人教版八年级数学上册《等边三角形的判定》同步训练习题.docx

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人教版八年级数学上册《等边三角形的判定》同步训练习题

人教版八年级数学上册《等边三角形的判定》同步训练习题

13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（学生版）

一．选择题

1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）

A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形

2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（　　）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰不等边三角形

4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（　　）

A．60°B．45°C．90°D．不能确定

5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（　　）

A．8+2aB．8+aC．6+aD．6+2a

8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD﹨CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（　　）

A．5cmB．10cmC．15cmD．25cm

二．填空题

9．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　　　　　　时，△AOP为等边三角形．

10．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=　　　　　　．

11．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　　　　　　．

12．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是　　　　　　．

三．解答题

13．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：

△OCD是等边三角形．

14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．

15．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD﹨DE﹨EC三者有什么关系？

写出你的判断过程．

16．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：

△DOC是等边三角形；

（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；

（3）探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

人教版八年级数学上册

13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（教师版）

一．选择题

1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）

A．有两个内角是60°的三角形

B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形

D．有两个外角相等的等腰三角形

选D

点评：

节本题考查了等边三角形的判定：

（1）由定义判定：

三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

考点：

等边三角形的判定．

分析：

根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．

解答：

解：

∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，

即三角形任意一边上的高与中线重合，

∴这个三角形的三边都相等，

∴这个三角形必为等边三角形．

故选D．

点评：

本题考查了等边三角形的判定：

三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（　　）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰不等边三角形

考点：

等边三角形的判定．

分析：

先根据△ABC中，AB=AC得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数，进而得出结论．

解答：

解：

∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠A=60°，

∴∠B=∠C=

=60°，

∴△ABC是等边三角形．

故选C．

点评：

本题考查的是等边三角形的判定，熟知三个角都相等的三角形是等边三角形是解答此题的关键．

4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（　　）

A．60°B．45°C．90°D．不能确定

考点：

等边三角形的判定与性质；非负数的性质：

绝对值；非负数的性质：

偶次方．

分析：

根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可．

解答：

解：

△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，

∴b﹣c=0，a﹣b=0，

∴a=b=c，

∴三角形是等边三角形，所以∠A=60°．

故答案选：

A．

点评：

本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．

5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

等边三角形的性质．

分析：

根据等边三角形的性质：

三线合一，即可求得BD的长，又由勾股定理即可求的高．

解答：

解：

如图：

过点A作AD⊥BC于D，

∵等边三角形△ABC的边长为4cm，

∴DC=DB=2cm，

∵AB=4cm，

∴AD=

=2

cm．

故选A．

点评：

本题主要考查等边三角形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．

6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

等边三角形的性质．

分析：

根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=

AC，进而得到AD=

．

解答：

解：

∵三角形ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，

∵BD⊥AC于D，

∴AD=

AC，

∵△ABC周长为m，

∴AD=

，

故选B．

点评：

本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．

7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（　　）

A．8+2aB．8+aC．6+aD．6+2a

考点：

等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．

专题：

计算题．

分析：

△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．

解答：

解：

∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP

∴△MNP是等边三角形．

又∵MQ⊥PN，垂足为Q，

∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，

∵NG=NQ，

∴∠G=∠QMN，

∴QG=MQ=a，

∵△MNP的周长为12，

∴MN=4，NG=2，

∴△MGQ周长是6+2a．

故选D．

点评：

本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．

8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD﹨CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（　　）

A．5cmB．10cmC．15cmD．25cm

考点：

等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．

分析：

根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=

AE，可求得DE，则可求得BD．

解答：

解：

∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，

∴AE=BE=CE=AC=10cm，

∴△ACE为等边三角形，

∵CD⊥AE，

∴DE=

AE=5cm，

∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm，

故选C．

点评：

本题主要考查直角三角形的性质及等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE﹨根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．

