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建筑下料优秀论文

西安通信学院数学建模模拟练习

承诺书

我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛的题目是：

（填写A或B或C或D）

所　属　部　系：

　　　　　3系2队

参赛队员（打印并签名）：

1.金剑

2.张丽梅

3.申柏川

日期：

20012年5月19日

评阅编号：

西安通信学院数学建模模拟练习

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注

评奖结果:

建筑下料问题

摘要：

本文针对板材下料问题的特点，尽可能的提高板材的利用率，减少资源浪费，建立了模型，其合理性和实用性都比较好。

针对问题一、二：

此问题是多元二维下料问题，我们先根据一元二维下料问题建立了3个模型。

模型一：

穷举法计算所有可能的Xij，将剩下所有可能的下料方法全部列出，然后参考背包问题列出优化模型，利用matlab的函数linprog（）进行求解。

但由于题目所给的板材样式过多，计算机容量和速度决定此方法不可行。

模型二：

用动态规划的方法进行求解，从成品料的面积的开始遍历尽可能多的重复使用最优的一种方法进行下料，利用matlab求解，其中只考虑面积大的开始遍历，而没有过多考虑利用率问题。

模型三：

但是在遍历时是从成品料1开始，根据成品料的利用率选择能使原材料的利用率最大的成品料，这种方案是利用率提高，效果很好。

我们在一原二维下料问题的基础上，用动态规划和“一刀切”思想，将原来那些能在新的成品料实现的方案，在新的成品料下实现，来实现张数最小，其提高利用率，由matlab求的结果基本符合实际。

针对问题三在考虑损耗为3%的情况下，不考虑大规格的窗户改裁为小规格，针对问题四考虑大规格改裁为小规格，同理利用一、二问的方法进行裁剪，使其浪费最小。

最后，总结了问题的意义，并考虑问题的拓展。

关键词：

下料问题，MATLAB求解，背包问题，动态规划

1问题重述

情况分析：

建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗。

再作材料预算时，需要求原材料的张数。

已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。

由于玻璃材料的特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀将玻璃一分为二。

切割次序和方法不同，各种规格搭配（即下料决策）不同，材料的消耗不同。

相关信息：

附件1：

成品料规格及所需快数

解决的问题：

（1）在原材料只有一种规格的情况下（例如长为2900mm，宽为2400mm），给出最优情况下的决策，时所需要材料的张数最少。

（2）在原材料为两种规格的情况下（例如2900mm*2400mm和2100mm*2500mm），给出最优下料决策，使所需要材料张数最少，且利用率（实际使用总面积与原材料总面积只比）尽量高。

（3）附件1是一些成品料及所需要块数（长*宽*块数），分别以一种原材料2900mm*2400mm及两种原材料规格2900mm*2400mm,2100mm*2500mm为例，分别给出

（1）和

（2）的算法及数字结果，并给出两种情况下的利用率。

2问题的分析

随着全球资源的日益匮乏，人们对资源的利用问题的研究越来越重视，下料问题就是其中之一，最大限度的节约原材料，提高原材料利用率是生产中提高效益的一个重要手段，在机械行业，造纸，服装，木材等行业，下料问题都有广泛的实际应用，下料问题就是研究怎样在客观条件下和可以接受的时间下优化得到最优解或近似理论最优解的问题。

3模型假设

针对本问题，建立如下假设：

1.切割玻璃时刀具只能走直线，中间不能拐弯或停顿。

2.每切一刀将玻璃一分为二。

3.不考虑切割时玻璃的损坏。

4.每张原材料都完好可用。

4符号及变量说明

只在一种原材料规格下：

原材料长为L，宽为W；需要的成品共有n种第i钟成品的长为Li,宽为Wi，需要Xi块Xij为在第j块原材料上生产第i种成品Z为需要的原材料数量I（i）为附件1中所给的各种规格块的长（i=1……26）w（i）为附件1中所给的各种规格块的宽（i=1……26）n（i）为附件1中所给的各种规格块的个数（i=1……26）s1,s2是在两次遍历中的原料利用率temp1,temp2,kk为编程过程中的标定函数zhang为此题目所求的最小张数

5模型的建立与求解

问题1分析

由于此题目中，原料是长方形，有长和宽，所以此题是一个2维的板材料问题。

对于2维的板材下料问题：

模型一：

求此题要求所有的可行下料方式都进入，用穷举法计算所有可能的Xij，删去利用率不高的方法，如删去利用率小于百分之八十的方案，并将剩下所有可能的下料方法全部列出，然后根据方案列出优化模型，利用matlab的函数linprog（）进行求解。

