小学奥数教程之数的整除.docx
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小学奥数教程之数的整除
数的整除
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知识定位
本讲是数论知识体系中的一个基石,整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的,是很重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性,在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上,这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识梳理
1.常见数字的整除判定方法
(1).一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;
一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;
一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;
(2).一各位数数字和能被3整除,这个数就能比9整除;
一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除;
(3).如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.
(4).如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.
【备注】(以上规律仅在十进制数中成立.)
注:
在给学生讲解常见数字的判定性质时,要分系列来讲,例如有2系列,5系列,3系列和7,11,13系列,便于记忆。
对于11的单独判定特性需要重点讲解。
2.整除性质
性质1如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,
c︱b,那么c︱(a±b).
注:
在理解这个性质时,我们要注意,反过来是不成立的,即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除,这两个数不一定能被c整除.如5︱(26+24),但5
26,5
24.
可以引入下面的问题
2∣12,12∣36.2能否整除36?
显然,回答是肯定的.这是因为36是12的倍数,12又是2的倍数,那么36一定是2的倍数.由此我们又可以得出:
性质2如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,
c∣b,那么c∣a.
用同样的方法,我们还可以得出:
性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那
么b∣a,c∣a.
性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b
与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.
例如:
如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4)∣12.
性质5如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);
性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么bd也能被ac整除.如果b|a,且d|c,那么ac|bd;
3.重点难点解析
(1).常见数字的整除判定性质
(2).将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性
(3).代数式之间整除性的判断,代数思想的应用
(4).试除法的理解和应用
4.竞赛考点挖掘
(1).与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目
(2).代数式之间的整除性问题
例题精讲
【试题来源】
【题目】
已知道六位数20□279是13的倍数,求□中的数字是几?
【答案】1
【解析】
本题为基础题型,利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
173□是个四位数字。
数学老师说:
“我在这个□中先后填人3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。
”问:
数学老师先后填入的3个数字的和是多少?
【答案】19
【解析】
方法一:
利用整除判定特征,逐个分析易知这三种情况下填入方格的数字和为7+8+4=19.
方法二:
采用试除法(本讲的重点方法)
用1730试除,1730÷9=192……2,1730÷1l=157……3,1730÷6=288……2.
所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除.
所以,这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么它的最后三位数字依次是多少?
【答案】320
【解析】
本题可采用整除数字的判定特征进行判断,但是太过繁琐。
采用试除法比较方便,若使得7位数能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,只要让七位数是2,3,4,5,6,7,8,9最小公倍数的倍数即可。
【2,3,4,5,6,7,8,9】=2520.
用1993000试除,1993000÷2520=790……2200,余2200可以看成不足2520-2200=320,所以在末三位的方格内填入320即可.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?
【答案】875413
【解析】
根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数,我们不妨设奇数位上的数和为a,偶数位上的数和为b,那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22…等情况,根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数,那么差也必须为偶数,但是a-b不可能为22,所以a-b=0,解得a=b=14,则容易排列出最大数875413.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数,使它能被3、5、7、13整除,这个数最大是多少?
【答案】94185
【解析】
本题采用试除法。
因为3,5,7,13的最小公倍数为1365,在100000之内最大的1365的倍数为99645
(100000÷1365=73……355,100000-355=99645),但是不符合数字各不相同的条件,于是继续减1365依次寻找第二大,第三大的数,看是否符合即可。
有99645-1365=98280,98280-1365=96915.96915-1365=95550.95550-1365=94185.
所以,满足题意的5位数最大为94185.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
修改31743的某一个数字,可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几?
【答案】3
【解析】
本题采用试除法。
823是质数,所以我们掌握的较小整数的特征不适用,31743÷823=38……469,于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354,于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动.
有n=1时,354+823:
1177,n=2时,354+823×2=2000,所以当千位增加2,即改为3时,有修改后的五位数33743为823的倍数.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
在下面的方框中各填一个数字,使六位数11□□11能被17和19整除,那么方框中的两位数是多少?
【答案】5,3
【解析】本题采用试除法。
如果一个数能同时被17和19整除,那么一定能被323整除.
