复数题型归纳.docx
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复数题型归纳
复数题型归纳(总
北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入
自我总结卷
一、选择题:
1、复数z=l+i(i是虚数单位),则复数(z+l)(z-1)虚部是()【答案】D
A、-l+2iB、-1C、2iD、2
1、"0是复数"+勿为纯虚数的()【答案】B
A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、非充分非必要条件
1、已知复数石=3+4i,z2=/+/,且石•云是实数,则实数/等于(A)•期中考试题
43
C*~3D*~4
解析A-"^=(3+4i)(e-i)=(3e+4)+(4e-3)i.因为戲•二■是实敛,所以4e-3=0,所以e=|.因此选人
1、若复数(肿一3协-4)+伽2一5加-6”是虚数,则实数加满足()【答案】D
(A)〃?
工一1(B)ffi6(C)也工一1或〃?
工6(D)也工一1且
m丰6
1、若gggC,则勺•乙2+XZ2是()【答案】B
A纯虚数B实数C虚数D无法确定
【答案】A
1.
A1B-1
C±1
D以上都不对
已知复数心―,若壬为实数,则实如的值为(
)【答案】
B.-2
D.
2.
i表示虚数单位,则^+”+户+…+严®的值是(
•3
答案A
2x
A.0
B.1
C-i
D.
已知z=-¥,则1+尹+严的值为(A
A、
B、
C、2+i
K若(x2-1)+(x2+3x+2)Z是纯虚数,则实数*的值是()
2、复数誌等于()
答案:
B
C.
1-岛
D.-1-孙
2、复数(工尸的值是()
1+Z
A・一1B・1
【答案】A
C.
32
D.
-32
2、已知x+-=\f则+的值为
XX
A-1B1C-/
【答案】A
2、f(n)=in+r\(neN^的值域中,元素的个数是(B)
A、2
B、3
C>4
D>无数个
3.在复平面内,若复数满足收+1曰込-八,则所对应的点的集合构成的图形
3、lz+3+4/l<2,则Izl的最大值为(B)
A3B7C9D5
3.若zeC且lzl=l,Mlz-2-2/1的最小值是(C)
A.2>/2
B.2^2+1C.2迈D・V2
3.如果复数N
满足|z+i|+|z—i|=2,那么|z+1+iI的最小
值是()•
J-
A.1
C.2
解析|z+i|+|z—i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,—1)为端点的线段
±,lz+1+il表示点Z到(一1,一1)的距离.由图知最小值为1・答案A
3.若同=2且|z+/|=|z-l|,则复数:
:
二z=72(1-/)或乙=-迈(1-。
3.如果zwC,且|z|=l,则\z-\-2i\的最大值为【答
案】岳+1
3-若zeC且迂+2-2门=1,则迂-2-2门的最小值是()答案:
B
A.2B.3C・4D・5
3.已知复数Z=x+yi(x,ye/?
x>i),满足比-1|=兀,那么z在复平面上
对应的点(x,y)的轨迹是().
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
解析Vz=x+yi(x,yGR,Q*)■满足\z—l\=x9/•(x—l)a+y=x\故<=2l1・答案D
3.已知方程収-21-Iz+2If表示等轴双曲线,则实数"的值为(A)
A、±2^2B.2近C、±V2D.迈
4.已知复数z=-1+几贝贬在复平面内对应的点在第几象限()【答案】
D.四
【答案】D
B.第二象限
D.第四象限
)【答案】B
D.第四象限
A•一B•二C•三
4.在复平面内,复数二对应的点位于()
A.第一象限
C.第三象限
4.在复平面内,复数厶+(1+履尸对应的点位于(
1+2
A.第一象限B.第二象限C.第三象限
4.
已知i为虚数单位,则丄所对应的点位于复平面内点(1+i
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限
D.
