复合函数单调性练习题.docx

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复合函数单调性练习题

复合函数单调性练习题

北京二十二中刘青

教学目标

1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.

2.会求复合函数的单调区间.

3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点与难点

1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.

2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.

教学过程设计

师：

这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.

生：

设y=f的定义域为A，u=g的值域为B，若A?

B,则y关于x函数的y=f[g]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

师：

很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区

间.

例求下列函数的单调区间

1.一次函数y=kx+b.

解当k>0时，是这个函数的单调增区间；当kv0时，是这个函数的单调减区间.

k

2.反比例函数y=x.

解当k>0时，和都是这个函数的单调减区间，当k

v0时，和都是这个函数的单调增区间.

23.二次函数y=ax+bx+c.

bb

解当a>0时是这个函数的单调减区间，是它的单调增区间；当av0时是这个函数的单调增区间，是它的单调减区间；

4.指数函数y=ax.莒

解当a>1时，是这个函数的单调增区间，当0vav1

时，是这个函数的单调减区间.

5.对数函数y=logax.

解当a>1时，是这个函数的单调增区间，当0vav1

时，是它的单调减区间

n师：

我们还学过幕函数y=x,由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不

妨遇到具体情况时，再具体分析.

2师：

我们看看这个函数y=2x+2x+1，它显然是复合函

数，它的单调性如何？

生：

它在上是增函数.

师：

我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为，所以你就得到了以上

2的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x+2x+1的存

在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单

调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面

我们引出并证明一些有关的预备定理.

引理1已知函数y=f:

g].若u=g在区间上是增函数，其值域为，又函数y=f在区间上是增函数，那么，原复合函数y=f:

g]在区间上是增函数.

证明在区间内任取两个数x1,x2，使avx1vx2vb.因为u=g在区间上是增函数，所以gvg,记u1=g,u2=g

即u1vu2,且u1,u2巳

因为函数y=f在区间上是增函数，所以fvf,即f[g]

vf:

f],

故函数y=f:

g]在区间上是增函数.

师：

有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢？

生：

不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.

引理已知函数y=f[g].若u=g在区间上是减函数，其值域为，又函数y=f在区间上是减函数，那么，复合函数y=f[g]在区间上是增函数.证明在区间内任取两个数x1,x2,使avx1vx2vb.

因为函数u=g在区间上是减函数，所以g>g,记

u1=g,u2=g即u1>u2,且u1,u2巳因为函数y=f在区间上是减函数，所以fvf,即f[g]vf

:

f],故函数y=f:

g]在区间上是增函数.

师：

我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.

师：

你准备怎样记这些引理？

有规律吗？

师：

由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道

题目..

例1求下列函数的单调区间：

2y=log4

师：

咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.

师：

下面谁说一下自己的答案？

2生：

这是由y=log4u与u=x—4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数y=log4u在定义域上是增函数，

2而二次函数u=x—4x+3,当乂€时，它是减函数，当

乂€时，它是增函数，.因此，根据今天所学的

引理知，为复合函数的单调减区间；为复合函数的单调增区间.

师：

大家是否都同意他的结论？

还有没有不同的结论？

我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确

的结论应该是什么？

生：

……

生：

我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.

师：

你说得很好，怎样才能做到这点呢？

生：

先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.

师：

非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做？

生：

求定义域.师：

好的.下面我们把这道题作为例1

写在笔记本上，我在黑板上写.

2解设y=log4u,u=x—4x+3.由

>0,

解得原复合函数的定义域为xv1或x>3.

师：

这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义

域•下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢？

生：

利用图象.

师：

这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象？

可咱们并没学过画复合函数的图象啊？

这个问

题

你想如何解决？

生：

……

师：

我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围？

或是求中间量u的取值范围？

生：

求x的取值范围.

师：

所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.

2师：

当x€时，u=x—4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以是复合函数的单调减区间；

2当x€时，u=x—4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，是复合函数的单调增区间.

师：

除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.

2u=x—4x+3=2—1,

x>3或xV1,

xV

解得xV1.所以％€时，函数u单调递减.

2由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知:

u=—1的单调性与复合函数的单调性一致，所以是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.

22u=x—4x+3=—1,

x>3或xV1,

解得x>3.所以是复合函数的单调增区间.

师：

下面咱们再看例2.

例求下列复合函数的单调区间：

y=log1

师：

先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.

解设y=log12u,u=2x-x.由

>0

2-x

0vxv2.

由于y=log12u在定义域内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x—x的单调性正好相反.

22易知u=2x—x=—+1在x<1时单调增.由

0vxv

解得Ovx<1,所以+1在x>1时单调减，由

xv2,

x>1,

解得OWxv2,所以?

0,1=是原复合函数的单调增区间.

师：

以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内.

师：

下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，

就按照黑板上第一题的格式写.

例3求y=7?

6x?

x的单调区间.

