小学数学知识总结之比和比例应用题以及溶液问题.docx
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小学数学知识总结之比和比例应用题以及溶液问题
小学数学知识总结之比和比例应用题
【求比的问题】
例1两个同样容器中各装满盐水。
第一个容器中盐与水的比是2∶3,第二个容器中盐与水的比是3∶4,把这两个容器中的盐水混合起来,则混合溶液中盐与水的比是____。
(无锡市小学数学竞赛试题)
则混合溶液中,盐与水的比是:
某电子产品去年按定价的80%出售,能获利20%,由于今年买入价降
(1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
即:
【比例问题】
例1甲、乙两包糖的重量比是4∶1,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比变为7∶5那么两包糖重量的总和是____克。
(1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
例2甲容器中有纯酒精11升,乙容器中有水15升,第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合。
第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。
这样甲容器中纯酒精含量为62.5%,乙容器中纯酒精含量为25%,那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是____升。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
因为现在乙容器中纯酒精含量为25%,所以,乙容器中酒精与水的比为25%∶(1-25%)=1∶3
第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器,才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是5∶15=1∶3
又甲容器中纯酒精含量为62.5%,则甲容器中酒精与水的比为62.5%∶(1-62.5%)=5∶3
第二次倒后,要使甲容器中纯酒精与水的比为5∶3,不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份,水作3份。
那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6(升)
6升算作4份,这样可恰好配成5∶3。
而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为1+3=4(份),所以也应是6升。
一.比的意义和性质
(1) 比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值
(2)比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3) 求比值和化简比
求比值的方法:
用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
(4)比例尺
图上距离:
实际距离=比例尺
要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:
在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(5)按比例分配
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:
首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2 比例的意义和性质
(1) 比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3 正比例和反比例
(1) 成正比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定)
(2)成反比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
二正反比例问题
【含义】两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。
许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。
【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是:
把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。
例1修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?
例2张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?
关键:
做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系
例3孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?
三按比例分配问题
【含义】所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。
这类题的已知条件一般有两种形式:
一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。
【数量关系】从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。
总份数=比的前后项之和
【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。
例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?
例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。
三条边的长各是多少厘米?
例3从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。
例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?
四列方程
例1甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人?
例3仓库里有化肥940袋,两辆汽车4次可以运完,已知甲汽车每次运125袋,乙汽车每次运多少袋?
智趣题
学校买了4张办公桌和1把椅子,共用去510元,后又买来6张办公桌和1把椅子共用去750元。
求每张办公桌和每把椅子各多少元?
作业
1.一台拖拉机第一天上午3小时平均每小时耕地7.8公亩,下午4小时平均每小时耕地8.1公亩,第二天用了5小时耕地38.4公亩,正好完成任务。
这台拖拉机平均每天耕地多少公亩?
2.王、张两人各带同样多的钱去商店买花布,同种的花布小王买了9米,小张买了6米。
王向张借了12元,两人的钱刚好用完。
这种花布每米多少元?
比的应用练习题
1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积比是3:
1,另一个瓶中酒精与水的体积比是4:
1。
如果把这两个瓶中酒精溶液混合,混合溶液中酒精和水的比是( )。
2、五角人民币与贰角人民币的张数比为12:
35,那么伍角与贰角的总钱数比为( )。
3、甲、乙、丙三个数的平均数是60。
甲、乙、丙三个数的比是3:
2:
1。
甲、乙、丙三个数各是多少?
4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是2:
1,这两个锐角分别是多少度?
5、大、小两瓶油共重2.7千克,大瓶的油用去0.2千克后,剩下的油与小瓶内油的重量比是3:
2。
求大、小瓶里各装油多少千克?
6、甲、乙、丙三位同学共有图书108本,乙比甲多18本,乙与丙的图书数之比是5:
4,求甲、乙、丙三人各有图书多少本?
7、一个直角三角形的三条边总和是60厘米,已知三条边的比是3:
4:
5.这个直角三角形的面积是多少平方厘米?
8、一个直角三角形的周长为36厘米,三条边的长度比是3:
4:
5,这个三角形的面积是多少平方厘米?
9、一瓶盐水,盐和水的重量比是1:
24,如果再放入75克水,这时盐与水的重量比是1:
27,原来瓶内盐水重多少千克?
10、盒子里有三种颜色的球,黄球个数与红球个数的比是2:
3,红球个数与白球个数的比是4:
5。
已知三种颜色的球共175个,红球有多少个?
11、王老师用100元去买了20支圆珠笔和10支钢笔,每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱的比是3:
1。
问买圆珠笔和钢笔各花了多少元?
12、甲、乙两包糖果的重量的比是4:
1,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲、乙两包糖果重量的比变为7:
5。
那么两包糖果重量的总和是多少?
13、某小学男、女生人数之比是16:
13,后来有几位女生转学到这所学校,男、女生人数之比变成为6:
5,这时全体学生共有880人,问转学来的女生有多少人?
14、小明读一本书,已读的和末读的页数比是1:
5。
如果再读30页,则已读的和末读的页数之比为3:
5。
这本书共有多少页?
