最优化方法及其应用课后答案郭科陈聆魏友华.docx
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最优化方法及其应用课后答案郭科陈聆魏友华
最优化方法部分课后习题解答
1.一直优化问题的数学模型为:
习题一
12
minf(x)=(x−3)2+(x−4)2
⎧g(x)=x−x−5≥0
⎪ 1 1 2 2
⎪
试用图解法求出:
s.t.⎨g2(x)=−x1−x2+5≥0
⎪g(x)=x≥0
⎪ 3 1
⎪⎩g4(x)=x2≥0
(1) 无约束最优点,并求出最优值。
(2) 约束最优点,并求出其最优值。
(3) 如果加一个等式约束h(x)=x1−x2=0,其约束最优解是什么?
*
解:
(1)在无约束条件下,f(x)的可行域在整个x10x2平面上,不难看出,当x=(3,4)
时,f(x)取最小值,即,最优点为x*=(3,4):
且最优值为:
f(x*)=0
(2)在约束条件下,f(x)的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是
在约束集合即可行域中找一点(x1,x2),使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可
以看出,当x*=
(
15,5)时,f(x)所在的圆的半径最小。
4 4
⎧g(x)=x−x−5=0
⎧ 15
⎪x1 =
其中:
点为g1(x)和g2(x)的交点,令
⎪ 1 1 2
⎨ 2
求解得到:
⎨ 4
5
即最优点为x*=
⎪⎩g2(x)=−x1−x2+5=0
(
15,5):
最优值为:
f(x*)=65
⎪x=
⎪⎩2 4
4 4 8
(3).若增加一个等式约束,则由图可知,可行域为空集,即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S,怎样设计可使油箱的容量最大?
试列出这个优化问题的数学模型,并回答这属于几维的优化问题.
解:
列出这个优化问题的数学模型为:
maxf(x)=x1x2x3
⎧x1x2+2x2x3+2x1x3≤S
⎪
⎨
s.t.⎪x1 >0
⎪x2>0
⎪⎩x3>0
该优化问题属于三维的优化问题。
x= s/3,y=
s/3,z=
s/12
v=s
3
3s==1⎛=s⎞2
⎝⎠
18 2⎜3⎟
习题二
3.计算一般二次函数f(x)=1XTAX+bTX+c的梯度。
2
ijn×n12n12n
解:
设:
A=(a) ,b=(b,b,...b)T,X=(x,x,...x)T则:
f(x)=1
n n n
axx+
bx+c,将它对变量x(i=1,2,...n)球偏导数得:
∑∑iji j
∑ii i
2i=1
j=1
i=1
⎡1n 1n
⎤ ⎡ n
⎤ ⎡ n ⎤
⎡∂f(x)⎤
⎢ ∑a1jxj+
∑ai1xi+b1⎥
⎢∑a1jxj⎥ ⎢∑ai1xi⎥
⎢ ⎥ ⎢2j=1
2i=1
⎥ ⎢j=1
⎥ ⎢i=1 ⎥
⎢ ∂x1 ⎥
⎢1n 1n
⎥ ⎢ n
⎥ ⎢ n
⎥ ⎡b⎤
⎢∂f(x)⎥
⎢ ∑a2jxj+
∑ai2xi+b2⎥
∑ajxj ⎢∑ai2xi⎥ ⎢ ⎥
∇f(x)=⎢ ⎥=⎢2j=1
1
2i=1
1⎢ 2
⎥=
⎥+1 +b
⎢j=1
⎥ ⎢i=1
⎥ ⎢ 2⎥
⎢ ∂x2 ⎥ ⎢⋮
⎥ 2⎢⋮ ⎥ 2⎢⋮
⎥ ⎢b⎥
⎢∂f(x)⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 3⎦
⎢ ⎥ ⎢1n 1n
⎥ ⎢ n
⎥ ⎢ ⎥
n
⎣ ∂x3 ⎦
⎢ ∑anjxj+
∑ainxi+bn⎥
⎢∑anjxj⎥ ⎢∑ainxi⎥
⎣2j=1
1 T
2i=1
⎦ ⎣j=1
⎦ ⎣i=1 ⎦
= (AX+AX)+b
2
5.求下列函数的梯度和Hesse矩阵
(1)f(x)=x2+2x2+3x2−4xx
⎛2 0 -4⎞
解:
∇2f(x)=⎜0 4 0⎟
1 2 3 1 3
⎛x2ex1x2
⎜ ⎟
⎝⎠
⎜−406⎟
6x+ex1x2+xxex1x2 ⎞
(2)f(x)=3xx2+ex1x2
解:
∇2f(x)=
⎜
⎜
2 2 1 2
12 12 12 ⎟
1 2 6x+exx+xxexx
6x+x2exx
⎝ 2 1 2 1 1 ⎠
6.判断下列函数是凸函数,凹函数,还是既不凸也不凹函数:
