精品2自来水输送与货机装运.docx
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精品2自来水输送与货机装运
2自来水输送与货机装运
4.2自来水输送与货机装运
钢铁、煤炭、水电等生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点,怎样安排输送方案使运费最小,或者利润最大?
各种类型的货物装箱,由于受体积、重量等的限制,如何相互搭配装载,使获利最高,或者装箱数量最少?
本节将通过两个例子讨论用数学规划模型解决这类问题的方法.
例1自来水输送问题
问题某市有甲、乙、丙、丁四个居民区,自来水由A,B,C三个水库供应.四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30,70,10,10千吨,但由于水源紧张,三个水库每天最多只能分别供应50,60,50千吨自来水.由于地理位置的差别,自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同(见表1,其中C水库与丁区之间没有输水管道),其他管理费用都是450元/千吨.根据公司规定,各区用户按照统一标准900元/千吨收费.此外,四个区都向公司申请了额外用水量,分别为每天50,70,20,40千吨.该公司应如何分配供水量,才能获利最多?
为了增加供水量,自来水公司正在考虑进行水库改造,使三个水库每天的最
大供水量都提高一倍,问那时供水方案应如何改变?
公司利润可增加到多少?
引水管理费(元/千吨)
甲
乙
丙
丁
A
160
130
220
170
B
140
130
190
150
C
190
200
230
/
表1从水库向各区送水的引水管理费
问题分析分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案,目标是获利最多.而从题目给出的数据看,A,B,C三个水库的供水量160千吨,不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨,因而总能全部卖出并获利,于是自来水公司每天的总收入是900⨯(50+60+50)=144000元,与送水方案无关.同样,公司每天的其它管理费用450⨯(50+60+50)=72000元也与送水方案无关.所以,要使利润最大,只需使引水管理费最小即可.另外,送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制.
模型建立
很明显,决策变量为A,B,C三个水库(i=1,2,3)分别向甲、乙、丙、丁四个区(j=1,2,3,4)的供水量.设水库i向j区的日供水量为xij,由于C水库与丁区之间没有输水管道,即x34=0,因此只有11个决策变量.
由上分析,问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少,于是有
MinZ=160x11+130x12+220x13+170x14+140x21+130x22
+190X23+150x24+190x31+200x32+230x33
(1)
约束条件有两类:
一类是水库的供应量限制,另一类是各区的需求量限制.
由于供水量总能卖出并获利,水库的供应量限制可以表示为
x11+x12+x13+x14=50
(2)
x21+x22+x23+x24=60(3)
x31+x32+x33=50(4)
考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量,需求量限制可以表示为
30≤x11+x21+x31≤80(5)
70≤x12+x22+x32≤140(6)
10≤x13+x23+x33≤30(7)
10≤x14+x24≤50(8)
模型求解
(1)~(8)构成一个线性规划模型(当然要加上xij的非负约束).输入LINDO求解,得到如下输出:
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)24400.00
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X110.00000030.000000
X1250.0000000.000000
X130.00000050.000000
X140.00000020.000000
X210.00000010.000000
X2250.0000000.000000
X230.00000020.000000
X2410.0000000.000000
X3140.0000000.000000
X320.00000010.000000
X3310.0000000.000000
(hyd注:
REDUCEDCOST为各变量下界约束的影子价格.例如对X11,若其下界从0提高到ε,则目标Z的最优值会提高30ε,其“价格”为30ε/ε=30.)
送水方案为:
A水库向乙区供水50千吨,B水库向乙、丁区分别供水50,10千吨,C水库向甲、丙分别供水40,10千吨.引水管理费为24400元.利润为144000-72000-24400=47600元.
讨论如果A,B,C三个水库每天的最大供水量都提高一倍,则公司总供水能力为320千吨,大于总需求量300千吨,水库供水量不能全部卖出,因而不能像前面那样,将获利最多转化为引水管理费最少.此时我们首先需要计算A,B,C三个水库分别向甲、乙、丙、丁四个区供应每千吨水的净利润,即从收入900元中减去其它管理费450元,再减去表1中的引水管理费,得表2.
净利润(元/千吨)
甲
乙
丙
丁
A
290
320
230
280
B
310
320
260
300
C
260
250
220
/
表2从水库向各区送水的净利润
于是决策目标为
MaxZ=290x11+320x12+230x13+280xl4+310x21+320x22
+260x23+300x24+260x31+250x32+220x33(9)
由于水库供水量不能全部卖出,所以上面约束
(2)~(4)的右端增加一倍的同时,应将等号改成小于、等于号,即
x11+x12+x13+x14≤100(10)
x21+x22+x23+x24≤120(11)
x31+x32+x33≤100(12)
约束(5)~(8)不变.将(5)~(12)构成的线性规划模型输入LINDO求解得到:
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)88700.00
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X110.00000020.000000
X12100.0000000.000000
X130.00000040.000000
X140.00000020.000000
X2130.0000000.000000
X2240.0000000.000000
X230.00000010.000000
X2450.0000000.000000
X3150.0000000.000000
X320.00000020.000000
X3330.0000000.000000
送水方案为:
A水库向乙区供水100千吨,B水库向甲、乙、丁区分别供水30,40,50千吨,C水库向甲、丙区分别供水50,30千吨.总利润为88700元.
