运筹41.docx
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运筹41
运筹学期末考试知识点
线性规划
1.了解LP模型处理的问题类型(①给定任务,以最小代价实现;②给定条件,使之生产最大效益),LP模型的要素(变量,目标函数,约束条件)
2.LP问题的标准化(SLP:
①Max②所有约束均为“=”型③任意xj≥0④bj≥0;P14;习题1.1)
3.可行解(满足所有约束条件(包括非负条件)的解)、基解、基可行解(满足非负条件的基解为基可行解)的基本含义和性质(①基解不一定可行,可行解不一定是基解;②唯一最优解只需在基可行解中寻找③唯一最优解对应的是可行域的某一个顶点)
4.单纯形法求解LP问题(P28表1-1)
5.人工变量的含义,大M法求解时对约束条件和目标函数的处理(①人工变量未离基则无解;②人工变量一旦离基就可以不继续算;③离基变量为0即多重最优解)
6.解的判断(唯一最优解、无穷多最优价、无界解、无可行解)
对偶及灵敏度分析
1.求某一LP问题的对偶问题(DLP:
正常对正常,不正常对不正常;正常情况下Max对“≤”,变量≥0),对偶问题和原问题之间的关系(①对偶问题中的对偶问题是原问题;各自最优解
②最大化问题的目标函数值Z|最小化问题的目标函数值W
Z=W函数值
若一个问题有无界解(有可行解,且目标函数值无界),则另一个问题无可行解;反之,如果一个问题无解,则原问题可能为无界解或无解。
如果一个问题无解,而另一个问题若有解则一定是无界解。
③LP的检验数是DLP的一个基解的相反数)
2.强弱对偶理论
3.对偶单纯形法的求解思路(P56表2-4)
4.c和b的灵敏度分析
运输问题
1.运输问题模型的特点(基变量m+n-1个,退化LP;闭回路;解的可能性:
唯一最优解,多重最优解)
2.求运输问题初始方案的方法(西北角法、最小元素法、Vogel近似法、退化解)
3.检验数的含义
4.运输问题方案的改进(P86)
排队论
1.熟练掌握排队系统的分类(X/Y/Z/A/B/C),了解其中每个符号的含义
2.理解λ和μ的含义,掌握λ和μ的确定方法
3.理解ρ的含义(P148)
4.求解M/M/1排队系统的各运行指标ρ、p0、L、Lq、W、Wq等
存储论
1.描述存储策略的指标
2.评价存储策略优劣的指标,费用函数及其表达式
3.掌握4种确定性存储模型的存储状态图
4.4种确定性存储模型的T0、Q0、C0的求解
5.对单位时间费用C0中“单位时间”的理解
6.K、R、P、c1、c2、c3等参数的改变对T0、Q0、C0的影响
动态规划
1.动态规划的研究对象及基本概念
2.以最短路问题为例,理解阶段变量、状态变量、决策变量的、状态转移方程、阶段指标函数、过程指标函数等的含义及表达方法
3.两类动态规划问题(资金分配问题(①每个项目至多投2万;②若机器不投入生产,每1台价值15万)和资源动态分配问题p112)的求解
一、是非题(每题1分×10题)二、单选题(每题2分×10题)
三、大题
(一)线性规划综合题(15分)
1、单纯形法
目标函数Opt:
MaxZ=2x1+x2
5x2≤15
约束条件s.t6x1+2x2≤24
x1+x2≤5,并对照作图法,说明其迭代过程。
x1,x2≥0
解:
SLP:
MaxZ=2x1+x2
5x2+x3=15
s.t6x1+2x2+x4=24
x1+x2+x5=5
x1,x2≥0
cj
2
1
0
0
0
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
15
0
5
1
0
0
---
0
x4
24
[6]
2
0
1
0
24∕6√
0
x5
5
1
1
0
0
1
5∕1
j
2
1
0
0
0
0
x3
15
0
5
1
0
0
3
2
x1
4
1
1∕3
0
1∕6
0
12
0
x5
1
0
[2/3]
0
-1/6
1
3∕2√
j
0
1∕3√
0
-1/3
0
0
x3
7.5
0
0
1
5/4
-15/2
2
x1
3.5
1
0
0
1/4
-1/2
1
x2
1.5
0
1
0
-1/4
1/5
j
0
0
0
-1/4
-1/2
X*=(3.5,1.5,7.5,0,0)T 目标函数最优值MaxZ=8.5
目标函数Z用非基变量表示,若检验数σj<0,得到最优解
2、对偶单纯型法
目标函数Opt:
MinW=15y1+24y2+5y3
6y2+y3≥2
约束条件s.t5y1+2y2+y3≥1
y1、y2、y3≥0
解:
SLP:
MaxZ=-15y1-24y2-5y3MaxZ=-15y1-24y2-5y3
6y2+y3-y4 =2-6y2-y3+y4 =-2
s.t5y1+2y2+y3 -y5=1→s.t-5y1-2y2-y3 +y5=-1
yj≥0yj≥0
cj
-15
-24
-5
0
0
CB
yB
b
y1
y2
y3
y4
y5
0
y4
-2*
0
[-6]
-1
1
0
0
y5
-1
-5
-2
-1
0
1
j
-15
-24
-5
0
0
i
-
4*
5
-24
y2
1/3
0
1
1/6
-1/6
0
0
y5
-1/3*
-5
0
[-2/3]
-1/3
1
j
-15
0
-1
-4
0
i
3
3/2*
12
-24
y2
1/4
-5/4
1
0
-1/4
1/4
-5
y3
1/2
15/2
0
1
1/2
-3/2
j
-15/2
0