模型二：

用动态规划的方法进行求解，从成品料的面积大的开始遍历尽可能多的

重复使用最优的一种方法进行下料，直到所涉及到的某种零件需求加工

完；然后对剩余的零件还是从面积大开始的重复上步的操作，直到所有剩余的零件数目均减小至零为止．原问题的最优解就是各个序列优化问题所求得的最优下料方式的总和．模型三：

方法大致同模型二，但是在遍历时是从成品料1开始，根据成品料的利用率选择能使原材料的利用率最大的成品料,而不是考虑成品料面积的大小，重复上述操作，直到所有剩余的零件数目均减小至零为止。

问题1求解

由于此问题是在两种规格原材料下求解所需要的原材料张数最少，且求原材料张数最少，就是让每张原材料的利用率最大。

模型一：

可借用背包问题，Xij为在第j块原材料上生产第i种成品，则可将i件成品面积放入一个原材料上的背包问题，若只考虑第i件物品的策略，那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。

Xij》=0

用此方法，但由于题目所给的板材样式过多，计算机容量和速度决定此方法不可行，下料的数量极其巨大，所以此方法不可实施。

模型二：

首先在一块原材料上可以先将成品料i（i=1,2……）加以实施，使成品料i的利用最大，然后在余下的不规则矩形中成品料j（j=i+1,i+2……）中选择面积较大的加以实施，用此方法使余下面积的利用率最大，来达到最小的原材料的张数。

板材下料过程如下：

成品料1

原材料剩余

成品料1

原材料剩余

成品料2

…………

程序见附录

（1），在matlab运算结果下，模型二的结果为最小张数为566张。

模型三：

首先在一块原材料上可以先将成品料i（i=1,2……）加以实施，使成品料i的利用最大，然后在余下的不规则矩形中将成品料j（j=i+1,i+2……）中选择能使原材料的剩余面积最大利用的成品料，而不是考虑所用成品料的面积是否最大。

成品料1

原材料剩余

成品料1

原材料剩余可利用最大成品

…………

程序见附录

（2），在matlab运算结果下，模型二的结果为最小张数为566张。

问题1模型的评价

对于一种原料我们建立了3个模型；对于模型一：

但由于题目所给的板材样式过多，计算机容量和速度决定此方法不可行，下料的数量极其巨大，所以此方法不可实施。

对于模型二：

在第一次成品料用过之后，是在余下的成品料中选择最大的向原材料中填放，这样势必会增加原材料的张数，并减小了原材料的利用

率。

对于模型三：

在第一次成品料用过之后，在余下的成品料中选择可是余下的原材料利用最大的成品料，这样就减少了张数，增加了利用率。

问题1材料是二元的情况下，求需要的板材张数最少。

在只有一种原材料其规格是（2900*2400），在此问中，又加了一种原材料（2100*2500），其新加的原材料无论是长，宽，还是面积，都比原来的原材料小。

所以，原材料使用的张数只能比原来所求的多，而不会比他少。

由于一元，在动态规划和“一刀切”思想，由matlab求的结果可为需要原材料其规格是（2900*2400）最少为566张，新加的原材料无论是长，宽，还是面积，都比原来的原材料小，所以在新加材料后，张数必然大于等于602张。

因为题目要求的张数最少，所以取最少张数566张。

如下图组：

重复制作93次重复制作1次

重复制作4次重复制作1次

重复制作37次重复制作1次

重复制作1次重复制作140次

重复制作20次重复制作180次

重复制作79次重复制作1次

重复制作15张

对于问题2在一块成品料上所利用的长没有达到2500，且所利用的宽没有达到2100的张数，将这些张数可以改成（2100*2500）其张数多少没有变化，且原料的利用率有所提高。