121212
(1)f(x,x)=−x2+2x2+3xx
解:
∇2f(x)不是半正定,即f(x)非凸,然后判断-f(x),经验证:
∇2(−f(x))不是半
正定,由此可知:
f(x)非凸非凹。
1211221
(2)f(x,x)=2x2−4xx+3x2−5x−6
解:
∇2f(x)半正定,故f(x)为凸函数。
(3) 2 2 2
f(x1,x2,x3)=x1
+2x2
−3x3
−4x1x2
解:
∇2f(x)不是半正定,即f(x)非凸,然后判断-f(x),经验证:
∇2(−f(x))不是半
正定,由此可知:
f(x)非凸非凹。
7.设约束优化问题的数学模型为:
1122
minf(x)=x2+4x+x2−4x+10
⎧g1(x)=x1−x2+2≥0
s.t.⎨
21212
⎩g(x)=−x2−x2−2x+2x≥0
试用K-T条件判别点x=[−1,1]T是否为最优点。
解:
对于点x=[−1,1]T,g(x)=0,g(x)≥0,点满足约束条件,故点X是可行解。
1 2
⎛2⎞
⎛1 ⎞
且g1(x)是起作用约束,I={1},∇f(x)=⎜ ⎟,∇g1(x)=⎜ ⎟,由∇gi(x)≥0条件下的
⎝−2⎠
⎝−1⎠
T
K-T条件得:
∇f(x)−∑λi∇gi(x)=0,λi≥0,得到λ1=2,点x=[−1,1]
i∈I
满足K-T条
件。
又因∇2f(x)正定,故f(x)为严格凸函数,该最优化问题是凸规划问题,由
x*=[−1,1]T是K-T点,所以x*=[−1,1]T也是该问题的全局最优点。
8.设约束优化问题:
12
minf(x)=(x−2)2+x2
⎧g1(x)=−x1≤0
⎨22
s.t.⎪g(x)=−x≤0
⎪g(x)=−1+x2+x≤0
⎩ 3 1 2
k
它的当前迭代点为x=[1,0]T,试用K-T条件判定它是不是约束最优解。
解:
对于点x=[1,0]Tg(x)=−1≤0,g(x)=0,g(x)=0,点x=[1,0]T是可行点,
k 1 k
2 k 3 k k
⎛−2⎞
⎛0⎞
且起作用的约束条件是,g2(x),g3(x),I={2,3},∇f(xk)=⎜ ⎟,∇g2(xk)=⎜ ⎟
⎝0⎠
⎝−1⎠
⎛2⎞
1
∇g3(xk)=⎜ ⎟,由约束条件为gi(x)≤0时的K-T条件得,应有:
⎝ ⎠
⎧λ2=1 T
∇f(x)+∑λi∇gi(x)=0,λi≥0
解得:
⎨ ,所以x=[1,0]
λ=1 k
为K-T点。
i∈I ⎩ 3
12
现判断该问题是否为凸规划问题,因∇2f(x)正定,故f(x)为凸函数,g(x),g(x)为线性函数,亦为凸函数,∇2g(x)半正定,所以g(x)为凸函数,所以该优化问题为凸
3 3
k
规划问题,即点x=[1,0]T是该问题的约束最优解。
习题三
1. 对于下列线性规划问题找出所有基解,指出哪些是基可行解,并确定出最优解。
maxf(x)=3x1+x2+2x3
⎧12x1+3x2+6x3+x4=9
⎪
(1)
⎪8x1+x2−4x3+2x5=10
s.t.⎨
⎪3x1−x6=0
⎩
⎪xj≥0,(j=1,2...6)
⎛12 36300 ⎞
⎜ ⎟
解:
令A=⎜8 1-4020
⎟=(P1,P2,P3,P4,P5,P6)
⎝⎠
⎜3 0000-1⎟
(1) 基解x=(0,16,−7,0,0,0)不是基可行解,
1 3 6
(2) 基解x2=(0,10,0,7,0,0)不是基可行解,
(3) 基解x3=(0,3,0,0,3.5,0)是基可行解,且f(x)=3,
7 21
(4) 基解x4=( ,−4,0,0,0,
4
5
)不是基可行解,
4
(5) 基解x5=(0,0,− ,8,0,0)不是基可行解,
2
(6) 基解x=(0,0,3,0,16,0)是基可行解,且f(x)=3,
6 2
(7) 基解x=(1,0,−1,0,0,3)不是基可行解,
7 2
(8) 基解x8=(0,0,0,3,5,0)是基可行解,且f(x)=0,
(9) 基解x=(5,0,0,−2,0,15)不是基可行解。
9 4 4
3 9 9
(10)基解x10=(4,0,0,0,4,4)是基可行解,且f(x)=4。
16 7
(11)基解x11=(0,3,−6,0,0,0)不是基可行解。
(12)基解x12=(0,10,0,−7,0,0)不是基可行解。
7
(13)基解x13=(0,3,0,0,2,0)是基可行解,且f(x)=3。