0
-7/2
-3/2
得到最优解:
Y*=(0,1/4,1/2,0,0),MinW=8.5
1整个迭代过程中,sj≤0;(若sj>0,方法或计算错误)②若bi≥0,已是最优解
3、灵敏度分析(习题2.8,2.9)
(二)动态规划(20分)资金分配问题
习题4.3某公司有资金4万元,可向A、B、C三个项目投资,已知各项目的投资回报如下,求最大回报。
项目
投资额及收益
0
1
2
3
4
A
0
41
48
60
66
B
0
42
50
60
66
C
0
64
68
78
76
阶段变量k、状态变量Sk、决策变量xk、状态转移方程sk+1=Tk(sk,xk)、阶段指标函数dk(sk,xk)、过程指标函数fk(sk)=OPT{dk(sk,xk)+fk+1(sk+1)
(三)存储论(共20分)5.1,5.2,5.3,5.4,5.5,5.6
模型
状态
参数
T0
Q0
C0
一
P(120)
瞬时(订货)补充,
不允许缺货
需求R存储费c1
订购费c3
二
逐渐(生产)补充,
不允许缺货
R、c1、c3
生产速度p
三
瞬时(订货)补充,
允许缺货
R、c1、c3
缺货成本c2
四
逐渐(生产)补充,
允许缺货
R、c1、c3生产速度p缺货成本c2
(四)排队论(共15分)习题6.1,6.2
①排队系统中等待的人数Lq;②排队系统中的总人数L;③排队等待的时间Wq;④逗留时间W。
Kendall记号为:
X/Y/Z/A/B/C,其中X——顾客流的时间分布;Y——服务时间分布;Z——服务台个数;A――系统容量,可容纳最多顾客数;B――顾客源数目(顾客人数);C——服务规则
(M/M/1/∞/∞/FCFS(M/M/1)排队模型)某店仅有一个修理工人,顾客到达过程为Poisson流,流入速度λ,修理时间服从负指数分布,流出速度μ;
ρ=λ/μ
①系统中没有顾客的概率:
P0=1-ρ②系统中有K个顾客的概率为:
Pk=(ρ^k)(1-ρ)③系统中顾客数(逗留人数、队长)期望值L=ρ/(1-ρ)④等待服务的顾客的平均数:
Lq=L-ρ=ρ²/(1-ρ);⑤排队等待的时间Wq=Lq/λ;⑥逗留时间W=L/λ(如:
排队系统中平均有6人,平均到达速度2人/小时,系统平衡,则每个人平均要逗留3小时。
)
例、某入城检查站,只有一个通关口,商人到达过程为Poisson流,平均4人/小时,物品检查时间服从负指数分布,平均6分钟/人,求:
[解]λ=4人/h,μ=10人/h,ρ=λ/μ=0.4
(1)检查站空闲的概率;P0=1-ρ=0.6
(2)恰有3个人的概率;P3=(ρ^3)(1-ρ)=0.038
(3)至少有1个人的概率;P{N≥1}=1-P0=0.4
(4)一到就能接受检查的概率;同
(1),P0=0.6
(5)需要等待的概率;同(3),P=0.4
(6)检查站的平均商人数;L=ρ/(1-ρ)=0.67人
(7)每位商人在检查站的平均逗留时间;W=L/λ=1/6小时=10分钟
(7)等待检查的平均商人数;Lq=L-ρ=0.267人
(8)每位商人的平均等待时间;Wq=Lq/λ=1/15h=4min
(9)检查人员的工作强度(平均每小时中有多少时间处于忙期);ρ=0.4
例、汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡,通过关卡的平均时间为38s。
由于驾驶人员反映等待时间太长,主管部门打算采用新装置,使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。
但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。
根据这一要求,分析采用新装置是否合算。
[解]原系统λ=90辆/h,μ=3600/38(辆/h),
ρ= λ/μ=95%
Lq=L-ρ=ρ²/(1-ρ)=18.05辆>5辆,合算
新系统μ=3600/30=120(辆/h),ρ=0.75,P0=1-ρ=0.25,不合算。
第一章 线性规划
1.1将下述线性规划问题化成标准形式
1)minz=-3x1+4x2-2x3+5x4
4x1-x2+2x3- x4 =-2
st.x1+x2-x3+2x4≤14
-2x1+3x2+x3-x4≥2
x1,x2,x3≥0,x4 无约束
2)minz=2x1-2x2+3x3
-x1+x2+x3=4
st.-2x1+x2-x3≤6
x1≤0,x2≥0,x3无约束
1.2用图解法求解LP问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)minz=2x1+3x2
4x1+6x2≥6
st 2x1+2x2≥4
x1,x2≥0
2)maxz=3x1+2x2
2x1+x2≤2
st 3x1+4x2≥12
x1,x2≥0
3)maxz=3x1+5x2
6x1+10x2≤120
st 5≤x1≤10
3≤x2≤8
1.3找出下述LP问题所有基解,指出哪些是基可行解,并确定最优解
(1)minz=5x1-2x2+3x3+2x4
x1+2x2+3x3+4x4=7
st 2x1+2x2+x3+2x4=3
x1,x2,x3,x4≥0
1.4分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题,并对照指出最优解所对应的顶点。
1)maxz=10x1+5x2
3x1+4x2≤9
st 5x1+2x2≤8
x1,x2≥0