解设y=u,u=7—6x—x,由

u>0,

u=7—6x—x

解得原复合函数的定义域为—7

因为y=在定义域］0+8］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=—x2—6x+7的单调性相

同.

22易知u=-x-6x+7=-+16在x<-3时单调增加。

由

-7

x<-3,

解得-7

-7,3?

是复合函数的单调增区间.

22易知u=—x—6x+7=—+16在x》一3时单调减，由

—7

x》一3,

解得一3

师：

下面咱们看最后一道例题，这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做

12x?

2x?

1

例求y=2的单调区间.

1u

解设y=2.由

u€R,

2u=x-2x-1,

解得原复合函数的定义域为x€R.

1u

2因为y=2在定义域R内为减函数，所以由引理知，次函数u=x-2x-1的单调性与复合函数的单调性相反.

易知,u=x—2x—仁一2在x<1时单调减，由

x€R,

x<1,

解得x<1.所以是复合函数的单调减区间.

师：

黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.

师：

下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：

单调区间必须是定义域的子集，当我们

求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱

们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.

作业

求下列复合函数的单调区间.

22

31

22.y=log2;是单调增区间，是单调减区间.）5

23.y=?

x?

5x?

6,

4.y=0.7;，均为单调增区间.注意，单调区间之间不可

以取并集.）

3?

x5.y=2;为单调增区间，为单调减区间）

1x?

3

6.y=3,为单调减区间.）1x

7.y=3

8.y=

log2x;为单调减区间.）log1?

2;为单调减区间，为

单调增区间.）.y=x?

6x;为单调减区间，为单调增区间.）

2x?

x10.y=7;为单调增区间，为单调减区间.）

课堂教学设计说明

1.复习提问简单函数的单调性.

2.复习提问复合函数的定义.

3.引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引

理.

4.对于例1,教师要带着学生分析，着重突出单调区间

必须是定义域的子集.例2中的第一题，还是以教师讲解为

主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2

中的第三题，以学生独立完成为主.

5.小结，作业.

我为什么要采取这几个环节呢？

因为从以往的经验看，

当要求学生求复合函数的单调区间时，他往往不考虑这个函数的定义域，而这种错误又很顽固，不好纠正.为此，本节

课我在廛为什么要求复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学生做到，想法

正确，步骤清晰.为?

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獾娜侯鮮蹋坏诙鎌猱姙悸酚裳鍍楣用鑽坛袷交故窃儆山淌n匆槐掠妬庋怕腋热醴鍛赛辛嘶竦眯轮做兜目炖郑航植槐匾蚨越馓飨袷降牟皇煜兰、淹衬眨缓罅降览謁馐且灾猩系鹊

难鍰竝约憾懒13獯鹤循鞯?

每做完一道题，由教师简单地小

结、修改，以使好学生掌握得更完备，较差的学生能够跟得

上.

晶

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例1、求函数y?

log12

2

［例］2、讨论函数f?

loga的单调性.

例3、.已知y=log

a

在］0,1］上是x的减函数，求a的取值范围.

练习：

1.函数y=logl的单调递减区间是

2

2找出下列函数的单调区间.y?

a?

x

2

?

3x?

2

;y?

2

?

x2?

2x?

3

2、讨论y?

loga,的单调性。

3.求函数y=logl的定义域、值域和单调区间.

3

2.函数y=logl的单调递减区间是

2

A.B.

yx

C.D.

3.若2lg=Igx+Igy，则

A.4

B.1或

14

的值为

D.

14

C.1或4

2a

4.若定义在区间内的函数f=log则a的取值范围为

A.满足f>0,

）B.C.D.

5.函数y=Ig的图象关于

C.原点对称

D.直线y=x对称

A.y轴对称B.x轴对称

已知y=|og在］0,1］上是X的减函数，贝Ua的取值范围是.a.已知定义域为R的偶函数f在］0,

+^］上是增函数，且f

21

=0,则不等式f的解集是.10.设函数f=

23x+5

+ig

3—2x3+2x

求函数f的定义域；

判断函数f的单调性，并给出证明；

复合函数单调性习题

1、已知函数f?

2x?

12x?

7，函数g?

f,求函数g的单调区间？

2、已知函数f?

3x?

6x?

4，函数g?

f,求函数g的单调

区

间？

3、已知函数f?

?

3x?

12x?

17，函数g?

f,求函数g的

单调

区间？

222222

已知函数f?

2

4x?

3?

x2

，求函数f的单调区间？

4、已知函数f?

log3，求函数f的单调区间？

5、已知函数f?

x?

2x?

8，函数g?

f,求函数g的单调

区间？

7

、已知函数f?

8?

2x?

x，函数g?

f,函数h?

f，下列说

法正

确的是

A

、g与h值域相同，增减性不同

B、

g与h值域不同，

增减性相同

C

、g与h值域和增减性都不同

D、

g与h为相同的函

数22222