浙教版八年级竞赛培优训练第25讲 矩形菱形.docx
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浙教版八年级竞赛培优训练第25讲矩形菱形
第25讲 矩形、菱形
【思维入门】
1.如图8-25-1所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于( )
A.3.5 B.4
C.7 D.14
2.有4个命题:
(1)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;
(3)O是四边形ABCD内一点,若AO=BO=CO=DO,则四边形ABCD是矩形;
(4)若四边形的两条对角线互相垂直,则这个四边形是菱形.
其中正确的命题个数是( )
A.0B.1C.2D.3
3.如图8-25-2,在▱ABCD中,添加下列条件之一能使它成为菱形的是( )
图8-25-2
①AC⊥BD;②∠BAD=90°;
③AB=BC;④AC=BD.
A.①或③B.②或③
C.③或④D.①或②或③
4.如图8-25-3,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连结BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为( )
图8-25-3
A.2
B.3
C.6
D.
5.如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a-1)2+
=0,那么菱形的面积等于____.
6.已知:
如图8-25-4,在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连结BE,DF.
(1)求证:
△DOE≌△BOF;
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?
请说明理由.
图8-25-4
【思维拓展】
7.如图8-25-5,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=
AB.将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连结BP交EF于点Q.对于下列结论:
①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )
图8-25-5
A.①②B.②③
C.①③D.①④
8.如图8-25-6,矩形ABCD中,AB=60,BD=BC+
CD,则BC=______.
图8-25-6
9.如图8-25-7,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连结DE,BE,若△ABE是等边三角形,则
=____.
图8-25-7
10.如图8-25-8,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连结CF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图8-25-8
11.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8-25-9①所示位置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图8-25-9②,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:
AM=AN;
(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?
并说明理由.
图8-25-9
12.定义:
我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:
如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:
如图8-25-10①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:
如图8-25-10②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:
△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连结OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:
在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连结CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
,请直接写出△ABC的面积.
图8-25-10
【思维升华】
13.菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( )
A.
B.
C.
D.
14.如图8-25-11,四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠ABC=30°,AB=6,AD=CD,AB∥CD,那么BD的长度是( )
图8-25-11
A.7B.4
C.2
D.4
15.如图8-25-12,将两个长为8,宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放,重叠部分是菱形ABCD,当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时,菱形ABCD的周长最大,这个最大值是____.
图8-25-12
16.如图8-25-13,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是____.
图8-25-13
第25讲 矩形、菱形
【思维入门】
1.如图8-25-1所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于( A )
A.3.5 B.4
C.7 D.14
2.有4个命题:
(1)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;
(3)O是四边形ABCD内一点,若AO=BO=CO=DO,则四边形ABCD是矩形;
(4)若四边形的两条对角线互相垂直,则这个四边形是菱形.
其中正确的命题个数是( B )
A.0B.1C.2D.3
【解析】
(1)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形,不能证明另一组对边也相等或平行,故
(1)错误;
(2)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形,可证出另一组对边也平行,故
(2)正确;
(3)O是四边形ABCD内一点,若AO=BO=CO=DO,则四边形ABCD是矩形,只有点O是四边形ABCD对角线的交点时,上述说法才成立,故(3)错误;
(4)若四边形的两条对角线平分且互相垂直,则这个四边形是菱形,故(4)错误.
3.如图8-25-2,在▱ABCD中,添加下列条件之一能使它成为菱形的是( A )
图8-25-2
①AC⊥BD;②∠BAD=90°;
③AB=BC;④AC=BD.
A.①或③B.②或③
C.③或④D.①或②或③
4.如图8-25-3,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连结BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为( B )
图8-25-3
A.2
B.3
C.6
D.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵四边形BEDF是菱形,
∴EF⊥BD,∠EBO=∠DBF.
∵EF=AE+FC,AE=CF,EO=FO,
∴AE=EO=CF=FO.
∴AB=BO=3,∠ABE=∠EBO,
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,BE=2
.
∴BF=BE=2
.
∴CF=AE=
.
∴BC=BF+CF=3
.
5.如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a-1)2+
=0,那么菱形的面积等于__2__.
【解析】由题意,得a-1=0,b-4=0,解得a=1,b=4.
∵菱形的两条对角线的长为a和b,
∴菱形的面积=
×1×4=2.
6.已知:
如图8-25-4,在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连结BE,DF.
(1)求证:
△DOE≌△BOF;
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?
请说明理由.
图8-25-4
解:
(1)证明:
∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,∴BO=DO,∠EDB=∠FBO,
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(ASA).
(2)当∠DOE=90°时,四边形BFDE为菱形.
