标准实验报告Trisecting.docx
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标准实验报告Trisecting
标准实验报告
(实验)课程名称数学实验
学生姓名:
学号
选课号:
片区
教师:
李春和
电子科技大学
实验报告
实验时间:
报告评分:
一、实验名称:
竞赛题的实验设计
二、实验内容:
设
为边长等于1的等边三角形,
是由
之各边3等分点连接成的六边形,
,
是由
之各边3等分点连成的多边形。
1.算法描述多边形
2.证明
的边数为
3.求
的面积
三、实验目的:
掌握MATLAB循环语句的常用方法。
四、实验原理:
由一条线段产生两个等分点。
对于多边形来说,线段的条数等于顶点的个数,则原来的
边形产生
个新的顶点,新的多边形为
边形。
算法针对每一条线段逐步进行,将进行计算两个新的点,第一个点位于线段的三分之一处,第二点位于线段的三分之二处,每个线段生成新的两个点,这些新的点依次连成新的多边形。
五、实验程序
functionTrisecting(P,N)
ifnargin==0,P=[0,0;5,sqrt(75);10,0;0,0];N=2;
end
n=max(size(P))-1;
fork=1:
N
p1=P(1:
n,:
);p2=P(2:
n+1,:
);
d=(p2-p1)/3;
q1=p1+d;q2=p1+2*d;
n=2*n;II=1:
2:
n-1;
P(II,:
)=q1;P(II+1,:
)=q2;
P(n+1,:
)=q1(1,:
);
end
plot(P(:
1),P(:
2)),axisoff
axisimage
六,实验结果及分析:
1、可知,画出的图形如下图,
2、由以下图及上图可知
当n=1时,边数为3;
当n=2时,边数为6;
当n=3时,边数为12;
由数学归纳法得:
证明:
假设对于
结论成立,即
同时顶点的个数也为
那么由“对于多边形来说,线段的条数等于顶点的个数,则原来的
边形产生
个新的顶点,新的多边形为
边形”
由数学归纳法原理,
(n=1,2,3……)
3、求
所围面积:
为了证明递推关系式
(1),
(2),编写程序
functionarea(P,N)
ifnargin==0,P=[0,0;5,sqrt(75);10,0;0,0];N=3;
end
n=max(size(P))-1;
fork=1:
N
p1=P(1:
n,:
);p2=P(2:
n+1,:
);
Q(1:
n,:
)=(p1+p2)/2;
Q(n+1,:
)=Q(1,:
);
plot(P(:
1),P(:
2),'r',Q(:
1),Q(:
2),'g'),holdon
d=(p2-p1)/3;
q1=p1+d;q2=p1+2*d;
n=2*n;II=1:
2:
n-1;
P(II,:
)=q1;P(II+1,:
)=q2;
P(n+1,:
)=q1(1,:
);
end
axisoff
axisimage
得到图形
由此图可得当
时,递推关系式
(1),
(2)成立。
为了验证递推关系是(7),(8)编写程序如下,
N=input('inputN:
=')
error=10^(-12);
P=[0,0;5,sqrt(75);10,0;0,0];
Area=[50*sqrt(3),50*sqrt(3)/4];
n=3;
fork=1:
N
p1=P(1:
n,:
);p2=P(2:
n+1,:
);
Q(1:
n,:
)=(p1+p2)/2;
Q(n+1,:
)=Q(1,:
);
plot(P(:
1),P(:
2),'r',Q(:
1),Q(:
2),'g'),holdon
d=(p2-p1)/3;
q1=p1+d;q2=p1+2*d;
n=2*n;II=1:
2:
n-1;
P(II,:
)=q1;P(II+1,:
)=q2;
P(n+1,:
)=q1(1,:
);
Q(1:
n,:
)=(P(1:
n,:
)+P(2:
n+1,:
))/2;
Q(n+1,:
)=Q(1,:
);
areak=[polyarea(P(:
1),P(:
2)),polyarea(Q(:
1),Q(:
2))];
Area=[Area;areak];
S(k,:
)=[abs(Area(k+1,1)-(5/9*Area(k,1)+4/9*Area(k,2))) end Area S 选用formatlong,运行程序 N=16,S从第八行开始全为1. 为了验证 编写程序如下 functionareaerror(P,N) ifnargin==0,P=[0,0;5,sqrt(75);10,0;0,0];N=10; end n=max(size(P))-1; fork=1: N p1=P(1: n,: );p2=P(2: n+1,: ); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q2=p1+2*d; n=2*n;II=1: 2: n-1; P(II,: )=q1;P(II+1,: )=q2; P(n+1,: )=q1(1,: ); end areaN=polyarea(P(: 1),P(: 2)); error=abs(100*sqrt(3)/7-areaN) 运行程序可以看出,当N越大,误差越来越小,且N=20时误差的数量级为-12。 七、实验结论: 有以上的实验分析可以得到实验内容的3个问题的答案,通过这三个问题的分析可以知道多边形的边数满足以下公式: 并且,当n趋近于正无穷时,图形的面积趋于 。
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