其实,由于每个区的供水量都能完全满足,所以上面(5)~(8)每个式子左边的约束可以去掉,右边的小于、等于号可以改写成等号.作这样的简化后得到的解没有任何变化.
评注本题考虑的是将某种物质从若干供应点运往一些需求点,在供需量约束条件下使总费用最小,或总利润最大.这类问题一般称为运输问题,是线性规划应用最广泛的领域之一.在标准的运输问题中,供需量通常是平衡的,即供应点的总供应量等于需求点的总需求量.本题中供需量不平衡,但这并不会引起本质的区别,一样可以方便地建立线性规划模型求解.
例2货机装运
问题某架货机有三个货舱:
前仓、中仓、后仓.三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制,如表3所示.并且,为了保持飞机的平衡,三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例.
前仓
中仓
后仓
重量限制(吨)
10
16
8
体积限制(米3)
6800
8700
5300
表3三个货仓装载货物的最大允许重量和体积
现有四类货物供该货机本次飞行装运,其有关信息如表4,最后一列指装运后所获得的利润.
重量(吨)
空间(米3/吨)
利润(元/吨)
货物1
18
480
3100
货物2
15
650
3800
货物3
23
580
3500
货物4
12
390
2850
表4四类装运货物的信息
应如何安排装运,使该货机本次飞行获利最大?
模型假设问题中没有对货物装运提出其它要求,我们可作如下假设:
1)每种货物可以分割到任意小;
2)每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布;
3)多种货物可以混装,并保证不留空隙。
模型建立
决策变量:
用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量(吨),货舱j=l,2,3分别表示前仓、中仓、后仓.
决策目标是最大化总利润,即
MaxZ=3100(x11+x12+x13)+3800(x21+x22+x23)
+3500(x3l+x32+x33)+2850(x41+x42+x43)(13)
约束条件包括以下4个方面:
1)供装载的四种货物的总重量约束,即
x11+x12+x13≤18(14)
x21+x22+x23≤15(15)
x31+x32+x33≤23(16)
x41+x42+x43≤12(17)
2)三个货舱的重量限制,即
x11+x21+x31+x41≤10(18)
x12+x22+x32+x42≤16(19)
x13+x23+x33+x43≤8(20)
3)三个货舱的空间限制,即
480x11+650x2l+580x31+390x41≤6800(21)
480x12+650x22+580x32+390x42≤8700(22)
480x13+650x23+580x33+390x43≤5300(23)
4)三个货舱装入重量的平衡约束,即
(24)
模型求解
将以上模型输入LINDO求解,可以得到:
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)121515.8
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X110.000000400.000000
X120.00000057.894737
X130.000000400.000000
X2110.0000000.000000
X220.000000239.473679
X235.0000000.000000
X310.0000000.000000
X3212.9473690.000000
X333.0000000.000000
X410.000000650.000000
X423.0526320.000000
X430.000000650.000000
实际上,不妨将所得最优解作四舍五入,结果为货物2装入前仓10吨、装入后仓5吨;货物3装人中仓13吨、装入后仓3吨;货物4装人中仓3吨.最大利润约121516元.
评注初步看来,本例与运输问题类似,似乎可以把4种货物看成4个供应点,3个货舱看成3个需求点(或者反过来,把货舱看成供应点,货物看成需求点).但是,这里对供需量的限制包括两个方面:
重量限制和空间限制,且有装载均匀要求.因此它只能看成是运输问题的一种变形和扩展.
附例1的matlab程序:
(n4_2ex01.minMatlab/work)
%4.2,p93,example1,2004/7/18
f=[160130220170140130190150190200230];%Bothf=[…]orf=[…]'areOK!
Aeq=[11110000000;
00001111000;
00000000111];
beq=[506050]';
A=[10001000100;
01000100010;
00100010001;
00010001000];
A=[A;-A];
b=[801403050-30-70-10-10];
lb=zeros(11,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
说明:
线性规划为
minfval=f*x(输入时f为行向量或列向量都行)
s.tA*x≤b,Aeq*x=beq,lb≤x≤ub
设置linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)中参数时,若后面全空缺可不写,中间有空缺时用[]代替,如linprog(f,A,b,[],[],lb),linprog(f,A,b)等.
运行后,要知道结果,则
x=
0.0000
50.0000
0.0000
0.0000
0.0000
50.0000
0.0000
10.0000
40.0000
0.0000
10.0000
fval=
2.4400e+004
lambda.lower=
ans=
30.0000
0.0000
50.0000
20.0000
10.0000
0.0000
20.0000
0.0000
0.0000
10.0000
0.0000
lambda.ineqlin=
ans=
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
40.0000
20.0000
lambda.eqlin=
ans=
-130.0000
-130.0000
-190.0000
(lambda中为各约束的影子价格)
作业:
对本节的其它数值例,用Matlab编程计算.
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- 精品 自来水 输送 货机 装运