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圆中常见的辅助线
LGGROUPsystemofficeroom【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
圆中常见的辅助线
圆中常见辅助线的做法
一.遇到弦时(解决有关弦的问题时)
1.常常添加弦心距,或作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。
作用:
①利用垂径定理;
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
例:
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证:
AC=BD
证明:
过O作OE⊥AB于E
∵O为圆心,OE⊥AB
∴AE=BECE=DE
∴AC=BD
练习:
如图,AB为⊙O的弦,P是AB上的一点,AB=10cm,PA=4cm.求⊙O的半径.
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例:
如图,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证:
证明:
(一)连结OC、OD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴OM=
AO、ON=
BO
∵OA=OB∴OM=ON
∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC=OD
∴Rt△COM≌Rt△DON
∴∠COA=∠DOB
∴
(二)连结AC、OC、OD、BD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴AC=OCBD=OD
∵OC=OD∴AC=BD∴
3.有弦中点时常连弦心距
例:
如图,已知M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,AB=CD,求证:
∠AMN=∠CNM
证明:
连结OM、ON
∵O为圆心,M、N分别是弦AB、CD的中点
∴OM⊥ABON⊥CD
∵AB=CD∴OM=ON
∴∠OMN=∠ONM
∵∠AMN=90o-∠OMN
∠CNM=90o-∠ONM
∴∠AMN=∠CNM
4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
例:
如图,已知⊙O1与⊙O2为等圆,P为O1、O2的中点,过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证:
AC=BD
证明:
过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N,则O1M∥O2N
∴
∵O1P=O2P∴O1M=O2N∴AC=BD
二.有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅助线的方法:
⑴连结过弧中点的半径
⑵连结等弧所对的弦
⑶连结等弧所对的圆心角
例:
如图,已知D、E分别为半径OA、OB的中点,C为弧AB的中点,求证:
CD=CE
证明:
连结OC
∵C为弧AB的中点∴
∴∠AOC=∠BOC
∵D、E分别为OA、OB的中点,且AO=BO
∴OD=OE=
AO=
BO
又∵OC=OC
∴△ODC≌△OEC
∴CD=CE
3.有直径时常作直径所对的圆周角,再利用直径所对的圆周角为直角证题.
例:
如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,P为AC延长线上一点,且AC=PC,PB的延长线交⊙O于D,求证:
AC=DC
证明:
连结AD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADP=90o
∵AC=PC
∴AC=CD=
AP
例(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且
。
求证:
PA是⊙O的切线。
证明:
作⊙O的直径AD,连BD,则
即
∴
∵
∴
即
∴PA为⊙O的切线。
四.遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:
利用圆周角的性质,可得到直径。
练习:
如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90o,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点,连结BD交⊙O于F.求证:
五.有等弧时常作辅助线有以下几种:
⑴作等弧所对的弦
⑵作等弧所对的圆心角
⑶作等弧所对的圆周角
练习:
1.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,交点为E,F为DC延长线上一点,连结AF交⊙O于M.求证:
∠AMD=∠FMC(提示:
连结BM)
2.如图,△ABC内接于⊙O,D、E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2,求证:
AB=AC
(提示如图)
六.有弦中点时,常构造三角形中位线.
例:
已知,如图,在⊙O中,AB⊥CD,OE⊥BC于E,求证:
OE=
AD
证明:
作直径CF,连结DF、BF
∵CF为⊙O的直径
∴CD⊥FD
又∵CD⊥AB
∴AB∥DF
∴
∴AD=BF
∵OE⊥BCO为圆心CO=FO
∴CE=BE∴OE=
BF
∴OE=
AD
七.圆上有四点时,常构造圆内接四边形.
