分数应用题中比的应用.docx
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分数应用题中比的应用
分数应用题中比的应用
、抓不变量
【例1】有一些球,其中红球占1/3,当再放入8个红球后,红球占总球数的5/14,问现在
共有多少球?
解:
其他球的数量没有改变。
增加8个红球后,红球与其他球数量之比是5:
(14-5)=
5:
9。
在没有球增加时,红球与其他球数量之比是1:
(3-1)=1:
2=4.5:
9。
因此8
个红球是5-4.5=0.5(份)。
现在总球数是
54-Q
建X音=224(:
个)
本题的特点是两个数量中,有一个数量没有变。
把1:
2写成4.5:
9,就是充分利用这一特
点。
本题也可以列出如下方程求解:
(x+8):
2x=5:
9。
数比是5:
7。
甲、乙原来各得多少分?
解一:
甲、乙两人的分数之和没有变化。
原来要分成5+4=9份,变化后要分成5+7=12
份。
如何把这两种分法统一起来?
这是解题的关键。
9与12的最小公倍数是36,我们让变
化前后都按36份来算,5:
4=(5X4):
(4X4)=20:
16.5:
7=(5X3):
(7X3)=15:
21。
甲少得22.5分,乙多得22.5分,相当于20-15=5份。
因此原来甲得22.5十5X20=90(分),乙得22.5-5X16=72(分)。
我们再介绍一种能解本节所有问题的解法,也就是通过比例式来列方程。
解二:
设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x。
根据得分变化,可列出比例式。
(5x—22.5):
(4x+22.5)=5:
7即5(4x+22.5)=7(5x-22.5),15x=12X22.5,
x=18。
甲原先得分18X5=90(分),乙得18X4=72(分)。
元,李家结余270元。
问每家各收入多少元?
解一:
我们采用“假设”方法求解。
如果他们开支的钱数之比也是8:
5,那么结余的钱数
之比也应是8:
5。
张家结余240元,李家应结余x元。
240:
x=8:
5,x=150(元)。
实际上李家结余270元,比150元多120元。
这就是8:
5中5份与8:
3中3份的差,每份是120-(5-3)=60。
(元)。
因此可求出
李家
开支60x8=480
60X3=100
收入48(^240^720
£804-270=450
解二:
设张家收入是8份,李家收入是5份。
张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多。
我们画出一个示意图:
张和说m
----15份X3
李料孑1
张家开支的3倍是(8份—240)X3。
李家开支的8倍是(5份—270)X8。
从图上可以
看出5X8—8X3=16份,相当于270X8—240X3=1440(元)。
因此每份是1440-16=90(元)。
张家收入是90X8=720(元),李家收入是90X5=450(元)。
本题也可以列出比例式:
(8x—240):
(5x—270)=8:
3。
然后求出X。
事实上,解方程求x的计算,与解二中图解所示是同一回事,图解有算术味道,而且一些数量关系也直观些。
【例4】A和B两个数的比是8:
5,每一数都减少34后,A是B的2倍,求这两个数。
解:
减少相同的数34,因此未减时,与减了以后,A与B两数之差并没有变,解题时要充分
利用这一点。
8:
5,就是8份与5份,两者相差3份。
减去34后,A是B的2倍,就是2:
1,两者相差1。
将前项与后项都乘以3,即2:
1=6:
3,使两者也相差3份。
现在就知道
34是8—6=2(份)或5—3=2(份)。
因此,每份是34:
2=17。
A数是17X8=136,B数是17X5=85。
本题也可以用例13解一“假设”方法求解,不过要把减少后的2:
1,改写成8:
4。
【例5】小明和小强原有的图画纸之比是4:
3,小明又买来15张。
小强用掉了8张,现有
的图画纸之比是5:
2。
问原来两人各有多少张图画纸?