2)maxz=2x1+x2
3x1+5x2≤15
st 6x1+2x2≤24
x1,x2≥0
1.5分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。
1)minz=2x1+3x2+x3
x1+4x2+2x3≥8
st 3x1+2x2 ≥6
x1,x2,x3≥0
2)maxz=4x1+5x2+x3
.3x1+2x2+x3≥18
St.2x1+x2≤4
x1+x2-x3=5
3)maxz=5x1+3x2+6x3
x1+2x2 -x3≤18
st 2x1+x2 -3x3≤16
x1+x2 -x3=10
x1,x2,x3≥0
1.6求下表中a~l的值。
cj
(a)
-1
2
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
6
(b)
(c)
(d)
1
0
0
x5
1
-1
3
(e)
0
1
j
(a)
-1
2
0
0
(a)
x1
(f)
[(g)]
2
-1
1/2
0
0
x5
4
(h)
(I)
1
1/2
1
j
0
-7
(j)
(k)
(l)
第二章对偶与灵敏度分析
2.1 写出以下线性规划问题的DLP
1)minz=2x1+2x2+4x3
x1+3x2+4x3 ≥2
st2x1+x2+3x3 ≤3
x1+4x2+3x3 =5
x1,x2≥0,x3无约束
2)maxz=5x1+6x2+3x3
x1+2x2+2x3 =5
st-x1+5x2-x3 ≥3
4x1+7x2+3x3 ≤8
x1无约束,x2≥0,x3≤0
3)maxz=c1x1+c2x2+c3x3
a11x1+a12x2+a13x3≤b1
sta21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3 ≥b3
x1≥0,x2≤0,x3无约束
2.2 对于给出的LP:
minz=2x1+3x2+5x3+6x4
x1+2x2+3x3+x4 ≥2
st-2x1+x2-x3+3x4 ≤-3
xj≥0(j=1,2,3,4)
1)写出DLP;
2)用图解法求解DLP;
3)利用2)的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。
2.3 对于给出LP:
maxz=x1+2x2+x3
x1+ x2- x3 ≤2
st x1- x2+ x3 =1
2x1+ x2+ x3 ≥2
x1≥0,x2≤0,x3无约束
1)写出DLP;
2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1
2.4 已知LP:
maxz=x1+x2
-x1+ x2+ x3 ≤2
st-2x1+x2- x3 ≤1
xj≥0
试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。
2.5 给出LP:
maxz=2x1+4x2+x3+x4
x1+3x2 +x4 ≤8
2x1+x2 ≤6
st. x2+ x3+x4≤6
x1+x2+ x3 ≤9
xj≥0
1)写出DLP;
2)已知原问题最优解X=(2,2,4,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。
2.6 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题
1)minz=4x1+12x2+18x3
x1 +3x3≥3
st 2x2+2x3 ≥5
xj≥0(j=1,2,3)
2.8 已知LP:
maxz=2x1-x2+x3
x1+x2+x3≤6
st -x1+2x2 ≤4
x1,x2,x3≥0
1)用单纯形法求最优解
2)分析当目标函数变为maxz=2x1+3x2+x3时最优解的变化;
3)分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。
2.9 给出线性规划问题
maxz=2x1+3x2+x3
1/3x1+1/3x2+1/3x3≤1
st1/3x1+4/3x2+7/3x3≤3
xj≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表如下
cj
2
3
1
0
0
CB
XB
B
x1
x2
x3
x4
X5
2
x1
1
1
0
-1
4
-1
3
x2
2
0
1
2
-1
1
j
0
0
-3
-5
-1
试分析下列各种条件下,最优解(基)的变化:
1)目标函数中变量x3的系数变为6;
2)分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变;
3)
约束条件的右端由1变为 2;
33
第三章运输问题
3.1 根据下表,用表上作业法求最优解。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
3.2 根据下表,用表上作业法求最优解。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
A2
4
9
4
5
3
A3
5
7
6
2
5
销量
1
3
2
5
11
3.3 求给出的产销不平衡问题的最优解
B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
12