例:
如图,△ABC内接于⊙O,直线AD平分∠FAC,交⊙O于E,交BC的延长线于D,求证:
AB·AC=AD·AE
证明:
连结BE
∵∠1=∠3∠2=∠1
∴∠3=∠2
∵四边形ACBE为圆内接四边形
∴∠ACD=∠E
∴△ABE∽△ADC
∴
∴AB·AC=AD·AE
八.两圆相交时,常连结两圆的公共弦
例:
如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B,过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D,过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证:
CE∥DF
证明:
连结AB
∵四边形为圆内接四边形
∴∠ABF=∠C
同理可证:
∠ABE=∠D
∵∠ABF+∠ABE=180o
∴∠C+∠D=180o
∴CE∥DF
九.在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:
⑴当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可.
⑵如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例1:
如图,P为⊙O外一点,以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点,连结PA、PB.
求证:
PA、PB为⊙O的切线
证明:
连结OA
∵PO为直径
∴∠PAO=90o∴OA⊥PA
∵OA为⊙O的半径
∴PA为⊙O的切线
同理:
PB也为⊙O的切线
例2:
如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E,求证:
CD是小圆的切线
证明:
连结OE,过O作OF⊥CD于F
∵OE为半径,AB为小圆的切线
∴OE⊥AB
∵OF⊥CD,AB=CD
∴OF=OE
∴CD为小圆的切线
练习:
如图,等腰△ABC,以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P,PE⊥AC于E,
求证:
PE是⊙O的切线
十.当已知条件中有切线时,常作过切点的半径,利用切线的性质定理证题.
例:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90o,AC=12,BC=9,D是AB上一点,以BD为直径的⊙O切AC于E,求AD长.
解:
连结OE,则OE⊥AC
∵BC⊥AC∴OE∥BC
∴
在Rt△ABC中,AB=
∴
∴OE=OB=
∴BD=2OB=
∴AD=AB-DB=15-
=
答:
AD的长为
.
练习:
如图,⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:
PC=CD
十一.遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用:
据切线长及其它性质,可得到:
①角、线段的等量关系;②垂直关系;③全等、相似三角形。
十二.遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。
作用:
利用内心的性质,可得:
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;
②内心到三角形三条边的距离相等。
在处理内心的问题时,常需连结顶点与内心,以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。
十三.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点
作用:
外心到三角形各顶点的距离相等。
十四.遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。
作用:
①利用切线的性质;②利用解直角三角形的有关知识。
十五.遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。
作用:
①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;
②利用圆内接四边形的性质;
③利用两圆公共的圆周的性质;垂径定理。
1.作相交两圆的公共弦
利用圆内接四边形的性质或公共圆周角,沟通两圆的角的关系。
例1.如图1,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过A、B分别作直线CD、EF,且CD
两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形,解决有关的计算问题。
例2.⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,两圆的半径分别为
和
,公共弦长为12。
求
的度数。
图2
分析:
公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧,要求
的度数,可利用角的和或差来求解。
解:
当AB位于O1、O2异侧时,如图2。
连结O1、O2,交AB于C,则
。
分别在
和
中,利用锐角三角函数可求得
故
当AB位于O1、O2同侧时,如图3
图3
则
综上可知
或
例2:
已知,⊙O1与⊙O2交于A、B,⊙O1的弦AC切⊙O2于A,过B作直线交两圆于D、E。
求证:
DC∥AE。
分析:
由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB,由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E即得证。
练习:
如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点。
经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D;经过点B的直线EF于⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F。
求证:
CE∥DF.