解一:
充分利用已知数据的特殊性。
4+3=7,5+2=7,15—8=7。
原来总数分成7份,变化后总数仍分成7份,总数多了7张,因此,新的1份=原来1份+1原来4份,新的5份,5—4=1,因此,新的1份有15—1X4=11(张)。
小明原有图画纸11X5—15=40(张),小强原有图画纸11X2+8=30(张)。
解二:
我们也可采用例13解一的“假设”方法。
先要将两个比中的前项化成同一个数(实
际上就是通分)4:
3=20:
15,5:
2=20:
8。
假设小强也买来15X3/4=45/4(张),那么变化后的比仍应是20:
15,但现在是20:
8,因
此这个比的每一份是(45/8+8)-(15—8)=11/4。
小明现有20X11/4=55(张),原有55—15=40(张);小强现有8X11/4=22(张),原有22+8=30(张)。
当然,也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法。
解三:
设原来小明有4“份”,小强有3“份”图画纸。
可以画出如下示意图:
把小明现有的图画纸张数乘2,小强现有的图画纸张数乘5,所得到的两个结果相等。
我们
n川分兀£-、
艸明畑二L
1^X2
一3^X5
从图上可以看出,3X5—4X2=7(份)相当于图画纸15X2+8X5=70(张)。
因此每份是10张,原来小明有40张,小强有30张。
备注:
例1至5这五个例题是同一类型的问题。
用比例式的方程求解没有多大差别。
用算术
方法,却可以充分利用已知数据的特殊性,找到较简捷的解法,也启示一些随机应变的解题
思路。
另外,解方程的代数运算,对小学生说来是超前的,不容易熟练掌握。
例3的解一,
也是一种通用的方法。
“假设”这一思路是很有用的,希望读者能很好掌握,灵活运用。
从
课外的角度,我们更应启发小同学善于思考,去找灵巧的解法,这就要充分利用数据的特殊
性。
因此我们总是先讲述灵巧的解法,禾U于心算,促进思维。
【例6】粗蜡烛和细蜡烛长短一样。
粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时。
同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后,粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍。
问这两支蜡烛点了多少时间?
解:
设粗、细蜡烛长度是1,每小时粗蜡烛点去1/5,细蜡烛点去1/4,我们把问题改变一下:
设细蜡烛长度是2,每小时点去2/4,问过多长时间两支蜡烛长度相等。
现在两者相关是(2—1),每小时能缩小差距(2/4—1/5),因此两者相等需要时间是(2—1)-(2/4—1/5)=10/3(小时)。
把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”,思
考就简捷了。
解这类问题这是常用的技巧。
再请看一个稍复杂的例子。
【例7】箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只。
每次从箱子里取出7
只白球,15只红球,经过若干次后,箱子里剩下3只白球,53只红球,那么,箱子里原来
红球数比白球数多多少只?
解:
因为红球是白球的3倍多2只,每次取15只,最后剩下53只,所以对3倍的白球,每次取15只,最后应剩51只。
因为白球每次取7只,最后剩下3只,所以对3倍的白球,每次取7X3=21只,最后应剩3X3=9只。
因此,共取了(51—3X3)-(7X3—15)=7(次)。
红球有15X7+53=158(只)。
白球有7X7+3=52(只)原来红球比白球多158—52
=106(只)。
经典练习一
1甲、乙两堆火柴,从甲取50根火柴到乙堆,甲、乙两堆火柴一样多;从乙取40根火柴到甲堆,甲、乙两堆火柴根数之比是4:
1。
两堆火柴各有多少根?
2、AB两种商品的价格之比是7:
3。
如果它们的价格分别上涨70元后,价格之比是7:
4。
这两种商品原来的价格各是多少兀?
3、甲有50张画片,甲拿出乙有的画片数的8倍给乙,现在乙有的画片数是甲的2倍。
问乙
原来有多少张画片?
4、兄、弟两人,每月收入的比是4:
3,支出钱数的比18:
13。
全年他们两人都结余3600
元,问每人每月收入各多少元?
5、一把小刀售价3元。
如果小明买了这把小刀,小明与小强的钱数之比是2:
5;如果小强
买了这把小刀,两人钱数之比是8:
13。
问
(1)买刀前小明与小强的钱数之比;
(2)小明原有多少钱?
6、哥哥要做384道口算题,弟弟要做180道口算题。
每分钟,哥哥能做18道,弟弟能做
15道。
几分钟后,哥哥剩下题数是弟弟剩下题数的4倍?
7、某学校入学考试,参加的男生与女生人数之比是4:
3。
结果录取91人,其中男生与女生人数之比是8:
5。
未被录取的学生中,男生与女生人数之比是3:
4。
问报考的共有多少人?