5、
(m+CR,则实数加的值为(B
A>±2y/3
B>
D、
)【答案】A
第四象限
若“C,则方程lxl=l+3/-x的解是(C
A、
B、
C、
—4+3,
D、
rf-
5、MS=1+cosa+isina,(;r (B A2cos— -2cos— C2sin^ D~2tan? 6. 2+i+1-2/ A.iB.2i 6•复的虚部是() A.2B.-2 6. (1+2/)2(2-/)2 1-z1+/ 等于( 【答案】C D.- 5 【答案】B C・2/D.-2z 【答案】B A.3-4/ B.-3+4/ C.3+4/ D.—3—4/ 6.若复数巳(i是虚数单位)的实部和虚部相等,则实数a等于()【答2+i 案】D A.—1B.—C.—D.3 33 6.已知复数Z,=3-/7/,z2=1-2/.若乞是实数,则实数方的值为()【答案】A s A.6B.-6C-0D.- 6 7.对于两个复数a=-l+^Z,卩=一卜有下列四个结论: ①ap=l; ③g=l;④小+宀1,其中正确的结论的个数为() 【答案】B A. C.3 B・2 7.下面是关于复数z=Z的四个命题: 1-/ D.4 【答案】C Pi: 同=2, 其中真命题为( 戸肱的共轨复数为-1+i 几: z的虚部为1 B.P\2 C. D. 8.若复数z满足方程z2+2=0, A.±2迈B.-2V2 则的值为() C.±2^/ 【答案】C 12.定义运算 =ad—bcy则对复数z=x+yi(x, D.-2厲/ Z1 z2i yGR)符合条件 =3+2i的复数z等于. 解析由定义运算,得 3+2i -l+2i 3+2i-l-2i18. =——1 -1+21-l-2i55 答案 18.———i 551 2.填空题: 1.若复数z=2t2-3t-2+(t2-4)i(teR)为纯虚数,则t的值为 【答案】 2 2.已知i为虚数单位,复数z=—,则丨z丨=【答案】 1-i 3.若i为虚数单位,则复数匕=・【答案】1-2, 1+Z 4.己知$=1-加,其中〃"是实数,「是虚数单位,则m-ni=【答案】 2-i 5.若(a-2i)i=b-i,其中a,bwR,i是虚数单位,复数a+bi= 【答案】-1+27 6.若复数(代心j为虚数单位)是纯虚数,则实数"的值为 1+2? 【答案】-6 7.设3=~+耳i,则集合k={x\x=cok+co-k(keZ)}中元素的个数是2。 8.已知复数勺=2-讥2=1-3几则复数丄+乍=/ 勺5- 9、 计算: 答案: 冷+字‘ 三、解答题: 【复数的分类问题】 1、实数川取什么值时,复数z=m(m-\)+(rn-V)i是 (I)实数(U)纯虚数(ID)虚数【答案】 (1)m=l⑵m=0 2、己知复数z=(2〃r+3血一2)+(〃『+加一2)i,(meR)根据下列条件,求加值. (I)z是实数;(U)z是虚数;on)z是纯虚数;(iv)z=o. 【答案】⑴当m: +m—2=0»即m=—2或时.z为实数: 2m2+3m-2=0 (3)当{7,解得彳 irr+m—2H0 (2)当即mH—2且mHl时,z为虚数; m=—或m=-22 m工一2且mH1 即m二丄时,z为纯虚数: 2 2in2+3m-2=⑷当{? rrr+m—2=0 m=—或m=-2 2 m=一2或m=1 即m=—2时,z=0. 3.取何值时,复数"气罟+(〃—" (I)是实数; (II)是纯虚数. 【答案】 (1) 叶—2w-15=0 w+30 二当加二 £是实数 nr-2/7? -15H0 (2)<+3H0=>m=3或加=-2 nr-m-6=0 ・••半1〃2=3或加=一211寸,z是纯虚数. 4、设复数Z=lg(/n2-2m-2)+(m2+3/n+2),当加取何实数时? ⑴z是纯虚数; (U)z对应的点位于复平面的第二象限。 【答案】 (1)z是纯虚数当且仅当 解得,in=3 (2)由< lg(/n2一2加一2)<0 m2+3〃? +2>0 一1v加v1—或1+vv3 m<一2或加>-1 所以当一1 Z对应的点位丁•复平面的第二象限。 【求复数类型】 1、设复数二满足|z|=W,且(l+2i)z(i是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y=x上,求乙・ 【答案】设z=x+yi(儿ye/? )Vlzl=Vfo,: .x2+y2=\O 而(1+2,)z=(1+2i)(x+yi)=(x—2y)+(2x+y)i 又V(l+2/)z在复平面上对应的点在直线y=x上,: .x-2y=2x+y 宀十=10 x=_3y x=-3 即z=±(3-Z) 2、求虚数z,使z+|e/? 且|z-3|=3・ 解: 12z=«+bi(a.beZ11Z? #0), IlId9_・9/9a、心9bvlh9D 则: z+-=a+bi+——=(a+)+(b—)i,I±lz+-e/? za+bi6T+/r6T+/rz 得b--=0,乂心0,故宀宀9①; c—IM— 3 a 3、把复数z的共轨复数记作2,已知(1+2诳=4+3几求z及f。 解: l^z=a+bi(a,beR)9则z=a-W,由已知得(1+2/)(。 一仞)=4+3几化简得: (d+2b)+(2d-b"=4+3Z,所以d+2/2=4,2d-b=3,解得a=2,b=l,所以z=2+Z, —==—I— z2—i55 z2+Z34. —==—I—/« 4.