同济大学工程数学线性代数第六版答案全.docx
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同济大学工程数学线性代数第六版答案全
第一章行列式
1。
利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1);
解
=2⨯(4)⨯3+0⨯(1)⨯(-1)+1⨯1⨯8
0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯81⨯(4)⨯(-1)
=-24+8+164=4.
(2);
解
=acb+bac+cba-bbbaaa-ccc
=3abc-a3b3c3.
(3);
解
=bc2+ca2+ab2ac2-ba2cb2
=(a-b)(b-c)(ca)。
(4)。
解
=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3
=3xy(x+y)y33x2yx3-y3-x3
=2(x3+y3)。
2。
按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)1234;
解逆序数为0
(2)4132;
解逆序数为4:
41,43,42,32.
(3)3421;
解逆序数为5:
32,31,42,41,21.
(4)2413;
解逆序数为3:
21,41,43。
(5)13⋅⋅⋅(2n-1)24⋅⋅⋅(2n);
解逆序数为:
32(1个)
52,54(2个)
72,74,76(3个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n1)2,(2n1)4,(2n-1)6,⋅⋅⋅,(2n1)(2n2)(n1个)
(6)13⋅⋅⋅(2n1)(2n)(2n-2)⋅⋅⋅2.
解逆序数为n(n-1):
32(1个)
52,54(2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,⋅⋅⋅,(2n1)(2n2)(n-1个)
42(1个)
62,64(2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n)2,(2n)4,(2n)6,⋅⋅⋅,(2n)(2n2)(n-1个)
3。
写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。
解含因子a11a23的项的一般形式为
(-1)ta11a23a3ra4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.
所以含因子a11a23的项分别是
(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式:
(1);
解
。
(2);
解
。
(3);
解
.
(4)。
解
=abcd+ab+cd+ad+1。
5。
证明:
(1)=(a-b)3;
证明
=(ab)3.
(2);
证明
.
(3);
证明
(c4c3,c3c2,c2-c1得)
(c4c3,c3c2得)
.
(4)
=(ab)(ac)(a-d)(b-c)(b-d)(cd)(a+b+c+d);
证明
=(a-b)(a-c)(ad)(b-c)(bd)(c-d)(a+b+c+d)。
(5)=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an1x+an。
证明用数学归纳法证明.
当n=2时,,命题成立.
假设对于(n1)阶行列式命题成立,即
Dn-1=xn-1+a1xn-2+⋅⋅⋅+an2x+an1,
则Dn按第一列展开,有
=xDn1+an=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an1x+an.
因此,对于n阶行列式命题成立.
6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得
,,
证明,D3=D。
证明 因为D=det(aij),所以
.
同理可证
。
.
7。
计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
解
(按第n行展开)
=an-an-2=an-2(a21).
(2);
解将第一行乘(1)分别加到其余各行,得
再将各列都加到第一列上,得
=[x+(n1)a](xa)n-1。
(3);
解根据第6题结果,有
此行列式为范德蒙德行列式.
。
(4);
解
(按第1行展开)
.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n2-bncnD2n2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2.
于是.
而,
所以.
(5)D=det(aij),其中aij=|ij|;
解aij=|i-j|,
=(1)n-1(n1)2n2。
(6),其中a1a2⋅⋅⋅an≠0.
解
.
8。
用克莱姆法则解下列方程组:
(1);
解因为
,
,
所以,,,.
(2).
解因为
,
,
所以
,,,,。
9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为
.
令D=0,得
μ=0或λ=1.
于是,当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解。
10。
问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为
=(1-λ)3+(λ-3)4(1λ)-2(1λ)(3-λ)
=(1λ)3+2(1-λ)2+λ-3。
令D=0,得
λ=0,λ=2或λ=3.
于是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解。
第二章 矩阵及其运算
1。
已知线性变换:
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换。
解由已知:
故,
.
2.已知两个线性变换
,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.
解由已知
所以有.
3.设,,求3AB-2A及ATB.
解
.
4.计算下列乘积:
(1);
解.
(2);
解=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3);
解.
(4);
解.
(5);
解
=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3)
.
5.设,,问:
(1)AB=BA吗?
解AB≠BA.
因为,,所以AB≠BA.
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?
解(A+B)2≠A2+2AB+B2.
因为,
但,
所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.
(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?
解(A+B)(A-B)≠A2-B2.
因为,,
而,
故(A+B)(A-B)≠A2-B2.
6。
举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A≠0.
(2)若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.
(3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y。
解取
,,
则AX=AY,且A≠0,但X≠Y。
7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,Ak.