8、甲、乙两个口袋分别装有红球和黄球,红球个数的4倍与黄球的3倍一样多。
从甲口袋
中拿走10个红球,从乙口袋中拿走30个黄球后,红球的5倍比黄球的4倍还多40个。
甲、乙两个口袋原来各有多少个球?
【例1】学校男生人数占45%,会游泳的学生占54%。
男生中会游泳的占72%,问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几?
【解1】在全体学生中,不会游泳的女生占33.4%.
在全体学生中,会游泳的男生占45%X72%=32.4%.
在会游泳的学生中,男生占32.4%-54%X100%=60%
在全体学生中,不会游泳的女生占(100%-45%)-54%X(1-60%)=33.4%.
【解2】画一个图非常清楚。
会
不会
男
3Z.41
立
33.n
54t
【例2】、有若干堆围棋子,每堆棋子数一样多,且每堆中白子都占28%小明从某一堆中
拿走一半棋子,而且拿走的都是黑子。
现在,在所有余下的棋子中,白子将占32%那么,
共有棋子多少堆?
[方法一]:
[思路]:
拿走的全部是黑子,那么白子的数量没有变,可以作为拿出前后的基准。
解:
拿出前:
因为每堆棋子数一样多且白子都占28%所以,白子:
黑子=28:
72=7:
18,
黑子是白子的18/7;
拿出后:
在拿出的那一堆中,白子:
黑子=7:
[18-(7+18)/2]=14:
11,
即拿出黑子数是这对白子数的18/7-11/14=25/14;
在总数中,白子:
黑子=32:
68=8:
17,黑子是白子的17/8;
黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56,即拿出黑子数是白子总数的25/56;
所以,堆数=(25/14)/(25/56)=4堆。
答:
共有棋子4堆。
[方法二]:
[思路]:
把比例问题处理成浓度问题
解:
将每一堆白子占28%勺棋子看成是浓度28%勺溶液,那么
本题相当于浓度=28/(100-50)=56%勺溶液50克中,需要加入多少克浓度28%勺溶液,才能使浓度变为32%
原液:
添加液=(32-28):
(56-32)=4:
24=1:
6,即需要添加=6X50=300克,
所以,共有棋子=(300+100)/100=4堆。
答:
共有棋子4堆。
[方法三]:
[思路]:
有若干堆棋子,每堆一样多,且白子都占28%则白子占总数的28%
从某一堆中拿走一半,且拿走的都是黑子,则白子数没有变。
拿走黑子后,在所
有棋子中,白子将占32%
说明剩下的棋子总数与原来棋子总数的比是28%32%=7:
&现有棋子为7份,原
有棋子为8份。
比原来少1份。
这1份是原来一堆的一半。
则原来一堆是2份。
则原有8份是8/2=4堆。
解:
28%32%=78,8-7=1
1/(1/2)=2,8/2=4。
答:
共有棋子4堆。
【例3】、有一堆糖果,其中奶糖占45%再放入16块水果糖后,奶糖就只占25%那么,
这堆糖果中有奶糖多少块?