设心为共轨复数,且(a+b)2-3abi=4-\2i,求M的值。 【教师用 书】 解: 设a=x+yiyb=x-yi.(x.yeR)o带入原方程得 4x2-3(x2+y2)/=4-12z 由复数相等的条件得 4x2=4,3(x2+y2)=12. 解得 x=lx=-l 或? y=±y/3y=±* •对应四组解略。 ★★5、已知"为复数,(1+3X为纯虚数,尸缶,且"5圧 求复数0。 (教师用书章末小结题) 解法1: iStz=x+yi^yeR)9贝lj(l+3i)•乙二(x—3y)+(3x+y)i为纯虚数,所 以x=3yH0,因为|^|=|—1=5^2,所以kl=Jx2+^=5710;又 2+i x=3yo解得x=15,y=5;x=-15,y=-5所以 0=±土之=±(7—0。 I还可以直接计算) 2+i 解法2: 设=x+yi(x,yWR), co= 2+i =>Z=co(2+z)=(x+yz)(2+/) 依题意得(l+3i)(2+i)=(—l+7i)为实数,且丨\=5迈, 7x-y=0 x2+y1=50 解之得F"或产」, =l+7i或 =-l-7io 解法3: (提示: 设复数乙直接按照已知计算,先纯虚数得a=3b,再模长 ) 6、已知复数满足lz-41七-4儿且z+耳二为实数,求。 乙一1 解: z=x+yiy(x,yeR)9因为k-41=12-4/1,带入得x=y,所以 Z=x+xi.x^R 又因为卄上£为实数,所以z+匕 z-lZ-lz-1 化简得,所以有Z-Z=o或1乙-1卩=13 由Z—Z=0得x=0;由Iz-1F=13得x=-2,=3。 所以“0;“-2-2胶=3+3,.(也可以直接用代数形式带入运 算) 7、求同时满足下列两个条件的所有复数; (1)Z+-eRf且l (2)的实部与虚部都是整数。 解: 设z= 则 10・10・10(%—刃)八10、Z110、・ z+—=x+w+=x+yi+—;——=x(l+——)+)'(1—一;——)/ Zx+yix"+y+)厂x・+y・ 因为z+! 2e/? 所以y(l-^U)=0o所以),=0pV+K=10o乙f+y y=0时,z=x,又l z ^+->2>/10>6,所以在实数范围内无解。 当疋+),=10时,贝\\z+—=z+=z+z=2xo由 ZZ 1<2x<6=>- 2 因为为正整数,所以X的值为1,或2,或3。 当X=1时,=±3;当/=时,〉,=±石(舍);当x=My=±lo 则z=l±3i或,z=3土jo 【根的问题】 K关于x的方程是x2-(tan^+/)x-(2+0=0;若方程有实数根,求锐角&和实数 根; 解: 设实数根是0,则/-(tan&+»-(2+0=0, 即a'-atan&-2—{a+l)z=0,•/a、tan0eR,< a2-atan^-2=0,a+l=O; /.“=一1,且tan0=1tX0<^<—,/.0=—.a=-1;24 2、若关于*的方程X+(l+2》+3〃+=0有实根,则实数川等于() 12 【答案】A 【向量计算】 —I 12 12 —I 12 在复平面上, 设点A、B>C,对应的复数分别为l4+2z\过A.B、C做 平行四边形ABCD,求此平行四边形的对角线BD的长。 解: 山题知平行四边形三顶点坐标为q(0」)』(l,0),C(4,2),设D点的坐标为 、•一4=—] D(x,y)o因为丽=丽,得(-lJ)=(x-4,y-2),得〈一一’得y-2=l. x=3 <,即D(3,3)所以而=(2,3),则IBDI=V13o 卜=3 2.(本小题满分12分)在复平面上,正方形曲切的两个顶点儿方对应的复 数分别为1+2匚3-5/\求另外两个顶点C,D对应的复数。 解: 设D(x,y) AD=x+yi一(1+2i)=兀_1+(y-2)i=(兀一1,y—2) ADIAB=>(x-l)-2-7(y-2)=0阿=\AB\=>/53=>5/U-l)2+(y~2)2=y/53 x=-6...x=8或< y=0[y=4 ・•・zD=一6或s=8+4, 山ZBC=Z而dZc_Z・B =S_J=>0=z°_s+s ZD=8+4/ /c=10-3/ 3、在复平面内,。 是原点,OA,OC,而表示的复数分别为 那么就表示的复数为4-4i 4. 如图在复平而上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2/,-2+几0,那么这 个正方形的第四个顶点对应的复数为( ). A.3+i B・ 3-i C.l-3i D. -l+3i y 解析0r=Qi+加=l+2i-2+i=-l+3i,所以Q对应的复数为一l+3i・ 答案D 【杂乱】 1、 计算[(1+2/)•严+(号)讦_(弓严 解: [(1+20・严°+(£)5]2—(嶂)20=[(l+2O-l+(-O5]2-i,0 =(1+7)2-/10=1+2/ 2、已知复数召=加+(4—加,)i,(me/? ),z2=2cos+(2+3sin0)i,(入 m=2cos8 4一加'=2+3sin& 并且Zj=z2>求几的取值范围。 消去m可得: 几=4sin‘&-3sin&=4(sin&-。 )2,由于一lSsin&Sl,itt-— 81616
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