(14)基解x=(0,0,−5,8,0,0)不是基可行解。
14 2
(15)基解x=(0,0,3,0,8,0)是基可行解,且f(x)=3。
15 2
(16)基解x16=(0,0,0,3,5,0)是基可行解,且f(x)=3。
2. 用单纯形法求解下列线性规划问题:
maxf(x)=10x1+5x2
(1)
⎧3x1+4x2≤9
⎪
⎨512
s.t.⎪ x+2x≤8
⎩x1,x2≥0
解:
将现行规划问题化为标准形式如下:
min(−f(x))=−10x1−5x2+0x3+0x4
⎧3x1+4x2+x3=9
⎪
⎨5124
s.t.⎪ x+2x+x=8
⎩x1,x2,x3,x4≥0
作初始单纯形表,并按单纯形表步骤进行迭代,如下:
CB
XB
b
-10
x1
-5
x2
0
x3
0
x4
θi
0
x3
9
3
4
1
0
3
0
x4
8
[5]
2
0
1
1.6
0
-10
-5
0
0
0
x3
4.2
0
[2.8]
1
-0.6
1.5
-10
x1
1.6
1
0.4
0
0.2
4
16
0
-1
0
2
-5
x2
1.5
0
1
5
14
−3
14
-10
x1
1
1
0
−1
7
2
7
17.5
0
0
5
14
25
14
此时,σ均为正,目标函数已不能再减小,于是得到最优解为:
x*=(1,3,0,0)
j 2
目标函数值为:
f(x*)=17.5
3. 分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题:
minf(x)=5x1−2x2+3x3−6x4
⎧x+2x+3x+4x=7
(1)
1 2 3 4
⎪
⎪
s.t.⎨2x1+x2+x3+2x4=3
⎩x1,x2,x3,x4≥0
解:
(1)大M法:
把原问题化为标准形式,并加入人工变量如下:
minf(x)=5x1−2x2+3x3−6x4+Mx5+Mx6
⎧x1+2x2+3x3+4x4+x5=7
⎪
⎨12346
s.t.⎪2x+x+x+2x+x=3
⎩x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
作初始单纯形表,并按单纯形表步骤进行迭代,如下:
5
6
5
4
3
4
因为M是一个很大的正数,此时σj均为正,
所以,得到最优解:
x*=(0,0,1,1,)T,最优值为f(x*)=−3
(2)两阶段法
首先,构造一个仅含人工变量的新的线性规划如下:
按单纯形法迭代如下:
ming(x)=0x1+0x2+0x3+0x4+x5+x6
⎧x1+2x2+3x3+4x4+x5=7
⎪
⎨12346
s.t.⎪2x+x+x+2x+x=3
⎩x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
CB
XB
b
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
1
x4
1
x4
θi
1
x5
7
1
2
3
4
1
0
1.75
1
x6
3
2
1
1
[2]
0
1
1.5
-10
-3
-3
-4
-6
0
0
1
x5
1
-3
0
[1]
0
1
-2
1
0
x4
1.5
1
0.5
0.5
1
0
0.5
3
-1
4
0
-1
0
0
3
0
x3
1
-3
0
1
0
1
-2
0
x4
1
2.5
0.5
0
1
-0.5
1.5
最优解为:
x*=(0,0,1,1,0,0),最优值:
g(x)=0
* T
因人工变量x5=x6=0,则原问题的基可行解为:
如下表所示:
x=(0,0,1,1,)
进入第二阶段计算
CB
XB
b
5
x1
-2
x2
3
x3
-6
x4
3
x3
1
-3
0
1
0
-6
x4
1
2.5
0.5
0
1
3
29
1
0
0
由上表可知,检验数均大于等于0,所以得到最优解:
x*=(0,0,1,1,)T
最优值为f(x*)=−3。
4.某糖果厂用原料A,B,C加工成三中不同牌号的糖果,甲,乙,丙,已知各种牌号糖
果中A,B,C含量,原料成本,各种原料的每月限用量,三中牌号糖果的单位加工费及售
价如下表所示,问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克,使该厂获利最大?