解,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
8.设,求Ak.
解首先观察
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立,则k+1时,
由数学归纳法原理知:
.
9。
设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A,所以
(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以
(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵。
必要性:
因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以
AB=(AB)T=BTAT=BA.
11。
求下列矩阵的逆矩阵:
(1);
解。
|A|=1,故A-1存在。
因为
,
故.
(2);
解。
|A|=1≠0,故A1存在。
因为
所以.
(3);
解.|A|=2≠0,故A-1存在.因为
所以.
(4)(a1a2⋅⋅⋅an≠0)。
解,由对角矩阵的性质知
.
12。
解下列矩阵方程:
(1);
解.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解
.
13。
利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
解方程组可表示为
故,
从而有.
(2).
解方程组可表示为
故,
故有.
14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1),
所以(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)=E,
由定理2推论知(E-A)可逆,且
(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).
另一方面,由Ak=O,有
E=(E-A)+(A-A2)+A2-⋅⋅⋅-Ak-1+(Ak-1-Ak)
=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),
故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),
两端同时右乘(E-A)-1,就有
(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A(A-E)=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即|A||A-E|=2,
故|A|≠0,
所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.
由A2-A-2E=O⇒A(A-E)=2E
⇒A-1A(A-E)=2A-1E⇒,
又由A2-A-2E=O⇒(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
⇒(A+2E)(A-3E)=-4E,
所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1,
.
16。
设A为3阶矩阵,,求|(2A)-15A*|.
解因为,所以
=|2A1|=(-2)3|A1|=-8|A|1=-8⨯2=16。
17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.
证明由,得A*=|A|A1,所以当A可逆时,有
|A*|=|A|n|A1|=|A|n-1≠0,
从而A*也可逆。
因为A*=|A|A1,所以
(A*)-1=|A|-1A.
又,所以
(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.
18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
(1)若|A|=0,则|A*|=0;
(2)|A*|=|A|n-1.
证明
(1)用反证法证明.假设|A*|≠0,则有A*(A*)-1=E,由此得
A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O,
所以A*=O,这与|A*|≠0矛盾,故当|A|=0时,有|A*|=0.
(2)由于,则AA*=|A|E,取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0,由
(1)知|A*|=0,此时命题也成立.
因此|A*|=|A|n-1.
19.设,AB=A+2B,求B.
解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故
.
20.设,且AB+E=A2+B,求B.
解由AB+E=A2+B得
(A-E)B=A2-E,
即(A-E)B=(A-E)(A+E).
因为,所以(A-E)可逆,从而
.
21.设A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E,求B.
解由A*BA=2BA-8E得
(A*-2E)BA=-8E,
B=-8(A*-2E)-1A-1
=-8[A(A*-2E)]-1
=-8(AA*-2A)-1
=-8(|A|E-2A)-1
=-8(-2E-2A)-1
=4(E+A)-1
=4[diag(2,-1,2)]-1
=2diag(1,-2,1).
22.已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E,求B.
解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A
.
23.设P-1AP=Λ,其中,,求A11.
解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1,所以A11=A=PΛ11P-1.
|P|=3,,,
而,
故.
24.设AP=PΛ,其中,,
求ϕ(A)=A8(5E-6A+A2).
解ϕ(Λ)=Λ8(5E-6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1
.
25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.
证明因为
A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积,所以A-1(A+B)B-1可逆,即A-1+B-1可逆.
(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.
26.计算.
解设,,,,
则,
而,
所以,
即.
27。
取,验证.
解,
而,
故.
28。
设,求|A8|及A4.
解 令,,
则,
故,
.
.
29。
设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求
(1);
解设,则
.
由此得⇒,
所以。
(2).
解设,则
.
由此得⇒,
所以.
30.求下列矩阵的逆阵:
(1);
解设,,则
.
于是.
(2).
解设,,,则
。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1);
解(下一步:
r2+(-2)r1,r3+(-3)r1.)
~(下一步:
r2÷(-1),r3÷(-2).)
~(下一步:
r3-r2.)
~(下一步:
r3÷3.)
~(下一步:
r2+3r3.)
~(下一步:
r1+(-2)r2,r1+r3.)
~.
(2);
解(下一步:
r2⨯2+(3)r1,r3+(-2)r1.)
~(下一步:
r3+r2,r1+3r2.)
~(下一步:
r1÷2。
)
~.
(3);
解(下一步:
r23r1,r3-2r1,r4-3r1.)