[方法一]:
[思路]:
总量数量是变化的,不能作为单位“1”但奶糖的数量没有变化,因此我们可以
以奶糖的数量作为基准。
解:
奶糖占45%奶糖:
水果糖=45%(100%-45%=9:
11,即原来水果糖是奶糖的11/9;
放入16块水果糖后,奶糖:
水果糖=25%(100%-25%=1:
3,即后来水果糖是奶糖
的3倍;
3-11/9=16/9,即放入的16块水果糖占奶糖的16/9,
所以,奶糖数=16/(16/9)=9块。
答:
这堆糖果中有奶糖9块。
[方法二]:
[思路]:
放入水果糖后,奶糖的数量是不变的,我们要抓住这个不变量来当做处理的中
心,原来奶糖为45%就是占9/20,后来为25%占总数的1/4,因为奶糖是不变的,所以把奶糖所占的分子处理成9,即1/4=9/36,这样总数就由原来的20
份变成36份。
增加了16份=16块糖,所以原来奶糖9份=9块
解:
45%=9/20,25%=1/4=9/36,36-20=16,16-16=1,1X9=9(块)
答:
这堆糖果中有奶糖9块。
[总结]:
这个题中,我们要抓住的就是关键的总量是不变的,然后牢牢抓住其他变量的
变化跟这个量什么关系,这种处理方法在比例问题中要学会熟练处理。
[方法三]:
原来奶糖占45%放入16块水果糖后,奶糖占25%奶糖数没有变。
则原来糖的总数与放入水果糖后糖的总数比是25%45%=59。
原来糖的总数是5份,现
在糖的总数是9份。
比原来多9-5=4份,即16块。
则每份是16/4=4块。
原来糖的总数是4X5=20块。
奶糖是20X45%=9块。
解:
25%45%=59,9-5=4,16/4=4,4X5=20,20X45%=Q
答:
这堆糖果中有奶糖9块。
二、典型的相遇问题
【例1】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
(环形跑道的相遇问题)
【解】:
因为相遇前后甲,乙的速度和没有改变,如果相遇后两人和
跑一圈用24秒,则相遇前两人和跑一圈也用24秒,方法有二。
法一:
以甲为研究对象,甲以原速V甲跑了24秒的路程与以(V甲+2)跑了24秒的路程之和等于400米,24V甲+24(V甲+2)=400易得V甲=7-米/秒
3
法二:
由跑同样一段路程时间一样,得到(V甲+2)=y二者速度差为2;二者速度和(V甲+V乙)=^°°,典型和差问题。
由公式得:
(-400
2424
—2)-2"甲,V甲=7-米/秒
3
【变式练习1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52米,小强每分走70米,二人在途中的A处相遇。
若小红提前4分出
发,且速度不变,小强每分走90米,则两人仍在A处相遇。
小红和
小强两人的家相距多少米?
【解】:
:
因为小红的速度不变,相遇的地点不变,所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变,也就是说,小强第二次走的时间比第一次少4分钟。
(70X4)+(90-70)=14分钟可知小强第二次走了14分钟,他第一次走了14+4=18分钟;两人家的距离:
(52+70)x18=2196(米)
【变式练习2】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点。
如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米,如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米,且两车还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点16千米。
甲车原来每小时向多少千米?
【解】设乙增加速度后,两车在D处相遇,所用时间为T小时。
甲增加速度后,两车在E处相遇。
由于这两种情况,两车的速度和相同,所以所用时间也相同。
于是,甲、乙不增加速度时,经T小时分别到达DE。
DE=12+16=28(千米)。
由于甲或乙增加速度每小时5千米,两车在D或E相遇,所以用每小时5千米的速度,T小时走过28千米,从而T=28+5=28小时,甲用6-普=|(小时),走过12
555
千米,所以甲原来每小时行12+2=30(千米)
5
【例2】在400米的环行跑道上,A,B两点相距100米。
甲、乙两人分别从A,B两点同时出发,按逆时针方向跑步。
甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟。
那么甲追上乙需要时间是多少秒?
(典型的追及问题)
【解】:
甲实际跑100/(5-4)=100(秒)时追上乙,甲跑100/5=20
(秒),休息10秒;
乙跑100/4=25(秒),休息10秒,甲实际跑100秒时,已经休息4次,刚跑完第5次,共用140秒;
这时乙实际跑了100秒,第4次休息结束。
正好追上。
答:
甲追上乙需要时间是140秒。
【拓展1】一个圆的圆周长为1.26米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。
这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和
3.5厘米,在运动过程中它们不断地调头。
如果把出发算作第零次调头,那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……,
即是一个由连续奇数组成的数列。
问它们相遇时,已爬行的时间是多
少秒?
