学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义模块复习精要 复习课三不等式 Word版含答案.docx
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复习课(三) 不等式
一元二次不等式
一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体.贯穿于高中数学的始终,更是高考的重点内容,在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般以小题形式出现,难度不大,但有时在解答题中与其它知识联系在一起,难度较大.
解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系,其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽.
(1)确定ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键.在未确定a的取值情况下,应先分a=0和a≠0两种情况进行讨论.
(2)若给出了一元二次不等式的解集,则可知二次项系数a的符号和方程ax2+bx+c=0的两个根,再由根与系数的关系就可知a,b,c之间的关系.
(3)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论:
①对二次项系数与0的大小进行讨论;②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与0的大小进行讨论;③当判别式大于0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论.
[典例]
(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1 A. B. C.{x|-2 (2)解关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0. [解析] (1)由题意知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的根.由根与系数的关系得⇒ ∴不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0. 解得-1 [答案] A (2)解: 当a=0时,解集为R; 当a>0时,Δ=-12a<0,∴解集为R; 当a<0时,Δ=-12a>0,方程ax2-2ax+a+3=0的两根分别为,, ∴此时不等式的解集为. 综上所述,当a≥0时,不等式的解集为R;a<0时,不等式的解集为. [类题通法] 解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集. 1.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=________. 解析: 根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2-6x+a2=0的一个根,即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3,当a=2时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,2),符合要求;当a=-3时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去.故m=2. 答案: 2 2.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b的值; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 解: (1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得解得 (2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0, 即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2 当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c 当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅. 所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2 当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c 当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅. 简单的线性规划问题 高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用,命题形式以选择题、填空题为主,命题模式是以线性规划为载体,考查区域的划分、区域的面积,涉及区域的最值问题、决策问题、整点问题、参数的取值范围问题等. 1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法. 2.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解: 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解. (4)求最值: 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [典例] (1)设变量x,y满足约束条件: 则目标函数z=的最小值为( ) A.1B.2 C.3D.4 (2)某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元.对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元B.31.2万元 C.30.4万元D.24万元 [解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC,目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0,-1)连线的斜率,显然图中AP的斜率最小.由解得点A的坐标为(2,1),故目标函数z=的最小值为=1. (2)设对项目甲投资x万元,对项目乙投资y万元, 则 目标函数z=0.4x+0.6y.作出可行域如图所示,由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值,代入得zmax=0.4×24+0.6×36=31.2,所以选B. [答案] (1)A (2)B [类题通法] (1)求目标函数最值的一般步骤为: 一画、二移、三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义. (2)在约束条件是线性的情况下,线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验. 1.不等式组表示的平面区域的面积为( ) A.4B.1 C.5D.无穷大 解析: 选B 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分),△ABC的面积即为所求.求出点A,B,C的坐标分别为(1,2),(2,2),(3,0),则△ABC的面积为S=×(2-1)×2=1. 2.已知实数x,y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有 无数个,则a=________. 解析: 依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,如图所示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1. 答案: 1 3.某公司用两种机器来生产某种产品,第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费;第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费.第一种机器的年利润每台有9万日元,第二种机器的年利润每台有6万日元,但政府核准的外汇日元为135万元,并且公司的总维护费不得超过1800元,为了使年利润达到最大值,第一种机器应购买________台,第二种机器应购买________台. 解析: 设第一种机器购买x台,第二种机器购买y台,总的年利润为z万日元,则目标函数为z=9x+6y. 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点. 当直线z=9x+6y经过点M,即到达l1位置时,z取得最大值,但题目要求x,y均为自然数,故进行调整,调整到与M邻近的整数点(33,7),此时z=9x+6y取得最大值,即第一种机器购买33台,第二种机器购买7台获得年利润最大. 答案: 33 7 基本不等式 考试中单纯对不等式性质的考查并不多,但是不等式作为工具几乎渗透到各个考点,所以其重要性不言而喻.而利用基本不等式求最值,解决实际问题是考试的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度为中、低档题. 基本不等式的常用变形 (1)a+b≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立; (2)a2+b2≥2ab,ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立; (3)+≥2(a,b同号且均不为零),当且仅当a=b时,等号成立; (4)a+≥2(a>0),当且仅当a=1时,等号成立;a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时,等号成立. [典例] (1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( ) A.B. C.5D.6 (2)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是( ) A.B. C.2D. [解析] (1)由x+3y=5xy可得+=1, ∴3x+4y=(3x+4y)=+++≥+=5当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立, ∴3x+4y的最小值是5. (2)由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值为2. [答案] (1)C (2)C [类题通法] 条件最值的求解通常有两种方法: 一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. 