实际问题的函数建模学生教案.docx
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实际问题的函数建模学生教案
1对1个性化辅导教案
教师姓名
傅老师
上课日期
学生姓名
年级
高一
学科
数学
课题
1.实际问题的函数刻画
在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容.
2.用函数模型解决实际问题
(1)数据拟合:
通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.
(2)常用到的五种函数模型:
①直线模型:
一次函数模型y=kx+b(k≠0),图像增长特点是直线式上升(x的系数k>0),通过图像可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k>0).
②反比例函数模型:
y=
(k>0)型,增长特点是y随x的增大而减小.
③指数函数模型:
y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.
④对数函数模型,即y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着自变量的增大,函数值增大越来越慢(底数a>1,m>0).
⑤幂函数模型,即y=a·xn+b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:
y=ax2+bx+c(a≠0),其特点是随着自变量的增大,函数值先减小后增大(a>0).
在以上几种函数模型的选择与建立时,要注意函数图像的直观运用,分析图像特点,分析变量x的范围,同时还要与实际问题结合,如取整等.
3.函数建模
(1)定义:
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程,叫作数学建模.
(2)过程:
如下图所示.
[小问题·大思维]
1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:
用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).试规定f(0)的值,并解释f(0)的实际意义.
提示:
f(0)=1,表示没用清水清洗时,蔬菜上的农药将保持原样.
2.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立
恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用常用五种函数模型中的哪种?
提示:
对数型函数.
3.今有一组实验数据如下表所示:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则最佳体现这些数据关系的函数模型是下列四个函数中的哪个?
①u=log2t;②u=2t-2;③u=
;④u=2t-2.
提示:
③可以先画出散点图,并利用散点图直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.散点图如图所示,
由散点图可知,图像不是直线,排除④项;图像不符合对数函数的图像特征,排除①项;
当t=3时,2t-2=23-2=6,
=
=4,
由表格知当t=3时,u=4.04,模型u=
能较好地体现这些数据关系.
[研一题]
[例1] 某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N+)(天)的函数关系用如图的两条线段表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N+)(天)之间的关系如下表:
第t天
5
15
20
30
Q件
35
25
20
10
(1)根据提供的图像,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式;
(2)根据表中提供的数据,确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式;
(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?
(日销售金额=每件的销售价格×日销售量).
[悟一法]
在用函数刻画实际问题的过程中,除了用函数解析式刻画外,函数图像也能够发挥很好的作用,因此,我们应当注意提高读图的能力.另外,本例题涉及到了分段函数,分段函数是刻画现实问题的重要模型.
[通一类]
1.甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查,提供了两个方面的信息,如图.
甲调查表明:
每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只.
乙调查表明:
甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明:
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数;
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?
说明理由.
(3)第几年的养殖规模最大?
最大养殖量是多少?
[研一题]
[例2] 我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2
,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)计算:
燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?
[悟一法]
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法:
(1)解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y=f(x)中的参数,求出具体的函数解析式y=f(x);②讨论x与y的对应关系,针对具体的函数去讨论与题目有关的问题;③给出实际问题的解,即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案.
(2)解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型,初步拟定函数类型;
②抽象函数模型
在理解问题的基础上,把实际问题抽象为函数模型;
③研究函数模型的性质
根据函数模型,结合题目的要求,讨论函数模型的有关性质,获得函数模型的解;
④得出问题的结论
根据函数模型的解,结合实际问题的实际意义和题目的要求,给出实际问题的解.
[通一类]
2.某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时,每天可卖出60个,商店经理到市场上做了一番调查后发现,若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售量就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售量就增加10个.为了每日获得最大利润,此商品的售价应定为每个多少元?
[研一题]
[例3] 18世纪70年代,德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表:
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4( )
5(木星)
6(土星)
7( )
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星,后来果然发现了谷神星,但不算大行星,它可能是一颗大行星爆炸后的产物,请你推测谷神星的位置,在土星外面是什么星?
它与太阳的距离大约是多少?
[悟一法]
对于此类实际应用问题,关键是建立适当的函数关系式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:
(1)能够根据原始数据、表格,绘出散点图.
(2)通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
[通一类]
3.某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场销售中发现,此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表):
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定y与x的一个函数关系式y=f(x);
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
某林区2012年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;
(2)作出函数y=f(x)的图像,并应用图像求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示,那么图像所对应的函数模型是( )
A.分段函数B.二次函数
C.指数函数D.对数函数
2.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m,从2000年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A.y=0.95
·m B.y=(1-0.05
)·m
C.y=0.9550-x·mD.y=(1-0.0550-x)·m
3.(2012·江西高考)如右图,|OA|=2(单位:
m),|OB|=1(单位:
m),OA与OB的夹角为
,以A为圆心,AB为半径作圆弧
与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发,甲先以速率1(单位:
m/s)沿线段OB行至点B,再以速率3(单位:
m/s)沿圆弧
行至点C后停止;乙以速率2(单位:
m/s)沿线段OA行至点A后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是( )
4.如图表示某人的体重与年龄的关系:
①体重随年龄的增长而增加;
②25岁之后体重不变;
③体重增加最快的是15岁至25岁;
④体重增加最快的是15岁之前.
上述判断正确的是________(填序号).
5.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)(a为初始量),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到________只.
6.某品牌茶壶的原售价为80元/个,今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶,甲店用如下方法促销:
如果只购买一个茶壶,其价格为78元/个;如果一次购买两个茶壶,其价格为76元/个;……,一次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少2元/个,但茶壶的售价不得低于44元/个;乙店一律按原价的75%销售.现某茶社要购买这种茶壶x个,如果全部在甲店购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙店购买,则所需金额为y2元.
(1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少?
一、选择题
1.某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y=3x+4,则当产量为4时,利润y等于( )
A.4元 B.16元
C.85元D.不确定
2.某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t时的距离,下列图像中能大致表示s=f(t)的函数
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