15、运输队要运一批货物,已经运走的和剩下的比是1:
4。
如果再运走4吨,那么运走的和剩下的比为3:
7。
这批货物共多少吨?
16、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为9:
4:
2,甲给了丙30个彩球,乙也给了丙一些彩球,比例变为2:
1:
1。
乙给了丙多少个彩球?
第十讲 溶液问题
一碗糖水中有多少糖,这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水,这就是配比问题.在考虑浓度和配比时,百分数的计算扮演了重要的角色,并产生形形色色的计算问题,这是小学数学应用题中的一个重要内容.
从一些基本问题开始讨论.
例15基本问题一
(1)浓度为10%,重量为80克的糖水中,加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水?
(2)浓度为20%的糖水40克,要把它变成浓度为40%的糖水,需加多少克糖?
解:
(1)浓度10%,含糖80×10%=8(克),有水80-8=72(克).
如果要变成浓度为8%,含糖8克,糖和水的总重量是8÷8%=100(克),其中有水
100-8=92(克).
还要加入水92-72=20(克).
(2)浓度为20%,含糖40×20%=8(克),有水40-8=32(克).
如果要变成浓度为40%,32克水中,要加糖x克,就有
x∶32=40%∶(1-40%),
例16基本问题二
20%的食盐水与5%的食盐水混合,要配成15%的食盐水900克.问:
20%与5%食盐水各需要多少克?
解:
20%比15%多(20%-15%),5%比15%少(15%-5%),多的含盐量
(20%-15%)×20%所需数量
要恰好能弥补少的含盐量
(15%-5%)×5%所需数量.
也就是
画出示意图:
相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.
答:
需要浓度20%的600克,浓度5%的300克.
这一例题的方法极为重要,在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.
例17某人到商品买红、蓝两种笔,红笔定价5元,蓝笔定价9元.由于买的数量较多,商店就给打折扣.红笔按定价85%出售,蓝笔按定价80%出售.结果他付的钱就少了18%.已知他买了蓝笔30支,问红笔买了几支?
解:
相当于把两种折扣的百分数配比,成为1-18%=82%.
(85%-82%)∶(82%-80%)=3∶2.
按照基本问题二,他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.
设买红笔是x支,可列出比例式
5x∶9×30=2∶3
答:
红笔买了36支.
配比问题不光是溶液的浓度才有的,有百分数和比,都可能存在配比.要提请注意,例17中是钱数配比,而不是两种笔的支数配比,千万不要搞错.
例18甲种酒精纯酒精含量为72%,乙种酒精纯酒精含量为58%,混合后纯酒精含量为62%.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升,混合后纯酒精含量为63.25%.问第一次混合时,甲、乙两种酒精各取多少升?
解:
利用例16的方法,原来混合时甲、乙数量之比是
后一次混合,甲、乙数量之比是
这与上一讲例14是同一问题.都加15,比例变了,但两数之差却没有变.
5与2相差3,5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2,3∶5中前、后两项都乘3,就把比的份额统一了,即
现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份,每份是3.原来这
答:
第一次混合时,取甲酒精12升,乙酒精30升.
例19甲容器中有8%的食盐水300克,乙容器中有12.5%的食盐水120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水,使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水?
解:
要使两个容器中食盐水浓度一样,两容器中食盐水重量之比,要与所含的食盐重量之比一样.
甲中含盐量:
乙中含盐量
=300×8%∶120×12.5%
=8∶5.
现在要使
(300克+倒入水)∶(120克+倒入水)=8∶5.
把“300克+倒入水”算作8份,“120克+倒入水”算作5份,每份是
(300-120)÷(8-5)=60(克).
倒入水量是60×8-300=180(克).
答:
每一容器中倒入180克水.
例20甲容器有浓度为2%的盐水180克,乙容器中有浓度为9%的盐水若干克,从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水,使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问:
(1)现在甲容器中食盐水浓度是多少?
(2)再往乙容器倒入水多少克?
解:
(1)现在甲容器中盐水含盐量是
180×2%+240×9%=25.2(克).
浓度是
25.2÷(180+240)×100%=6%.
(2)“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”,也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水,所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水240克后,乙的浓度仍是9%,要含有25.2克盐,乙容器还剩下盐水25.2÷9%=280(克),
还要倒入水420-280=140(克).
答:
(1)甲容器中盐水浓度是6%;
(2)乙容器再要倒入140克水.
例21甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半,得到含
乙两种含金样品中含金的百分数.
解:
因为甲重量增加,合金中含金百分数下降,所以甲比乙含金少.
用例17方法,画出如下示意图.
因为甲与乙的数量之比是1∶2,所以
(68%-甲百分数)∶(乙百分数-68%)
=2∶1
=6∶3.
注意:
6+3=2+7=9.
那么每段是
因此乙的含金百分数是
甲的含金百分数是
答:
甲含金60%,乙含金72%.
用这种方法解题,一定要先弄清楚,甲和乙分别在示意图线段上哪一端,也就是甲和乙哪个含金百分数大.
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