110011÷323=340……191,余191也可以看成不足(323-191=)132.
所以当132+323n是100的倍数时,才能保证在只改动110011的千位、百位数字,而得到323的倍数.所以有323n的末位只能是10-2=8,所以n只能是6,16,26,…
验证有n=16时,132+323×16=5300,所以原题的方框中填入5,3得到的115311满足题意.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
已知四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?
【答案】6
【解析】
我们知道
这样的六位数一定能整除7、11、13
原41位数中从高位数起共有20个5,从低位数起共有20个9,那么我们可以分别从低位和高位选出555555,和999999,从算式的结构上将就是进行加法的分拆,即:
555555×10…00(35个0)+555555×10…00(29个0)+…+55□99+999999×10…00(12个0)+…+999999.
这个算式的和就是原来的41位数,我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数,唯独剩余55□99待定,那么只要令55□99是7的倍数即可。
利用7的整除判定特征我们容易得到□应填的数字为6.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
某个自然数既能写成9个连续自然数的和,还同时可以写成10个连续自然数的和,也能写成11个连续自然数的和,那么这样的自然数最小可以是几?
【答案】495
【解析】
本题所体现的是一个常用小结论,即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。
任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数,并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。
证明方法很简单,以连续9个奇数为例子:
我们可以令连续9个奇数为:
a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4则他们的和为9a,即为9的倍数。
对于连续10个自然数,可以为a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5
则它们的和为10a+5=5(2a+1),即是5的倍数且除以5后商是奇数。
所以本题中要求的数是5,9,11的最小公倍数的倍数即495的倍数,最小值即495.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】
【试题来源】
【题目】
用数字6,7,8各两个,组成一个六位数,使它能被168整除。
这个六位数是多少?
【答案】768768
【解析】
因为168=8×3×7,所以组成的六位数可以被8、3、7整除.
能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数,末两位组成的数一定是4的倍数,末位为偶数.在题中条件下,验证只有688、768是8的倍数,所以末三位只能是688或768,而又要求是7的倍数,由例8知
形式的数一定是7、11、13的倍数,所以768768一定是7的倍数,□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数.
至于能否被3整除可以不验证,因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数,在题中给定的条件下,不管怎么填数字和都是定值。
所以768768能被168整除,且验证没有其他满足条件的六位数.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
将数字4,5,6,7,8,9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除以667的结果是多少?
【答案】1434
【解析】
本题考察对数字667的特殊认识,即667×3=2001。
本题要求用4,5,6,7,8,9组成一个667的倍数,其实发现4,5,6,7,8,9组合出的数一定是3的倍数,那么只要考虑组成一个2001的倍数即可,而2001的六位数倍数具有明显的特征,即后三位是前三位的一半,那么我们可以发现前三位一定是900多的数字,后三位是400多,很容易得到956478。
那么956478÷667=1434。
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。
【答案】7
【解析】
本题考察代数知识的综合技巧,是一道难度较大的题目。
要使得2008+a能被2007-a整除,我们可以将条件等价的转化为只要让
是一个整数即可。
下面是一个比较难的技巧,我们知道若a可以使得
是一个整数,那么a也同样可以使得
是一个整数,这样只要
2007-a是4015的约数即可,将4015分解可知其共有8个因数,其中4015是最大的一个,但是显然没有可以让2007-a等于4015的a的值,其余的7个均可以有对应的a的值,所以满足条件的a的取值共有7个。
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】
有8个盒子,各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块.甲先取走一盒,其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问:
甲取走的一盒中有多少块奶糖?
【答案】31
【解析】
我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中,糖的块数是丁所取糖块数的5倍.
八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.
从216减去5的倍数,所得差的个位数字只能是1或6.
观察各盒糖的块数发现,没有个位数字是6的,只有一个个位数字是1的数31.
因此甲取走的一盒中有3l块奶糖.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
请求出最大的七位数,使得它能被3、5、7、11、13整除,且各位数字互不相同,这个七位数是多少?
