广泛,本讲将通过几个实例与同学们一起来探讨。
三角形是平面几何的重要知识,是历年中考的主要内容之一,主要考查三角形的性质和概念、三角形的内角和定理、三边关系定理、三角形全等的性质与判定、三角形的中位线定理以及特殊三角形(等腰三角形、直角三角形)的性质与判定等。
而三角形的运动、折叠、拼接形成的新数学问题也逐渐增加。
一、全等三角形的实际应用:
全等三角形在我们的生活中应用非常广泛,下面将通过几个实例与同学们一起来探讨其在生活中应用的奥妙。
例1.如图,将两根钢条
,
的中点O连在一起,使
,
可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,则AB的长等于内槽宽A′B′,那么判定
的理由是( )
A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边
思路分析:
1)题意分析:
本题考查全等三角形的判定。
2)解题思路:
新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用,从各地的中考应用题可以看出,它已不再局限于传统而古老的列方程(组)解应用题这类题目,而是呈现了建模方式多元化的新特点,几何应用题就是其中之一。
本题利用全等三角形来解决实际中工件测量的问题,其理论依据是“边角边”,故答案为A。
解答过程:
A
解题后的思考:
判定三角形全等的方法:
(1)边角边定理、角边角定理、边边边定理、斜边直角边定理
(2)推论:
角角边定理
例2.如图,A、B两点分别位于一个池塘的两侧,池塘西边有一座假山D,在DB的中点C处有一个雕塑,张倩从点A出发,沿直线AC一直向前经过点C走到点E,并使CE=CA,然后她测量点E到假山D的距离,则DE的长度就是A、B两点之间的距离.
(1)你能说明张倩这样做的根据吗?
(2)如果张倩恰好未带测量工具,但是知道点A和假山、雕塑分别相距200米、120米,你能帮助她确定AB的长度范围吗?
(3)在第
(2)问的启发下,你能“已知三角形的一边和另一边上的中线,求第三边的范围吗?
”请你解决下列问题:
在△ABC中,AD是BC边的中线,AD=3cm,AB=5cm,求AC的取值范围.
思路分析:
1)题意分析:
本题考三角形全等三角形的应用。
2)解题思路:
欲求AB的距离,但不宜测量,实际生活中这种情况较多,我们可以用学过的知识来解决,比如说全等,用等量来代换,即找到与AB相等的线段DE,这样问题就解决了。
第二问是根据三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边来解决。
第三问是在第二问基础上的综合提高,有一定的区分度,采用的是“倍长中线法。
”
解答过程:
(1)△ABC≌△EDC;
(2)40米 解题后的思考: ①在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等; ②不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b: 有两边和其中一边的对角对应相等,即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。 在平面几何知识的应用中,若要证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常需借助全等三角形的知识。 二、常见证明题: 例3.如图,已知AD=AE,AB=AC.求证: BF=FC 思路分析: 1)题意分析: 题目中已给出两组对边相等,再找到一组对应的量就可证明全等。 2)解题思路: 由BF和FC分别位于ΔDBF和ΔECF中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,即可得到BF=FC。 解答过程: 在ΔACD和ΔABE中, ∴ΔACD≌ΔABE(SAS) ∴∠B=∠C 又∵AD=AE,AB=AC. ∴AB-AD=AC-AE 即BD=CE 在ΔDBF和ΔECF中 ∴ΔDBF≌ΔECF(AAS) ∴BF=FC 解题后的思考: 利用三角形全等是证明线段相等最常用的方法。 例4.已知: 如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证: AB∥CD。 思路分析: 1)题意分析: 本题考查三角形全等的判定。 2)解题思路: 要证AB∥CD,需证∠C=∠A,而要证∠C=∠A,又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC=∠BFA=90°,且已知DE=BF,AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE的条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证∠C=∠A,进一步证明AB∥CD. 解答过程: ∵DE⊥AC,BF⊥AC(已知) ∴∠DEC=∠BFA=90°(垂直的定义) 在ΔABF与ΔCDE中, ∴ΔABF≌ΔCDE(SAS) ∴∠C=∠A(全等三角形的对应角相等) ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行) 解题后的思考: 利用全等三角形可得角相等,再利用角相等证平行。 例5.已知: 如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰直角三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何? 证明你的结论。 思路分析: 1)题意分析: 本题没有直接给出有待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出结论,然后再证明所得结论正确性。 2)解题思路: 通过观察,可以猜测: AO=BC,AO⊥BC. 解答过程: ∵A、B、D在一条直线上,且△ADC、△BDO为等腰直角三角形, ∴∠ADO=∠CDB=90°, AD=CD,OD=DB 延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中 ∴ΔADO≌ΔCDB(SAS) ∴AO=BC,∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相等) ∵∠AOD=∠COE(对顶角相等) ∴∠COE+∠OCE=90o ∴AO⊥BC 解题后的思考: 用全等三角形可得角相等,再利用角之间的关系证明垂直。 例6.如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE。 求证: CD=2CE 思路分析: 1)题意分析: 本题证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等。 2)解题思路: 此题有些类似于老师之前讲过的截长补短法,所以此题有两种思考方式。 (ⅰ)折半法: 取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。 (ⅱ)加倍法。 解答过程: 方法一: 取CD中点F,连接BF。 ∴BF= AC,且BF∥AC(三角形中位线定理) ∴∠ACB=∠2(两直线平行,内错角相等) 又∵AB=AC ∴∠ACB=∠3(等边对等角) ∴∠3=∠2 又∵AB=AC,E为AB中点, ∴BE= , 在ΔCEB与ΔCFB中, ∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS) ∴CE=CF= CD(全等三角形对应边相等) 即CD=2CE 方法二: 延长CE到F,使EF=CE,连BF. 在ΔAEC与ΔBEF中, ∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS) ∴AC=BF,∠4=∠3(全等三角形对应边、对应角相等) ∴BF∥AC(内错角相等,两直线平行) ∵∠ACB+∠CBF=180o, ∠ABC+∠CBD=180o, 又AB=AC∴∠ACB=∠ABC ∴∠CBF=∠CBD(等角的补角相等) 又∵AC=AB=BD, ∴BF=BD。 在ΔCFB与ΔCDB中, ∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS) ∴CF=CD 即CD=2CE 解题后的思考: 关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。 上面这道例题也可这样处理,取AC中点F,连BF(B为AD中点是利用这个办法的重要前提),然后证CE=BF. 例7.如图,已知: △ABC中,AB=AC,∠A=120°。 AB边上的垂直平分线交BC于D,求证: DC=2BD 思路分析: 1)题意分析: 本例的证明也是利用线段的倍半关系,但由于已知中给出角度和中垂线条件,所以解题时就不能盲目套用上例思路。 2)解题思路: 由于DC,BD在同一直线上欲证DC=2BD,表面看似不易,但题中给出AB的中垂线,则可以利用中垂线的性质,去转移等量线段。 故连结AD,这样BD=AD,再证明DC=2AD即可,而DC,AD在同一三角形中,且已知∠A=120°,可求∠B=∠C=30°。 将此问题转化成含30°角的直角三角形性质。 解答过程: 连结AD ∵D在AB的垂直平分线上 ∴BD=AD ∴∠B=∠1 ∵∠BAC=120°,AB=AC ∴∠B=∠C=30° ∴∠DAC=90° 在Rt△DAC中,∠C=30°,则DC=2AD ∴DC=2BD 解题后的思考: 证明一条线段等于另一条线段的2倍,除了可用折半法和加倍法外,还可用含有30°角的Rt△性质;三角形中位线,直角三角形斜边中线等方法,见到线段的垂直平分线,应想到利用它转移等量线段。 小结: 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图 (1),BOC≌EOD,BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的; (1) 旋转 如图 (2),COD≌BOA,COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的; (2) 平移 如图(3),DEF≌ACB,DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。 (3) 下一讲我们将一起研究三角形中的常用辅助线。 人说几何很困难,难点就在辅助线。 辅助线,如何添? 把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角形。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 (答题时间: 90分钟) 一、选择题: 1.根据下列已知条件,能惟一画出三角形ABC的是( ) A.AB=3,BC=4,AC=8;B.AB=4,BC=3,∠A=30°; C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4;D.∠C=90°,AB=6 2.在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′,则补充的这个条件是() A.BC=B′C′B.∠A=∠A′C.AC=A′C′D.∠C=∠C′ 二、填空题 1.如图,已知: △ABC≌△DBE,∠A=50°,∠E=30°,则∠ADB=度,∠DBC=度。 2.如图,已知: △ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于E,垂足为D,如果∠A=40˚,那么∠BEC=。 三、解答题 1.如图,已知∠MON的边OM上有两点A、B,边ON上有两点C、D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上一点。 问: (1)△ABP与△PCD是否全等? 请说明理由。 (2)△ABP与△PCD的面积是否相等? 请说明理由。 2.如图,在锐角△ABC中,∠ABC=2∠C,∠ABC的平分线与AD垂直,垂足为D,求证: AC=2BD。 3.如图,已知: △ABC中,BC=2AB,D、E分别是BC、BD的中点。 求证: AC=2AE 4.如图,已知: △ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D,DE∥BC交AB于E,交AC于F。 求证: BE=EF+CF 一、1.C2.C 二、1.50,202.80˚ 三、1.解 (1)不一定全等,因△ABP与△PCD中,只有AB=CD,而其他角和边都有可能不相等,故两三角形不一定全等。 (2)面积相等,因为OP为∠MON角平分线上一点,故P到边AB、CD上的距离相等,即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等,又根据AB=CD(即底边也相等),从而△ABP与△PCD的面积相等。 2.提示: 延长AD交BC于点M,证明AD=DM,然后过D点作AC的平行线,由中位线定理和等角对等边得到结论。 3.证明: 延长AE到F,使AE=EF,连结DF,在△ABE和△FDE中, BE=DE,∠AEB=∠FEDAE=EF∴△ABE≌△FDE(SAS) ∴∠B=∠FDE,DF=AB ∵D为BC中点,且BC=2AB ∴DF=AB= BC=DC 而: BD= BC=AB,∴∠BAD=∠BDA ∠ADC=∠BAD+∠B,∠ADF=∠BDA+∠FDE ∴∠ADC=∠ADF DF=DC(已证)∴△ADF≌△ADC(SAS) 又∠ADF=∠ADC(已证) AD=AD(公共边) ∴AF=AC∴AC=2AE 4.证明: ∵DE∥BC DB平分∠ABC,CD平分∠ACM ∴∠EBD=∠DBC=∠BDE, ∠ACD=∠DCM=∠FDC ∴BE=DE,CF=DF 而: BE=EF+DF ∴BE=EF+CF
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- 寒假 专题 全等 三角形 应用 25