~(下一步:
r2÷(4),r3÷(-3),r4÷(-5)。
)
~(下一步:
r13r2,r3r2,r4r2。
)
~.
(4).
解(下一步:
r1-2r2,r33r2,r42r2.)
~(下一步:
r2+2r1,r38r1,r47r1。
)
~(下一步:
r1↔r2,r2⨯(-1),r4r3.)
~(下一步:
r2+r3。
)
~.
2.设,求A.
解是初等矩阵E(1,2),其逆矩阵就是其本身.
是初等矩阵E(1,2
(1)),其逆矩阵是
E(1,2(-1)).
.
3.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:
(1);
解~
~~
~
故逆矩阵为.
(2).
解
~
~
~
~
~
故逆矩阵为.
4.
(1)设,,求X使AX=B;
解因为
所以.
(2)设,,求X使XA=B.
解考虑ATXT=BT.因为
所以,
从而.
5.设,AX=2X+A,求X.
解原方程化为(A-2E)X=A.因为
所以.
6.在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式?
有没有等于0的r阶子式?
解在秩是r的矩阵中,可能存在等于0的r-1阶子式,也可能存在等于0的r阶子式.
例如,,R(A)=3.
是等于0的2阶子式,是等于0的3阶子式.
7.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样?
解R(A)≥R(B).
这是因为B的非零子式必是A的非零子式,故A的秩不会小于B的秩.
8.求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是
(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).
解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:
此矩阵的秩为4,其第2行和第3行是已知向量.
9.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:
(1);
解(下一步:
r1↔r2.)
~(下一步:
r23r1,r3r1.)
~(下一步:
r3r2。
)
~,
矩阵的,是一个最高阶非零子式.
(2);
解(下一步:
r1r2,r22r1,r3-7r1.)
~(下一步:
r3-3r2.)
~,
矩阵的秩是2,是一个最高阶非零子式.
(3).
解(下一步:
r12r4,r22r4,r3-3r4。
)
~(下一步:
r2+3r1,r3+2r1.)
~(下一步:
r2÷16r4,r316r2.)
~
~,
矩阵的秩为3,是一个最高阶非零子式.
10.设A、B都是m⨯n矩阵,证明A~B的充分必要条件是R(A)=R(B).
证明根据定理3,必要性是成立的.
充分性.设R(A)=R(B),则A与B的标准形是相同的.设A与B的标准形为D,则有
A~D,D~B.
由等价关系的传递性,有A~B.
11.设,问k为何值,可使
(1)R(A)=1;
(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.
解.
(1)当k=1时,R(A)=1;
(2)当k=-2且k≠1时,R(A)=2;
(3)当k≠1且k≠-2时,R(A)=3.
12.求解下列齐次线性方程组:
(1);
解 对系数矩阵A进行初等行变换,有
A=~,
于是,
故方程组的解为
(k为任意常数).
(2);
解对系数矩阵A进行初等行变换,有
A=~,
于是,
故方程组的解为
(k1,k2为任意常数).
(3);
解对系数矩阵A进行初等行变换,有
A=~,
于是,
故方程组的解为
.
(4).
解对系数矩阵A进行初等行变换,有
A=~,
于是,
故方程组的解为
(k1,k2为任意常数).
13.求解下列非齐次线性方程组:
(1);
解对增广矩阵B进行初等行变换,有
B=~,
于是R(A)=2,而R(B)=3,故方程组无解.
(2);
解对增广矩阵B进行初等行变换,有
B=~,
于是,
即(k为任意常数)。
(3);
解对增广矩阵B进行初等行变换,有
B=~,
于是,
即(k1,k2为任意常数)。
(4).
解对增广矩阵B进行初等行变换,有
B=~,
于是,
即(k1,k2为任意常数)。
14.写出一个以
为通解的齐次线性方程组.
解根据已知,可得
,
与此等价地可以写成
或,
或,
这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.
15.λ取何值时,非齐次线性方程组
.
(1)有唯一解;
(2)无解;(3)有无穷多个解?
解
.
(1)要使方程组有唯一解,必须R(A)=3.因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.
(2)要使方程组无解,必须R(A) (1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时,方程组无解. (3)要使方程组有有无穷多个解,必须R(A)=R(B)<3,故 (1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时,方程组有无穷多个解。 16.非齐次线性方程组 当λ取何值时有解? 并求出它的解. 解 ~. 要使方程组有解,必须(1-λ)(λ+2)=0,即λ=1,λ=-2. 当λ=1时, ~, 方程组解为 或, 即(k为任意常数).
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- 同济大学 工程 数学 线性代数 第六 答案