二．填空题

9．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　a　时，△AOP为等边三角形．

（1）由定义判定：

三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

10．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=　5　．

考点：

等边三角形的判定与性质．

分析：

在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去60°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数，进而判断出三角形为等边三角形，即可求得腰长

解答：

解∵等腰三角形的顶角为60°，

∴底角=

=60°，

∴三角形为等边三角形，

∴腰长=底边长=5，

所以它的腰长为5，

故答案为5．

点评：

本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角．

11．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　2.1　．

考点：

等边三角形的判定与性质；旋转的性质．

分析：

由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．

解答：

解：

由旋转的性质可得：

AD=AB，

∵∠B=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB，

∵AB=1.8，BC=3.9，

∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1．

故答案为：

2.1．

点评：

此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

12．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是　

a　．

考点：

等边三角形的判定与性质．

专题：

规律型．

分析：

延长第2个等边三角形的一边与第1个等边三角形的一边相交于D，然后判定BD是三角形的中位线，然后求出BD的长，再求出BC的长，从而求出第2个等边三角形与第一个等边三角形边长的关系，也就是第2个正六边形与第1个正六边形的边长的关系，再根据此规律依次求解即可．

解答：

解：

如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，

∵B为中点，

∴BD=

×

a=

，

∴BC=a﹣

﹣

=

，

∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的

，

∵正六边形的边长是相应等边三角形边长的

，

∴下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的

，

根据题意，第一个正六边形的边长是

a，

所以，第6个正六边形的边长：

a×（

）5=

a．

故答案为：

a．

点评：

本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线并求出后一个等边三角形是前一个等边三角形的边长的

是解题的关键．

三．解答题

13．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：

△OCD是等边三角形．

考点：

等边三角形的判定．

专题：

证明题．

分析：

根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，根据等边三角形的判定就可证得结论．

解答：

证明：

∵OA=OB，

∴∠A=∠B=60°，

又∵AB∥DC，

∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，

∴△OCD是等边三角形．

点评：

本题主要考查了等边三角形的判定和平行线的性质：

两直线平行，内错角相等．

14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．

考点：

等边三角形的判定．

分析：

由AB=AC，AD⊥BC得到AD是BC的中垂线，由中垂线的性质：

中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等知，BE=CE，即可得出△BCE的形状．

解答：

解：

△BCE是等边三角形，理由如下：

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴AD为BC的中垂线，

∴BE=EC，

∵BC=BE，

∴BC=CE=BE，

∴△BCE是等边三角形．

点评：

此题考查等边三角形的判定，关键是利用了中垂线的判定和性质证明BE=CE．

15．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD﹨DE﹨EC三者有什么关系？

写出你的判断过程．

考点：

等边三角形的判定与性质．

专题：

探究型．

分析：

（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；

（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC．

解答：

解：

（1）△ODE是等边三角形，

其理由是：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°（3分）

∴△ODE是等边三角形；（4分）

（2）答：

BD=DE=EC，

其理由是：

∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠OBD=30°，（6分）

∵OD∥AB，

∴∠BOD=∠ABO=30°，

∴∠DBO=∠DOB，

∴DB=DO，（7分）

同理，EC=EO，

∵DE=OD=OE，

∴BD=DE=EC．（8分）

点评：

此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．

17．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：

△DOC是等边三角形；

（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；

（3）探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

考点：

等边三角形的判定；等腰三角形的判定．

专题：

几何综合题；分类讨论．

分析：

（1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；

（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO﹨②∠ODA=∠OAD﹨③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°﹣∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．

解答：

（1）证明：

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，

∴CO=CD．

∴△COD是等边三角形；

（2）∵△ADC≌△BOC，

∴DA=OB=4，

∵△COD是等边三角形，

∴∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°，

∴△AOD为直角三角形．

又AO=5，AD=4，∴OD=3，

∴CO=OD=3；

点评：

此题主要运用旋转的性质﹨等边三角形的判定等知识，渗透分类讨论思想．