例、如图8,在梯形ABCD中,以两腰
AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点,
过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。
求证:
MN⊥AB。
分析:
因为MN是公共弦,若作辅助线O1O2,
必有MN⊥O1O2,再由O1O2是梯形的中位线,得O1O2如图4,⊙O1和⊙O2外切于点P,A是⊙O1上的一点,直线AC切⊙O2于C,交⊙O1于B,直线AP交⊙O2于D。
求证PC平分
。
图4
分析:
要证PC平分
,即证
而
的边分布在两个圆中,难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT,与AC交于T
易知
由弦切角定理,得
又
是
的一个外角
所以
又
从而有
即PC平分
例3:
已知,⊙O1和⊙O2外切于A,直线BC切⊙O1于B,切⊙O2于C。
求证:
AB⊥AC(人教版课本P87例4)
分析1:
口诀“两个相切圆不离公切线”,过A作两圆的公切线,则∠1=∠2,∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4=180,则∠2+∠3=90即AB⊥AC。
分析2:
口诀“两圆三圆连心线”,连结O1O2、O1B、O2C,则点A在O1O2上,易知O1B∥O2C,显然∠1+∠2=90,故AB⊥AC
1.相切两圆常添公切线作辅助线.
例2如图2,已知⊙O1、⊙O2外切于点P,A是⊙O1上一点,直线AC切⊙O2于点C,交⊙O1一点B,直线AP交⊙O2于点D.
(1)求证:
PC平分∠BPD;
(2)将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”,其它条件不变,①中的结论是否仍然成立?
画出图形并证明你的结论(武汉市中考题).
证明:
(1)过P点作两圆公切线PQ∵∠QPC=∠PCQ,
∠QPB=∠A,∠CPD=∠A+∠QCP,
∴∠CPD=∠CPB,即PC平分∠BPD
(2)上述结论仍然成立.
如图3,过点P作两圆公切线PM,则∠MPB=∠A.
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA,∴PC平分∠BPD.
说明:
作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角.
2、遇到三个圆两两外切时两圆三圆连心线
常常作每两个圆的连心线。
作用:
可利用连心线性质。
3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线
例3如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是_____________(辽宁省中考题).
解:
连O1O2、O2O3、O3O1,过O1作AO1⊥O2O3交⊙O1于A,交O2O3于B
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3是等圆,∴△O1O2O3是等边三角形.
说明:
三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题.
十七.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。
作用:
以便利用圆的性质。
过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线,构造直角三角形。
例5.如图6,⊙O1与⊙O2外切于点O,两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A,且其夹角为
,
,求两圆的半径。
图6
分析:
如图6,连结O1O2、O1A、O2B,过点O2作
,构造
,下面很容易求出结果。
十八.相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心,遇到这类问题,常用的辅助线是连结过交点的半径
例10如图10,⊙O1与⊙O2相交于
A、B两点,且O2在⊙O1上,点P在⊙O1上,
点Q在⊙O2上,若∠APB=40°,求∠AQB的度数。
分析连结O2A、O2B,在⊙O1中利用
圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°,在⊙O2中,
∠AQB=1/2∠AO2B=70°。
切点三角形是直角三角形的应用.
例4如图5,⊙O1与⊙O2外切于点C,⊙O1与⊙O2连心线与公切线交于P,外公切线与两圆切点分别为A、B,且A=4,BC=5.
(1)求线段AB长;
(2)证明:
PC2=PAPB.(2002年杭州市中考题)
解:
(1)过C作两圆公切线CQ,交AB于Q
∵QA=QC=QB=
AB∴∠ACB=90°
∵AC=4BC=5∴AB=
(2)∵∠ACB=90°∴∠PCA+∠1=90°,∠PBC+∠2=90°,
从而∠PCA=∠PBC.∵∠P=∠P,∴△PCA∽△PBC∴PC2=PAPB
说明:
A、B、C为切点,故有切点三角形为直三角形的重要结论,应用此结论解题能到事半功倍效果.
辅助线,莫乱添,规律方法记心间;
弦和弦心距,亲密紧相连;
切点与圆心连线要领先;
两个相交圆不离公共弦;
两个相切圆不离公切线;
两圆三圆连心线,四点是否有共圆;
直角相对或共弦,应当想想辅助圆;
要证直线是切线,还看是否有共点;
直线和圆有共点,连出半径辅助线;
直线和圆无共点,得过圆心作垂线;
若遇直径想直角,灵活运用才方便。
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