如何证明极限不存在精选多篇.docx
- 文档编号:30142702
- 上传时间:2023-08-05
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:19.08KB
如何证明极限不存在精选多篇.docx
《如何证明极限不存在精选多篇.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《如何证明极限不存在精选多篇.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
如何证明极限不存在精选多篇
如何证明极限不存在(精选多篇)
第一篇:
证明极限不存在
证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:
(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;
(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于
(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于
(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..
2
是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗,从哪儿入手呢,请高手指点
沿着两条直线y=2x
y=-2x趋于(0,0)时
极限分别为-3和-1/3不相等
极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等
所以极限不存在
3
lim(x和y)趋向于无穷大(x_-5y_)/(x_+3y_)
证明该极限不存在
lim(x_-5y_)/(x_+3y_)
=lim(x_+3y_)/(x_+3y_)-8y_/(x_+3y_)
=1-lim8/
因为不知道x、y的大校
所以lim(x和y)趋向于无穷大(x_-5y_)/(x_+3y_)
极限不存在
4
如图用定义证明极限不存在~谢谢!
!
反证法
若存在实数l,使limsin(1/x)=l,
取ε=1/2,
在x=0点的任意小的邻域x内,总存在整数n,
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x,有sin=1,
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x,有sin=-1,
使|sin-l|<1/3,
和|sin-l|<1/3,
同时成立。
即|1-l|<1/2,|-1-l|<1/2,同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。
第二篇:
如何证明极限不存在
如何证明极限不存在反证法
若存在实数l,使limsin(1/x)=l,
取ε=1/2,
在x=0点的任意小的邻域x内,总存在整数n,
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x,有sin=1,
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x,有sin=-1,
使|sin-l|<1/3,
和|sin-l|<1/3,
同时成立。
即|1-l|<1/2,|-1-l|<1/2,同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。
反证法:
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假常数,而分母总余下n的若干次方,当n-+∞,得0。
因此总的结果是当n-+∞,二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约,得1。
余下分母。
于是式一化为:
(1+1/n)
=1+1+1/2!
+1/3!
+1/4!
+1/5!
+1/6!
+…+1/n!
(式二)
当n-+∞时,你可以用计算机,或笔计算此值。
这一数值定义为e。
第三篇:
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:
找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?
仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线,(,y)一g(,y)=0趋近于(,y0)来讨论,一0g,y。
。
可能会出现错误,只有证明了(,)不是孤立点后才不会出错。
o13a1673-3878(20XX)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limf(x,y)不存在,通常x—’10y—’y0的方法是:
找几条通过(或趋于)定点(xo,yo)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(xo,y。
)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limf(x,y)不存在,这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(xo,y。
),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如2的极限,在判卜’iogx,yy—·y0断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)一g(x,y):
0,这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x_趋于(00)时,极限为lim(-x_+x_)/x_=-1;
当沿直线y=x趋于(00)时,极限为limx_/2x=0。
故极限不存在。
4
x-y+x_+y_
f(x,y)=————————
x+y
它的累次极限存在:
x-y+x_+y_
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x_+y_
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时,易证极限不同,所以它的二重极限不存在。
第四篇:
极限不存在的证明
不如何证明极限不存在
一、归结原则
原理:
设f在u0(x0;?
’)内有定义,limf(x)存在的充要条件是:
对任何含于
x?
x0
u(x0;?
)且以x0为极限的数列?
xn?
极限limf(xn)都存在且相等。
‘
n?
?
例如:
证明极限limsin
x?
0
1x
不存在
12n?
?
证:
设xn?
?
1n?
?
xn?
?
2
(n?
1,2,?
),则显然有
xn?
0,xn?
0(n?
?
),si由归结原则即得结论。
?
?
?
0?
0,si?
1?
1(n?
?
)?
?
xnxn
二、左右极限法
原理:
判断当x?
x0时的极限,只要考察左、右极限,如果两者相等,则极限存在,否则极限不存在。
例如:
证明f(x)?
arctan(因为limarctan(
x?
0
?
1x
)
当x
?
0
时的极限不存在。
1x)?
1x
)?
?
?
2
x=0,limarctan(
x?
0
?
?
2
,limarctan(
x?
0
?
1x
)?
lim?
arctan(
x?
0
1x
),
所以当x?
0时,arctan(
1x
)的极限不存在。
三、证明x?
?
时的极限不存在
原理:
判断当x?
?
时的极限,只要考察x?
?
?
与x?
?
?
时的极限,如果两者
相等,则极限存在,否则极限不存在。
例如:
证明f(x)?
ex在x?
x?
?
?
?
时的极限不存在
x?
?
?
x?
?
?
xxxx
因为lime?
0,lime?
?
?
;因此,lime?
lime
x?
?
?
所以当x?
四、柯西准则
?
时,ex的极限不存在。
0’
原理:
设f在u(x0;?
)内有定义,limf(x)存在的充要条件是:
任给?
x?
x0
?
0
,存
在正数?
(?
?
?
),使得对任何x?
x?
?
?
u0(x0;?
),使得f(x?
)?
f(x?
?
)?
?
0。
例如:
在方法一的例题中,取?
0?
1,对任何?
?
0,设正数n?
x?
?
1
n?
x?
?
?
1
n?
?
1?
,令?
2即证。
五、定义法
原理:
设函数f(x)在一个形如(a,?