程序见附录（3），在matlab运算结果下，模型三的结果为最小张数为566张，其中规格是（2900*2400）为565张，规格为（2100*2500）为1张。

利用率为：

97.13%

针对问题三因为每个规格的板材损耗为3%，则可计算出下料过程中损耗的每个规格的块数，根据问题一二的解题方式求得下料方法使其浪费最小，整体块数为634。

整体利用率为：

92.98%如表1所示：

玻璃规格

总块数

首次损耗块数

2次损耗块数

损耗总块数

600*700

10*2*30=600

18

1

19

600*800

22*2*30=1320

40

2

42

650*1200

8*30*2=480

15

0

15

750*1100

8*30*2=480

15

0

15

750*1200

16*30*2=960

29

1

30

800*1200

9*30*2=540

17

0

17

850*1500

10*30*2=600

18

1

19

表1

针对问题四因为每个规格的板材损耗为3%，且大规格窗户可改为小规格利用假设可利用率为70%.则可计算出各规格剩余的块数，如表2：

玻璃规格

总块数

损耗块数

可改造块数

可被改造块数

还需新造块数

600*700

10*2*30=600

18

0

19

0

600*800

22*2*30=1320

40

29

10

32

650*1200

8*30*2=480

15

10

6

9

750*1100

8*30*2=480

15

10

15

0

750*1200

16*30*2=960

29

21

11

19

800*1200

9*30*2=540

17

11

13

4

850*1500

10*30*2=600

18

13

0

19

表2

及运用问题一二计算原理可解得所需玻璃材料的块数为645，利用率为96.35%。

6模型的检验

将问题1中的数据以规格2100*2500运用smartcut与matlab软件计算得需用825块1型玻璃大于2型所用的块数，所以经检验得出计算结果较优。

问题2,3,4可用同样原理检验其正确性。

7模型的应用与推广

二维下料问题是说，在固定宽度的板材上切割下一些要求大小的目标物，使得消耗的板材长度最小。

对于这个问题，可以把他抽象为这样的数学模型：

每一个目标物设置一个id号，这样一组id号就构成了一个切割顺序。

显然，在这样的模型下，切割顺序和切割方式对于最终的结果有比较大的影响。

略去切割方式，本文在一种切割方式下，集中对切割顺序作一个小小的分析。

切割方法是：

将进入的目标物从下到上，从左到右地在板材上找空闲位置，找到后将板材上的该区域标记；重复上述过程直到没有目标物进入为止。

在上述切割方式下，目标转化为找到一个合适的序列使得切割后使用的板长度尽可能地小。

对于这个序列，使用了遗传算法。

遗传算法控制参数很多，尤其是初始种群的选取对于该算法有较大影响。

选择了从大到小排列目标物，然后象挤牙膏那样生成一组新的序列。

用这样的序列进行进化。

基本上对于较小数目的目标物，很快能给出次优序列

8模型的评价与改进

下料问题（CuttingStockProblem）是一个应用范围很广的热门研究问题，它的特殊情况是装箱问题。

板材下料方案影响着产品生产成本、报价和和材料采购。

特别对于同规格、大批量的产品来说，企业总要花大量人力核算下料方案，微小的调整就有可能节约可观的原材料费用。

无论是人工经验排料，还是计算机辅助排料都难以达到一个最优的程度，所以如何结合板式家具的结构和加工工艺，通过计算机辅助得到更优解是减少资源浪费，减少企业成本，获得最大经济效益是一个非常值得深入研究的问题。

参考文献

【1】叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材[2].湖南:

湖南教育出版社,2000.【2】袁震东，洪源，林武忠，蒋鲁敏数学建模江苏华东师范大学出版社。

1999【3】刘卫国，MATLAB程序设计与应用。

北京高等教育出版社。

2009

附　件

成品料规格及所需块数序号135791113151719212325长*宽865*857804*746857*665804*661804*631804*536804*551762*446680*446667*446647*446580*446551*446块数98196283038561963921962242856224392序号2468101214161820222426长*宽857*715857*675804*663804*639804*563804*535865*446715*446675*446655*446667*426552*446527*426块数98282248422439298982884308196392

附录

（1）

模型二：

clear;l=zeros（1,27）;w=zeros（1,27）;l

（1）=865;l

（2）=857;l（3）=804;l（4）=857;l（5）=857;l（6）=804;l（7）=804;l（8）=804;l（9）=804;l（10）=804;l（11）=804;l（12）=804;l（13）=804;l（14）=865;l（15）=762;l（16）=715;l（17）=680;l（18）=675;l（19）=667;l（20）=655;l（21）=647;l（22）=667;l（23）=580;l（24）=552;l（25）=551;l（26）=527;

w

（1）=857;w

（2）=715;w（3）=746;w（4）=675;w（5）=665;w（6）=663;w（7）=661;w（8）=639;w（9）=631;w（10）=563;

w（11）=536;w（12）=535;w（13）=551;w（14）=446;w（15）=446;w（16）=446;w（17）=446;w（18）=446;w（19）=446;w（20）=446;w（21）=446;w（22）=426;w（23）=446;w（24）=446;w（25）=446;w（26）=426;zhang=0;n=zeros（26,1）;n

（1）=98;n

（2）=98;n（3）=196;n（4）=28;n（5）=28;n（6）=224;n（7）=308;n（8）=84;n（9）=56;n（10）=224;n（11）=196;n（12）=392;n（13）=392;n（14）=98;n（15）=196;n（16）=98;n（17）=224;n（18）=28;n（19）=28;n（20）=84;n（21）=56;n（22）=308;n（23）=224;n（24）=196;

n（25）=26;n（26）=392;zhang1=0;s1=0;s2=0;s3=0;s4=0;temp2=0;kk=0;forj=1:

26m=2100-l（j）*fix（2100/l（j））;e=1650-w（j）*fix（1650/w（j））;whilen（j）>0n（j）=n（j）-fix（2100/l（j））*fix（1650/w（j））;zhang=zhang+1;kk=0;fori=j:

26if（e>w（i）&n（i）>fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））&n（i）>fix（e/w（i））*fix（2100/l（i））&n（i）>0）if（w（i）*l（i）>s1）s1=w（i）*l（i）;temp1=i;kk=1;endendif（m>w（i）&n（i）>fix（m/l（i））*fix（（1650-e）/w（i））&n（i）>fix（m/w（i））*fix（（1650-e）/l（i））&n（i）>0）if（w（i）*l（i）>s2）s2=w（i）*l（i）;temp2=i;kk=1;endendends1=0;s2=0;ifkk~=0if（temp1~=0）i=temp1;n（i）=n（i）-max（fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））,fix（e/w（i））*fix（2100/l（i）））;

endif（temp2~=0）n（temp2）=n（temp2）max（fix（m/l（temp2））*fix（（1650-e）/w（temp2））,fix（m/w（temp2））*fix（（1650e）/l（temp2）））;endendendend

附录

（2）

s1=0;s2=0;s3=0;s4=0;temp2=0;kk=0;forj=1:

26m=2100-l（j）*fix（2100/l（j））;e=1650-w（j）*fix（1650/w（j））;whilen（j）>0n（j）=n（j）-fix（2100/l（j））*fix（1650/w（j））;zhang=zhang+1;kk=0;temp1=0;temp2=0;fori=j:

26if（e>w（i）&n（i）>fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））&n（i）>fix（e/w（i））*fix（2100/l（i））&n（i）>0）if（max（fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））*l（i）*w（i）/2100/e,fix（e/w（i））*fix（2100/l（i））*l（i）*w（i）/2100/e）>s1）s1=max（fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））*l（i）*w（i）/2100/e,fix（e/w（i））*fix（2100/l（i））*l（i）*w（i）/2100/e）;temp1=i;kk=1;endendif（m>w（i）&n（i）>fix（m/l（i））*fix（（1650-e）/w（i））&n（i）>

fix（m/w（i））*fix（（1650-e）/l（i））&n（i）>0）if（max（fix（m/l（i））*fix（（1650-e）/w（i））*l（i）*w（i）/（（1650-e）*m）,fix（m/w（i））*fix（（1650-e）/l（i））*l（i）*w（i）/（1650-e）/m）>s2）s2=max（fix（m/l（i））*fix（（1650-e）/w（i））*l（i）*w（i）/（（1650-e）*m）,fix（m/w（i））*fix（（1650-e）/l（i））*l（i）*w（i）/（1650-e）/m）;temp2=i;kk=1;endendends1=0;s2=0;ifkk~=0if（temp1~=0）n（temp1）=n（temp1）-max（fix（e/l（temp1））*fix（2100/w（temp1））,fix（e/w（temp1））*fix（2100/l（temp1）））;endif（temp2~=0）n（temp2）=n（temp2）max（fix（m/l（temp2））*fix（（1650-e）/w（temp2））,fix（m/w（temp2））*fix（（1650e）/l（temp2）））;endendendend

附录（3）

temp2=0;kk=0;tt1=0;tt2=0;forj=1:

26m=2100-l（j）*fix（2100/l（j））;e=1650-w（j）*fix（1650/w（j））;whilen（j）>0n（j）=n（j）-fix（2100/l（j））*fix（1650/w（j））;

shiji.k=shiji.k+fix（1650/w（j））*w（j）;shiji.c=shiji.c+fix（2100/l（j））*l（j）;zhang=zhang+1;kk=0;temp1=0;temp2=0;fori=j:

26if（e>w（i）&n（i）>fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））&n（i）>fix（e/w（i））*fix（2100/l（i））&n（i）>0）if（max（fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））*l（i）*w（i）/2100/e,fix（e/w（i））*fix（2100/l（i））*l（i）*w（i）/2100/e）>s1）s1=max（fix（e/l（i））*fix（2100/w（i））*l（i）*w（i）/2100/e,fix（e/w（i））*fix（2100/l（i））*l（i）*w（i）/2100/e）;temp1=i;kk=1;endendif（m>w（i）&n（i）>fix（m/l（i））*fix（（1650-e）/w（i））&n（i）>fix（m/w（i））*fix（（1650-e）/l（i））&n（i）>0）if（max（fix（m/l（i））*fix（（1650-e）/w（i））*l（i）*w（i）/（（1650-e）*m）,fix（m/w（i））*fix（（1650-e）/l（i））*l（i）*w（i）/（1650-e）/m）>s2）s2=max（fix（m/l（i））*fix（（1650-e）/w（i））*l（i）*w（i）/（（1650-e）*m）,fix（m/w（i））*fix（（1650-e）/l（i））*l（i）*w（i）/（1650-e）/m）;temp2=i;kk=1;endendends1=0;s2=0;ifkk~=0if（temp1~=0）n（t