【答案】7402395
【解析】
解法一:
因为7×11×13=1001,999×1001=999999不是七位数,这个七位数是1001×abcd=abcd000+abcd,如果c不是9,那么b就会重复,所以c=9,因为是5的倍数,所以d=5,要使最大,先假设a=8时,b取8,5,2都不符合要求,当a=7时,b取9,6,3,0中3符合要求,所以最大的是7402395分析题意知,这个七位数是7×11×13=1001的倍数,根据1001的特点,
解法二:
假设这个七位数是abcdefg,满足abcd-efg=n00n,很容易得出c=0,f=9,b和e相差1,如果g=0,那么a=d,所以g=5。
假设a=8,那么d=3,b和e就是2,1或者7,6,经检验都不符合要求。
假设a=7,那么d=2,b和e就是4,3,经检验刚好可以。
这个七位数是7402395
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?
【答案】875413
【解析】
根据能被11整除的性质,奇数位数字和与偶数位的数字和的差为11的倍数,可以得知:
奇数位为:
8,5,1;偶数位上为:
3,4,7
那么满足条件的六位数为:
875413.
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
算式:
2×□□□=□□□,把2.3.4.5.6.7这六个数字分别填入□里,使算式之积能被13整除,积是多少?
【答案】546
【解析】
根据整除性可知:
2×273=546
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
从1,2,3,4,...,2007中取N个不同的数,取出的数中任意三个的和能被15整除。
N最大为多少?
【答案】134
【解析】
因为任意三个数的和都是15的倍数,所以每个数除以15的余数是5,最小数是0×15+5,最大数是15×133+5=2000,所以N最大为133+1=134
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】
在小于5000的自然数中,能被11整除,并且数字和为13的数,共有多少个?
【答案】18
【解析】
这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和的差d为11的倍数,而它们的数字和又为13,因此,d只能为11的奇数倍。
这个数最多为四位数,所以奇数位数字和与偶数位数字和都小于9,即小于18,所以d=11,奇偶位的数字和为12,1或者1,12。
.所以,这个数至少是三位数,如果是三位数,那么它可以是913,814,715,616,517,418,319这7个。
如果是四位数,那么它可以是1903,1804,1705,1606,1507,1408,1309,3190,3091,4180,4081,一共11个
这样,一共有7+11=18个。
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】
已知
是891的倍数,其中a,b,c各代表一个数字,那么三位数
代表的是多少?
【答案】757
【解析】
891=9×9×11,说明,
都是9的倍数,并且其中有一个是11的倍数,综合分析可以知道:
a=7,b=5,c=7,所以
为757
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
各位数字是0,1或2,且能被225整除的最小自然数是多少?
【答案】1222200
【解析】
225=9×25,能被25整除的数满足末两位能被25整除就可以了,那么所求数的末两位一定为00,又它因为能被9整除,满足数的各位数字的和为9的倍数,数字和最小为9,9=1+2+2+2+2,所以满足条件的最小的自然数为1222200
【知识点】数的整除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】六位数20□□08能被49整除,□□中的数是多少?
【答案】05
【解析】05
【知识点】数的整除
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少?
【答案】90
【解析】90
【知识点】数的整除
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知
中
一共重复了20次.那么这个数被37除得的余数是多少?
【答案】17
【解析】17
【知识点】数的整除
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有些数既能表示成3个连续自然数的和,又能表示成4个连续自然数的和,还能表示成5个连续自然数的和。
请找出700到1000之间,所有满足上述条件的自然数。
【答案】750,810,870,930,990
【解析】750,810,870,930,990
【知识点】数的整除
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】找出4个不同的非零自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除.如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这4个数里中间两个数的和是多少?
【答案】7
【解析】7
【知识点】数的整除
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有15位同学,每位同学都有编号,他们是l号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说:
“这个数能被2整除”,3号说:
“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除.1号作了一一验证:
只有编号连续的两位同学说得不对,其余同学都对.那么:
(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数.
【答案】
(1)8,9
(2)60060
【解析】
(1)8,9
(2)60060
【知识点】数的整除
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
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