1.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为( ) A.3B.4 C.5D.6 解析: 选B 依题意,因为+=1, ∴(a-1)(b-1)=1, 因此+≥2=4, 当且仅当=, 即a=,b=3时“=”成立. 2.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为________. 解析: =5++4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=时“=”成立. 答案: 9 绝对值不等式 绝对值不等式主要考查解法及简单的应用,题目难度中档偏下,着重考查学生的分类讨论思想及应用能力. 1.公式法 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x); |f(x)| 2.平方法 |f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2. 3.零点分段法 含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解. 4.对于不等式恒成立求参数范围问题,常用分离参数法、更换主元法、数形结合法解决. [典例] 已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求a的值; (2)若≤k恒成立,求k的取值范围. [解] (1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意. 当a>0时,-≤x≤,得a=2. (2)法一: 记h(x)=f(x)-2f, 则h(x)=所以|h(x)|≤1, 因此k的取值范围是[1,+∞). 法二: =||2x+1|-2|x+1|| =2≤1, 由≤k恒成立, 可知k≥1, 所以k的取值范围是[1,+∞). [类题通法] 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,化成不含绝对值的不等式,其一是依据绝对值的意义;其二是先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值. 1.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为________. 解析: 原不等式即|2x+1|>2|x-1|,两端平方后解得12x>3,即x>. 答案: 2.设关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)>a. (1)当a=1时,解此不等式; (2)当a为何值时,此不等式的解集是R. 解: (1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)>1, ⇔|x+3|+|x-7|>10, ⇔或或 ⇔x>7或x<-3. 所以不等式的解集为{x|x<-3或x>7}. (2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,则有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x-7)≤0, 即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10. ∴lg(|x+3|+|x-7|)≥1. 要使lg(|x+3|+|x-7|)>a的解集为R,只要a<1. 1.若<<0,则下列不等式不正确的是( ) A.a+b<ab B.+>0 C.ab<b2D.a2>b2 解析: 选D 由<<0,可得b<a<0,故选D. 2.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( ) A.-3B.1 C.-1D.3 解析: 选A 由题意: A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2}.A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知: a=-1,b=-2,∴a+b=-3. 3.函数y=(x>1)的最小值是( ) A.2+2B.2-2 C.2D.2 解析: 选A ∵x>1, ∴x-1>0. ∴y== = = =x-1++2 ≥2+2(当且仅当x-1=,即x=+1时等号成立). 4.不等式|x-2|-|x-1|>0的解集为( ) A.B. C.D. 解析: 选A 不等式|x-2|-|x-1|>0即|x-2|>|x-1|,平方化简可得2x<3,解得x<,故选A. 5.已知圆C: (x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω: 若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( ) A.5B.29 C.37D.49 解析: 选C 由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切,∴b=1.显然当圆心C位于直线y=1与x+y-7=0的交点(6,1)处时,amax=6.∴a2+b2的最大值为62+12=37.故选C. 6.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( ) A.0B.1 C.D.3 解析: 选B 由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2, ∴==. 又x,y,z为正实数,∴+≥4,即≤1, 当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2. ∴+-=+- =-2+=-2+1, 当=1,即y=1时,上式有最大值1. 7.若x,y满足约束条件则的最大值为________. 解析: 画出可行域如图阴影部分所示, ∵表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率, ∴点(x,y)在点A处时最大. 由得 ∴A(1,3). ∴的最大值为3. 答案: 3 8.设正数a,使a2+a-2>0成立,若t>0,则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”). 解析: 因为a2+a-2>0,所以a<-2或a>1, 又a>0,所以a>1, 因为t>0,所以≥, 所以loga≥loga=logat. 答案: ≤ 9.若实数x,y满足约束条件已知点(x,y)所表示的平面区域为三角形,则实数k的取值范围为________,又z=x+2y有最大值8,则实数k=________. 解析: 作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.要想点(x,y)所表示的平面区域为三角形,则B(2,2)必须在直线2x-y=k的右下方,即2×2-2>k,则k<2,则实数k的取值范围为(-∞,2). 观察图象可知,当直线z=x+2y过点A时,z有最大值,联立解得即A,代入z=x+2y中,即+2×=8,解得k=-4. 答案: (-∞,2) -4 10.已知函数f(x)=|x-2|. (1)解不等式: f(x+1)+f(x+2)<4; (2)已知a>2,求证: 对任意x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立. 解: (1)f(x+1)+f(x+2)<4,即|x-1|+|x|<4, ①当x≤0时,不等式为1-x-x<4,即x>-, ∴-<x≤0是不等式的解; ②当0<x≤1时,不等式为1-x+x<4,即1<4恒成立,∴0<x≤1是不等式的解; ③当x>1时,不等式为x-1+x<4,即x<, ∴1<x<是不等式的解. 综上所述,不等式的解集为. (2)证明: ∵a>2, ∴f(ax)+af(x)=|ax-2|+a|x-2| =|ax-2|+|ax-2a|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|>2, ∴对任意x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立. 11.某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元.设f(n)表示前n年的纯利润总和. (注: f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额) (1)从第几年开始获利? (2)若干年后,外商为开发新项目,有两种处理方案: ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂; ②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂; 问哪种方案最合算? 为什么? 解: 由题意知,每年的经费是以12为首项,4为公差的等差数列,∴f(n)=-2n2+40n-72. (1)获利就是要求f(n)>0,所以-2n2+40n-72>0,解得2 (2)①年平均利润==40-2≤16. 当且仅当n=6时取等号. 故此方案共获利6×16+48=144(万美元),此时n=6. ②f(n)=-2(n-10)2+128. 当n=10时,f(n)max=128. 故第②种方案共获利128+16=144(万美元), 故比较两种方案,获利都是144万美元. 但第①种方案只需6年,而第②种方案需10年,故选择第①种方案最合算. 12.已知α,β是方程x2+ax+2b=0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求的最大值和最小值. 解: 设f(x)=x2+ax+2b, 由题意f(x)在[0,1]和[1,2]上各有一个零点, ∴即 建立平面直角坐标系aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图. 由 解得即C(-3,1). 令k=,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率. 又B(-1,0),C(-3,1),则kAB=,kAC=, ∴≤≤. 故的最大值是,最小值是.
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