3
4
8
A2
11
8
5
9
5
A3
9
7
1
5
9
销量
4
3
5
6
3.4某市有三个面粉厂,他们供给三个面食加工厂所需的面粉,各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价,均式于下表。
假定在第1,2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元,试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位)。
食品厂
面粉厂
1
2
3
面粉厂产值
1
2
3
3
4
8
10
11
11
2
8
4
20
30
20
销量
15
25
20
3.5光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。
已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表:
已知上年末库存103台绣花机,如果当月生产出来的机器当月不交货,则需要运到分厂库房,每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元。
在7--8月份销售淡季,全厂停产1个月,因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。
加班生产机器每台增加成本1万元。
问应如何安排1--6月份的生产,可使总的生产费用(包括运输、仓储、维护)最少?
3.6设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。
假设效果相同,有关数据如下表:
试求总费用为最低的化肥调拨方案
第四章 动态规划
4.1现有天然气站A,需铺设管理到用气单位E,可以选择的设计路线如下图,B、C、D各点是中间加压站,各线路的费用如图所标注(单位:
万元),试设计费用最低的线路。
4.2一艘货轮在A港装货后驶往F港,中途需靠港加油、加淡水三次,从A港到F港全部可能的航运路线及两港之间距离如图,F港有3个码头F1,F2,F3,试求最合理停靠的码头及航线,使总路程最短。
4.3某公司有资金4万元,可向A、B、C三个项目投资,已知各项目的投资回报如下,求最大回报。
项目
投资额及收益
0
1
2
3
4
A
0
41
48
60
66
B
0
42
50
60
66
C
0
64
68
78
76
第五章 存储论
5.1某建筑工地每月需用水泥800t,每t定价2000元,不可缺货。
设每t每月保管费率为0.2%,每次订购费为300元,求最佳订购批量、经济周期与最小费用。
5.2一汽车公司每年使用某种零件150,000件,每件每年保管费0.2元,不允许缺货,试比较每次订购费为1,000元或100元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。
5.3某拖拉机厂生产一种小型拖拉机,每月可生产1000台,但对该拖拉机的市场需要量为每年4,000台。
已知每次生产的准备费用为15,000元,每台拖拉机每月的存贮费为10元,允许缺货(缺货费为20元/台月),求经济生产批量、经济周期与最小费用。
5.4某产品每月需求量为8件,生产准备费用为100元,存贮费为5元/月件。
在不允许缺货条件下,比较生产速度分别为每月20件和40件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。
5.5对某种电子元件每月需求量为4,000件,每件成本为150元,每年的存贮费为成本的10%,每次订购费为500元。
求:
(1)不允许缺货条件下的最优存贮策略;
(2)允许缺货(缺货费为100元/件年)条件下的最优存贮策略。
5.6某农机维修站需要购一种农机配件,其每月需要量为150件,订购费为每次400元,存贮费为0.96元/件月,并不允许缺货。
(1)求经济订购批量、经济周期与最小费用;
(2)该厂为少占用流动资金,希望进一步降低存贮量。
因此,决定使订购和存贮总费用可以超过原最低费用的10%,求这时的最优存贮策略。
第六章 排队论
6.1某店仅有一个修理工人,顾客到达过程为Poisson流,平均3人/h,修理时间服从负指数分布,平均需10min。
求:
(1)店内空闲的概率;
(2)有4个顾客的概率;
(3)至少有1个顾客的概率;
(4)店内顾客的平均数;
(5)等待服务的顾客的平均数;
(6)平均等待修理时间;
(7)一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率。
6.2设有一单人打字室,顾客的到达为为Poisson流,平均到达时间间隔为20min,打字时间服从负指数分布,平均为15min。
求:
(1)顾客来打字不必等待的概率;
(2)打字室内顾客的平均数;
(3)顾客在打字室内的平均逗留时间;
(4)若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h,则主人将考虑增加设备及打字员。
问顾客的平均到达率为多少时,主人才会
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- 运筹 41
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