?
)的区间中有定义,对任何a?
r,如果存在
?
0?
0,使对任何x?
0都存在x0?
x,使得f(x0)?
a?
?
0,则f(x)在x?
?
?
x?
?
?
时没有极限。
例如:
证明limcosx不存在
设函数f(x)?
cosx,f(x)在(0,?
?
)中有定义,对任何a?
r,不妨设a?
取?
0?
120,,于是对任何?
?
0,取?
0?
0反证法(利用极限定义)数学归纳法
第五篇:
极限证明
极限证明
1.设f(x)在(?
?
?
?
)上无穷次可微,且f(x)?
?
(xn)(n?
?
?
),求证当k?
n?
1时,?
x,limf(k)(x)?
0.x?
?
?
2.设f(x)?
?
0sinntdt,求证:
当n为奇数时,f(x)是以2?
为周期的周期函数;当n为
偶数时f(x)是一线性函数与一以2?
为周期的周期函数之和.x
f(n)(x)?
0.?
{xn}?
3.设f(x)在(?
?
?
?
)上无穷次可微;f(0)f?
(0)?
0xlim求证:
n?
1,?
?
?
?
n,0?
xn?
xn?
1,使f(n)(xn)?
0.
sin(f(x))?
1.求证limf(x)存在.4.设f(x)在(a,?
?
)上连续,且xlim?
?
?
x?
?
?
5.设a?
0,x1?
2?
a,xn?
1?
2?
xn,n?
1,2?
证明权限limn?
?
xn存在并求极限值。
6.设xn?
0,n?
1,2,?
.证明:
若limxn?
1?
x,则limxn?
x.n?
?
xn?
?
n
7.用肯定语气叙述:
limx?
?
?
f?
x?
?
?
?
.
8.a1?
1,an?
1?
1,求证:
ai有极限存在。
an?
1
t?
x9.设函数f定义在?
a,b?
上,如果对每点x?
?
a,b?
极限limf?
t?
存在且有限(当x?
a或b时,
为单侧极限)。
证明:
函数f在?
a,b?
上有界。
10.设limn?
?
an?
a,证明:
lima1?
2a2?
?
?
nana?
.n?
?
2n2
11.叙述数列?
an?
发散的定义,并证明数列?
cosn?
发散。
12.证明:
若?
?
?
af?
x?
dx收敛且limx?
?
?
f?
x?
?
?
,则?
?
0.
11?
an?
收敛。
?
n?
1,2,?
.求证:
22an?
1an13.a?
0,b?
0.a1?
a,a2?
b,an?
2?
2?
n
14.证明公式?
k?
11k?
2n?
c?
?
n,其中c是与n无关的常数,limn?
?
?
n?
0.
15.设f?
x?
在[a,?
?
)上可微且有界。
证明存在一个数列?
xn?
?
[a,?
),使得limn?
?
xn?
?
?
且limn?
?
f’?
xn?
?
0.
16.设f?
u?
具有连续的导函数,且limu?
?
?
f’?
u?
?
a?
0,d?
?
x,y?
|x2?
y2?
r2,x,y?
0
?
?
?
r?
0?
.
i
?
1?
证明:
limu?
?
f?
u?
?
?
?
;?
2?
求ir?
?
?
f’?
x2?
y2?
dxdy;?
3?
求limr2
r?
?
d
r
17.设f?
x?
于[a,?
?
)可导,且f’?
x?
?
c?
0?
c为常数?
证明:
?
1?
limx?
?
?
f?
x?
?
?
?
;?
2?
f?
x?
于[a,?
?
)必有最小值。
18.设limn?
?
?
an?
a,limn?
?
?
bn?
b,其中b?
0,用?
?
n语言证明lim
ana?
.
n?
?
?
bbn
?
sn?
x?
?
19.设函数列?
sn?
x?
?
的每一项sn?
x?
都在x0连续,u是以x0为中心的某个开区间,
在u?
?
x0?
内闭一致收敛于s?
x?
又limn?
?
sn?
x0?
?
?
?
证明:
lims?
x?
?
?
?
.
x?
x0
20.叙述并证明limx?
?
?
f?
x?
存在且有限的充分必要条件?
柯西收敛原理?
?
?
a
23.设?
f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?
a,?
?
?
上一致连续,?
?
?
24.设a1>0,an?
1=an+,证明=1nan25.设f?
x?
在a的某领域内有定义且有界,对于充分小的h,m?
h?
与m?
h?
分别表示f?
x?
在
?
a?
h,a?
h?
上的上、下确界,又设?
hn?
是一趋于0的递减数列,证明:
1)limn?
?
m?
hn?
与limn?
?
m?
hn?
都存在;
2)limn?
0m?
h?
?
limn?
?
m?
hn?
limn?
0m?
h?
?
limn?
?
m?
hn?
;
3)f?
x?
在x?
a处连续的充要条件是llimn?
?
m?
hn?
?
imn?
?
m?
hn?
26设?
xn?
满足:
|xn?
1?
xn|?
|qn||xn?
xn?
1|,|qn|?
r?
1|,证明?
xn?
收敛。
27.设an?
a,用定义证明:
limn?
?
?
an?
a
28.设x1?
0,xn?
1?
31?
xn
(n?
1,2,?
),证明limxn存在并求出来。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 如何 证明 极限 不存在 精选