初中数学中考复习二次函数与相似三角形问题含答案.docx
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初中数学中考复习二次函数与相似三角形问题含答案
综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题
例题如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式;(用顶.点.式.求得抛物线的解析式为y1x2x)
...4
⑵若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
⑶连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
分析:
1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B
四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:
按OB为边和对角线两种情况
2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
1求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特
殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
2或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
3若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。
例题2:
如图,已知抛物线y=ax2+4ax+t(a>0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP是什么四边形?
并证明你
的结论;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式.
上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于B点,直线QA与直线PC
及两坐标轴围成矩形OABC.是否存在点Q,使得△OPC与△PQB相似?
若存在,求出Q点的坐标;
若不存在,说明理由.
3)如果符合
(2)中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形
练习2、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处。
已知折叠CE55,且tanEDA3。
4
(1)判断△OCD与△ADE是否相似?
请说明理由;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?
如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。
练习3、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于A,B两点(点
A在点B的左边),与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(3,12).
(1)求此二次函数的表达式;(由一.般.式.得抛物线的解析式为yx22x3)
D的坐标;若不存
2)若直线l:
ykx(k0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似?
若存在,求出该直线的函数表达式及点
在,请说明理由;A(1,0),B(3,0),C(0,3)
练习4、如图所示,已知抛物线yx21与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
xp的取值范围.
练习4图
O
练习3图
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MGx轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
练习5、已知:
如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,ACB90,点A,C的坐标分别
3
为A(3,0),C(1,0),tanBAC.
4
39
(1)求过点A,B的直线的函数表达式;点A(3,0),C(1,0),B(1,3),y3x9
44
(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;(3)在
(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设APDQm,问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似,如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.
练习6、如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
3
练习7、如图,已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,
4
3
0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若4t
PB=5t,且0 (1)填空: 点C的坐标是__,b=__,c=__; (2)求线段QH的长(用含t的式子表示); (3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似? 若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由. y Q H AO AO Bx PB C 练习8、如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,2)三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似? 若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标. 12 练习9、已知,如图1,过点E0,1作平行于x轴的直线l,抛物线yx2上的两点A、B的横坐标分 4 别为1和4,直线AB交y轴于点F,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF、DF. (1)求点A、B、F的坐标; (2)求证: CFDF; 12 (3)点P是抛物线yx2对称轴右侧图象上的一动点,过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q,是否存在 4 点P使得△OPQ与△CDF相似? 若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 练习10、当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x 轴交于点A、B. 1)求该抛物线的关系式; 2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小; 3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛 练习11、如图,一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B. (1)写出点B的坐标; (2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右.侧.部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,则点P的坐标为 2 练习12、如图,抛物线yaxbx1与x轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积; (3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似? 若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 练习13、已知: 函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二次..函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标; (3) 在 (2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由. 22 练习14、如图,设抛物线C1: yax125,C2: yax125,C1与C2的交点为A,B,点A的坐 标是(2,4),点B的横坐标是-2. (1)求a的值及点B的坐标; (2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.记过C2顶点M的直线为l,且l与x轴交于点N. ①若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1,2),求点N的横坐标; ②若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围. 练习15、如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=x,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。 (1)当x=0时,折痕EF的长为;当点E与点A重合时,折痕EF的长为; (2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围,并求出当x=2时菱形的边长; (3)令EF2y,当点E在AD、点F在BC上时,写出y与x的函数关系式。 当y取最大值时,判断EAP与PBF是否相似? 若相似,求出x的值;若不相似,请说明理由。 练习16、如图,已知A(4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9: 4,将OB向右侧放大,B 点的对应点为C. (1)求C点坐标及直线BC的解析式; (2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象 (3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32 的点P. 参考答案 例题、解: ⑴由题意可设抛物线的解析式为ya(x2)21 ∵抛物线过原点, ∴0a(02)21 抛物线的解析式为y1(x2)21,即y1x2x 44 ⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD=∥OB, 12 由0(x2)1得x10,x24, 4 ∴B(4,0),OB=4. ∴D点的横坐标为6 将x=6代入y1(x2)21,得y=-3, 4 ∴D(6,-3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(-2,-3),当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑶如图2,由抛物线的对称性可知: AO=AB,∠AOB=∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB=∠BOA=∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2-,1) 1 ∴直线OP的解析式为y1x 2 112由xx2x, 24 得x10,x26 .∴P(6,-3) 过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE=2,PE=3,∴PB=13≠4. ∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. 练习1、解: (1)由已知可得: 3a3b3 b53,c0. 3 75a53b0解之得, 42 c0 因而得,抛物线的解析式为: 2 yx 3 2)存在. 设Q点的坐标为(m,n),则 2m253m, 33 BQ 要使△OCP∽△PBQ, CPOC PB,则有3n m3,即 32m2 3 3 53 m3 3 解之得,m123, m22. 当m123时,n2,即为Q点,所以得Q(23,2) 要使△OCP∽△QBP,BQPB,则有 OCCP3 3,即 32m253m 33 m3 3 P点, 解之得,m133,m23,当m3时,即为当m133时,n3,所以得Q(33,3). 故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似. Q点的坐标为(23,2),(33,3). 33.所以COP30. CP 3)在Rt△OCP中,因为tanCOPOC 当Q点的坐标为(23,2)时,BPQCOP30.所以OPQOCPBQAO90. 因此,△OPC,△PQB,△OPQ,△OAQ都是直角三角形. 又在Rt△OAQ中,因为tanQOAQA3.所以QOA30.AO3 即有POQQOAQPBCOP30. 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA, 又因为QP⊥OP,QA⊥OAPOQAOQ30, 所以△OQA≌△OQP. 练习2解: (1)△OCD与△ADE相似。 理由如下: 由折叠知,CDEB90°, ∴1290°,1390,23. 又∵CODDAE90°,∴△OCD∽△ADE。 AE3 (2)∵tanEDA,∴设AE=3t, AD4 则AD=4t。 由勾股定理得DE=5t。 ∴OCABAEEBAEDE3t5t8t。 OCCD 由 (1)△OCD∽△ADE,得OCCD, ADDE ∴8tCD, ∴4t5t, ∴CD10t。 在△DCE中,∵CD2DE2CE2, ∴(10t)2(5t)2(55)2,解得t=1。 ∴OC=8,AE=3,点C的坐标为(0,8),点E的坐标为(10,3), 设直线CE的解析式为y=kx+b, 10kb3,解得b8, b8, 1, 2, a1,解得b2, c3. 1 ∴yx8,则点P的坐标为(16,0)。 2 (3)满足条件的直线l有2条: y=-2x+12, y=2x-12。 如图2: 准确画出两条直线。 练习3解: (1)二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(3,12), 1, 2a由4a2bc3,9a3b212. 2)假设存在直线l: ykx(k0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似. 22 x23 在yx22x3中,令y0,则由x22x30,解得x11, A(1,0),B(3,0). 成立. 而OBC45,BEDE 点D的坐标为3 44 将点D的坐标代入ykx(k0)中,求得k3. 满足条件的直线l的函数表达式为y3x. 或求出直线AC的函数表达式为y3x3,则与直线 AC平行的直线l的函数表达式为y3x.此时 yx3.联立y3x,yx3求得点D 易知△BOD∽△BAC,再求出直线BC的函数表达式为的坐标为43,94.] 若是②,则有BD BOBA3422. 3222 BC 而OBC45,BE DE. 2 在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE2DE 解得 BEDE2(负值舍去). OEOBBE321. 点D的坐标为(1,2). 将点D的坐标代入ykx(k0)中,求得k2. ∴满足条件的直线l的函数表达式为y2x. 存在直线l: y3x或y2x与线段BC交于点D(不与点B,C重合),使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似,且点D的坐标分别为3,9或(1,2). 44 3)设过点C(0,3),E(1,0)的直线ykx3(k0)与该二次函数的图象交于点P. 将点E(1,0)的坐标代入ykx3中,求得k3. 此直线的函数表达式为y3x3. 设点P的坐标为(x,3x3),并代入yx22x3,得x25x0. 解得x15,x20(不合题意,舍去). x5,y12. 点P的坐标为(5,12). 此时,锐角PCOACO. 又二次函数的对称轴为x1, 点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2,3). 当xp5时,锐角PCOACO; 当xp5时,锐角PCOACO; 当2xp5时,锐角PCOACO. 练习四 解: (1)令y0,得x210解得x1令x0,得y1 ∴A(1,0)B(1,0)C(0,1) (2)∵OA=OB=OC=1∴BAC=ACO=BCO=45 ∵AP∥CB,∴PAB=45 过点P作PEx轴于E,则APE为等腰直角三角形令OE=a,则PE=a1∴P(a,a1) ∵点P在抛物线yx21上∴a1a21 解得a12,a21(不合题意,舍去) ∴PE=31111 ∴四边形ACBP的面积S=AB? OC+AB? PE=212342222 (3).假设存在 ∵PAB=BAC=45∴PAAC ∵MGx轴于点G,∴MGA=PAC=90 在Rt△AOC中,OA=OC=1∴AC=2 在Rt△PAE中,AE=PE=3∴AP=322 设M点的横坐标为m,则M(m,m21) ①点M在y轴左侧时,则m1 (ⅰ)当AMG ∽PCA时,有 AG PA MG CA ∵AG=m1, MG=m21即m1m21 322 2 解得m11(舍去)m2 3 (ⅱ)当MAG∽PCA时有 舍去) AG=MG CA=PA ∴M(2,3) m1(舍去) m22 ②点M在y轴右侧时,则m1 (ⅰ)当AMG ∽PCA时有 AG PA MG CA ∵AG=m1,MG=m21 m21 322 m1 解得m11(舍去) 4 m2 23 ∴M(34,97) 39 (ⅱ)当MAG∽PCA 时有AG=MG CAPA 即m1m21 即232 解得: m11(舍去)m24 ∴M(4,15) ∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 47 M点的坐标为(2,3),(,),(4,15) 39 练习5、 解: (1)点A(3,0),C(1,0) 3 AC4,BCtan∠BACAC43,B点坐标为(1,3) 4 设过点A,B的直线的函数表达式为ykxb, 由0k(3)b得k3,b9直线AB的函数表达式为 3kb44 (2)如图1,过点B作BDAB,交x轴于点D,在Rt△ABC和Rt△ADB中, ∠BAC∠DABRt△ABC∽Rt△ADB, 4 D点为所求又tan∠ADBtan∠ABC, 3 3x9 13 D143,0 CDBCtan∠ADB34 3 9 ODOCCD 4 13 4 3)这样的m存在 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB5如图1,当PQ∥BD时, 则m 5 13 3m 4,解得 13 3 4 25 m 9 如图2, 当PQAD时, △APQ∽△ADB 则m 313 4 13 3m 4,解得 5 125 m 36 △APQ∽△ABD
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