试建立这个问题的线性规划数学模型。
甲
乙
丙
原料成本
(元/千克)
每月限用量
(千克)
A
≥60
%
≥15
%
2.00
2000
B
1.50
2500
C
≤20
%
≤60
%
≤50
%
1.00
1200
加工费
0.50
0.40
0.30
售价
3.40
2.85
2.25
解:
设xi,yi,zi≥0,i=1,2,3表示甲、乙、丙中分别含A、B、C的含量,构造此问题的数学规划模型如下:
maxf(x)=0.9x1+1.4x2+1.9x3+0.45y1+0.95y2+1.45y3−0.5z1+0.45z2+0.95z3
⎧x1+y1+z1≤2000
⎪
⎪x2+y2+z2≤2500
⎪x3+y3+z3≤1200
⎪
⎪0.4x1−0.6x2−0.6x3≤0
⎨123
s.t.⎪0.85y−0.15y−0.15y≥0
⎪0.2x+0.2x−0.8x≥0
⎪ 1 2 3
⎪0.6y1−0.6y2+0.4y3≥0
⎪
⎪0.5z1+0.5z2−0.5z3≥0
⎪⎩xi,yi,zi≥0,i=1,2,3
5.求解下列线性规划问题的对偶问题
minf(x)=2x1+2x2+4x3
⎧2x1+3x2+5x3≥2
s.t.⎪3123
(1) ⎪x+x+7x≤3
⎨
⎪x1+4x2+6x3≤5
⎪⎩x1,x2,x3≥0
maxf(x)=5x1+6x2+3x3
⎧x1+2x2+2x3=5
⎪
(2)
⎪−x1+5x2−x3≥3
s.t.⎨
⎪4x1+7x2+3x3≤8
⎩123
⎪x无约束,x≥0,x≤0
解:
(1)由表3.7可得该问题的对偶问题为:
maxg(y)=2y1+3y2+5y3
⎧2y1+3y2+y3≤2
s.t.⎪3y123
⎪ +y+4y≤2
⎨
⎪5y1+7y2+6y3≤4
⎪⎩y1≥0,y2,y3≤0
(2)该问题的对偶问题为:
ming(y)=5y1+3y2+8y3
⎧y1−3y2+4y3=5
⎪
⎪2y1+5y2+7y3≥6
s.t.⎨
⎪2y1−y2+3y3≤3
⎩123
⎪y无约束,y≤0,y≥0
6.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题:
minf(x)=4x1+12x2+18x3
⎧x+3x≥3
(1) ⎪1 3
⎪
s.t.⎨2x2+2x3≥5
⎩x1,x2,x3≥0
解:
(1)首先,将“≥”约束条件两边反号,再加入松弛变量,得:
minf(x)=4x1+12x2+18x3+0x4+x5
⎧−x1−3x3+x4=−3
⎪
⎨235
s.t.⎪−2x−2x+x=−5
⎩x1,x2,x3,x4,x5≥0
建立初始单纯形表如下图所示,所有σj≥0。
则对应对偶问题解是可行的,则继续迭代:
计算min{−3,−5}=−5,所以x5为换出变量,θ=min{6,9}=6,确定x2为换入变量。
继续迭代,得到如下单纯形表:
CB
XB
b
4
x1
12
x2
18
x3
0
x4
0
x5
0
x4
-3
-1
0
[-3]
1
0
0
x2
-2.5
0
1
1
0
-0.5
4
0
6
0
0
min{−3}=−3,x4换出,min{4,2}=2,x3换入。
CB
XB
b
4
x1
12
x2
18
x3
0
x4
0
x5
0
x3
1
1
0
1
1
−
0
0
x2
1.5
1
−
1
0
1
-0.5
2
0
0
2
6
* 3 T *
此时,所有σj≥0,故原问题的最优解为x=[0, ,1]
2
最优值为:
f(x)=36
其对偶问题得到最优解为:
x*=[2,6]T,最优值为:
f(x*)=36。
7.已知线性规划问题
minf(x)=2x1−x2+x3
⎧x1+x2+x3≤6
⎪
⎨12
s.t.⎪−x+2x≤4
⎩x1,x2,x3≥0
先用单纯形法求出最优解,再分别就下列情况进行分析:
(1) 目标函数中变量x1,x2,x3的系数分别在什么范围内变化,问题的最优解不变;
(2) 两个约束条件的右端分别在什么范围内变化,问题的最优解不变。
解:
将该规划问题化为标准型,引入松弛变量x4,x5
minf
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- 优化 方法 及其 应用 课后 答案 郭科陈聆魏友华