理由:
∵△DOE≌△BOF,
∴BF=DE,
又∵BF∥DE,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵BO=DO,∠EOD=90°,
∴EB=DE.
∴四边形BFDE为菱形.
【思维拓展】
7.如图8-25-5,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=
AB.将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连结BP交EF于点Q.对于下列结论:
①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( D )
图8-25-5
A.①②B.②③
C.①③D.①④
8.如图8-25-6,矩形ABCD中,AB=60,BD=BC+
CD,则BC=__25____.
图8-25-6
9.如图8-25-7,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连结DE,BE,若△ABE是等边三角形,则
=__
__.
图8-25-7
【解析】如答图,过E作EM⊥AB于M,交DC于N.
第9题答图
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°.
∴MN=BC,EN⊥DC.
∵沿AC折叠,B和E重合,△AEB是等边三角形,
∴∠EAC=∠BAC=30°.
设AB=AE=BE=2a,则BC=
=
a,即MN=
a.
∵△ABE是等边三角形,EM⊥AB,
∴AM=a,由勾股定理得EM=
=
a,
∴△DCE的面积是
×DC×NE=
×2a×
=
a2.
△ABE的面积是
AB×EM=
×2a×
a=
a2.
∴
=
=
.
10.如图8-25-8,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连结CF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图8-25-8
解:
(1)证明:
∵E是AD的中点,
∴AE=ED.
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE,
∴△AFE≌△DBE.
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,
∴DB=DC,
∴AF=DC.
(2)四边形ADCF是菱形.
理由:
由
(1)知,AF=DC.
∵AF∥CD,
∴四边形ADCF是平行四边形.
又∵AB⊥AC,
∴△ABC是直角三角形,
∵AD是BC边上的中线,
∴AD=
BC=DC.
∴平行四边形ADCF是菱形.
11.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8-25-9①所示位置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图8-25-9②,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:
AM=AN;
(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?
并说明理由.
图8-25-9
解:
(1)证明:
∵∠α+∠EAC=90°,∠NAF+∠EAC=90°,
∴∠α=∠NAF.
又∵∠B=∠F,AB=AF,
∴△ABM≌△AFN,
∴AM=AN.
(2)四边形ABPF是菱形.
理由:
∵∠α=30°,∠EAF=90°,
∴∠BAF=120°,
又∵∠B=∠F=60°.
∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°,
∠F+∠BAF=60°+120°=180°.
∴AF∥BC,AB∥EF,
∴四边形ABPF是平行四边形.
又∵AB=AF,∴▱ABPF是菱形.
12.定义:
我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:
如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:
如图8-25-10①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:
如图8-25-10②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:
△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连结OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:
在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连结CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
,请直接写出△ABC的面积.
图8-25-10
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠BFO,
又∵∠AOE=∠FOB,AE=BF,
∴△AOE≌△FOB,
∴EO=BO.
∴△AOB和△AOE是“友好三角形”.
(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=
AD=3.
∵△AOB和△AOE是“友好三角形”,
∴S△AOB=S△AOE.
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF
=4×6-2×
×4×3
=12.
探究:
2或2
.
【思维升华】
13.菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( A )
A.
B.
C.
D.
【解析】设边长为m,一条对角线为2a,另外一条为2b,则a+b=
L,2ab=S.
∵m2=a2+b2=(a+b)2-2ab=
L2-S.
∴m=
.
14.如图8-25-11,四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠ABC=30°,AB=6,AD=CD,AB∥CD,那么BD的长度是( C )
图8-25-11
A.7B.4
C.2
D.4
【解析】如答图,过点C作CE∥AD交AB于E,过点D作DF⊥AB于F,
则四边形ADCE是菱形,
第14题答图
∠CEB=∠A=60°.
∵∠ABC=30°
∴AD=EC=DC=AE=
BE.
∵AB=6,
∴AD=EC=DC=AE=2.
∴AF=1,DF=
,BF=5.
由勾股定理得BD=2
.
15.如图8-25-12,将两个长为8,宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放,重叠部分是菱形ABCD,当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时,菱形ABCD的周长最大,这个最大值是__17__.
图8-25-12
【解析】当两个塑料片如答图所示放置时,菱形周长最大,设这时菱形的边长为x,在Rt△AEB中,
第15题答图
由勾股定理得x2=(8-x)2+22,
解得x=
.
∴4x=17.
即菱形的最大周长为17.
16.如图8-25-13,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是__y=-
x+
__.
图8-25-13
【解析】如答图,延长BC交x轴于点F,连结OB,AF,连结CE,DF相交于点N.
第16题答图
由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.于是,直线MN即为所求的直线l.
设直线l的函数表达式为y=kx+b,则
解得
故所求直线l的函数表达式为y=-
x+
.
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