[方法一]:
找路程规律
[思路]:
通过处理,找出每次爬行缩小的距离关系规律。
相向爬行1秒距离
【解】两只蚂蚁相距1.26-2=0.63米=63厘米,
缩小5.5+3.5=9(厘米),
如果不调头需要63—9=7(秒)相遇。
厘米;
厘米;
每爬行1轮距离缩小9X1厘米,所以爬行7轮相遇,时间是7X7=49
(秒)
答:
它们相遇时,已爬行的时间是49秒。
[方法二]:
[思路]:
对于这种不断改变前进方向的问题,我们先看简单的情况:
AaA;(JAiAsAs
■•■•4•«•♦
在一条直线上,如上面图形,一只蚂蚁先从0点出发向右走,然
后按照经过1秒、3秒改变方向.由于它的速度没有变化,
可以认为蚂蚁每秒钟走一格
第一次改变方向时,
它到
A,
走
1格,
OA=1格;
第一次改变方向时,
它到
A,
走
3格,
OA2=2格;
第三次改变方向时,
它到
A3,
走
5格,
OA3=3格;
第四次改变方向时,
它到
A4,
走
7格,
OA4=4格;
第五次改变方向时,
它到
A5,
走
9格,
OA5=5格.
我们不难发现,小蚂蚁的活动范围在不断扩大,每次离0点都远了一格•当两只蚂蚁活动范围重合时,也就是它们相遇的时候.另外我们从上面的分析可知,每一次改变方向时,两只蚂蚁都在出发点的同一侧.这样,通过相遇问题,我们可以求出它们改变方向的次数,进而求出总时间.
【解】由前面分析知,每一次改变方向时,两只蚂蚁之间的距离都
缩短:
5.5+3.5=9厘米.
所以,至肪目遇时,它们已改变方向:
1.26X100+2+9=7次.
也就是在第7次要改变方向时,两只蚂蚁相遇,用时:
1+3+5+7+9+11+13=49秒.
【例3】甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时,它们同时从甲地出发到乙地去,出发后6时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车,1时后乙车也遇到了这辆卡车。
求这辆卡车的速度。
(上山
下山的行程问题、相遇与追及的综合题型)
【解】:
方法1:
甲乙两车最初的过程类似追及,速度差X追及时间=路程差;路程差为72千米;72千米就是1小时的甲车和卡车的路程和,速度和X相遇时间=路程和,得到速度和为72千米/时,所以卡车速度为72-40=32千米/时。
方法2:
52X6-40X7=32千米/时
【拓展】:
甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车的速度分别为60千米/时和48千米/时。
有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。
求丙车的速度。
39千米/小时。
提示:
先利用甲,乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间,求出卡车速度为24千米/小时
【拓展11:
快、中、慢三辆车同时同地出发,沿同一公路去追赶前
面一骑车人,这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。
已知快、慢车的速度分别为24千米/时和19千米/时,求中速车的速度。
3
【例4】甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,而且甲比乙速度快。
两人出发后1小时,甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时?
(多次折返的
行程问题)
【解1】:
甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲走过的路程应该是一个单程的1*1.5+1/2=2倍,就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。
两人相遇时走了1小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了1小时,所以甲下山要用1/2小时。
甲一共走了1+1/2=1.5(小时)
【解2]:
相遇时甲已经下山600米,走这600米的时间,如果甲用上山速度只能走600/1.5=400米,所以上山速度一小时甲比乙多走600+400=1000米。
乙到山顶时甲下到半山腰,甲走1/2下山路的时间,如果用来上山,只能走"2/1.5=1/3的上山路,所以乙走完上山路的时间里,甲可以走上山路的1+1/3=4/3倍,说明上山速度甲是乙的4/3倍。
甲上山速度是1000/(4/3-1)=4000(米),下山速度是4000*1.5=6000
(米),上山路程是4000-400=3600(米),出发1小时后,甲还有下
山路3600-600=3000(米),要走6000/3000=0.5(小时)
一共要走1+0.5=1.5(小时)
【例5】一艘轮船顺流航行120千米,逆流航行80千米共用16时;顺流航行60千米,逆流航行120千米也用16时。
求水流的速度(流水行船问题)
。
【解】:
两次航行都用16时,而第一次比第二次顺流多行60千米,逆流少行40千米,这表明顺流行60千米与逆流行40千米所用的时间相等,即顺流速度是逆流速度的1.5倍。
将第一次航行看成是16时顺流航行了120+80X1.5=240(千米),由此得到顺流速度为
240T6=15(千米/时),逆流速度为15^1.5=10(千米/时),最后求出水流速度为(15-10)吃=2.5(千米/时)。
【拓展1】某河有相距45千米的上下两港,每天定时有甲乙两船速
相同的客轮分别从两港同时出发相向而行,这天甲船从上港出发掉下一物,此物
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