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第九章整式

第一节整式的概念

、字母表示数

代数式：

用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。

单独的数或字母也是代数式。

代数式的书写：

1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。

2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。

5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。

代数式的值：

用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式

的值。

注意：

1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。

2、若带入的值是负数时，应添上括号。

3、注意解题格式规范，应写“当..时，原式=..”.

4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。

整式

1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

2、系数：

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

3、单项式的次数：

一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

4、多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的

项叫做常数项。

5、多项式的次数：

多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数

6、整式：

单项式和多项式统称为整式。

合并同类项

1、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

2、合并同类项：

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

3、合并同类项的法则是：

把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

第二节整式的加减：

去括号法则：

（1）括号前面是"＋"号，去掉"＋"号和括号，括号里各项的不变号；

（2）括号前面是"－"号，去掉"－"号和括号，括号里的各项都变号。

添括号法则

（1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

（2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。

第三节整式的乘法同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方：

①同底数幂的乘法

am·an=am+n（m、n都是正整数）。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方与积的乘方

（am）n=amn（m、n都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（ab）n=anbn（n都是正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积。

③同底数幂的除法

am÷an=am-n（a≠0,mn都是正整数，且

m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

a0=1（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。

a

-p=（a1≠0,p是正整数）

任何一个不等零的数

的-p（p是正整数）指数幂，等这个数的p指数幂的倒数。

整式的乘法：

⑴单项式与单项式相乘：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的

字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑵单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即。

注意：

单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。

⑶多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。

第四节、乘法公式

平方差公式

①内容：

（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2

②意义：

两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。

③特征：

Ⅰ.左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；

Ⅱ.右边是乘式中两项的平方差；

Ⅲ.公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。

④几何意义：

平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。

⑤拓展：

Ⅰ.立方和公式：

（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）＝ａ3＋ｂ3；

Ⅱ.立方差公式：

（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）＝ａ3－ｂ3。

（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ2＋＋ａ2ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。

完全平方公式：

①内容：

（ａ＋ｂ）2＝ａ2＋ｂ2＋２ａｂ；

（ａ－ｂ）2＝ａ2＋ｂ2－２ａｂ。

②意义：

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。

两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。

③特征：

Ⅰ.左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项

式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾

平方，积的２倍在中央。

”

Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。

④推广：

Ⅰ.（ａ＋ｂ＋ｃ）2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc；

Ⅱ.（ａ＋ｂ）3＝ａ3＋ｂ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2；Ⅲ.（ａ－ｂ）3＝ａ3－ｂ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2。

第五节因式分解

⑴因式分解的意义：

把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。

注意：

①因式分解的要求：

Ⅰ.结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；Ⅱ.每个因式必须是整式；

Ⅲ.各因式要分解到不能分解为止。

②因式分解与整式乘法的关系：

是两种不同的变形过程，即互逆关系。

提取公因式法：

①提公因式法分解因式：

ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。

这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。

确定公因式方法：

系数：

取多项式各项系数的最大公约数。

字母（或多项式因式）：

取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。

公式法

②利用公式法分解因式：

Ⅰ.平方差公式：

ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。

Ⅱ.完全平方公式：

ａ2＋ｂ2＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2；

ａ2＋ｂ2－２ａｂ＝（ａ－ｂ）2。

Ⅲ.立方和与立方差公式：

ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）；

ａ3－ｂ3＝（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）。

注意：

（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

（２）选择使用公式的方法：

主要从项数上看，若多项式是二项式

应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可

考虑用完全平方公式。

.十字相乘法：

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解

因式的方法叫做十字相乘法。

ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。

分组分解法：

Ⅰ.将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。

Ⅱ.适用范围：

适合四项以上的多项式的分解。

分组的标准为：

分组后能提公因式或分组后能运用公式。

④其他方法：

.求根公式法：

若ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ２，ａｘ2+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ-ｘ１）（ｘ-ｘ２）。

⑶因式分解的一般步骤及注意问题：

①对多项式各项有公因式时，应先提供因式。

②多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差

公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。

分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。

第六节整式除法：

同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

任何不等于零的数的零次幂为1，既：

单项式除以单项式：

单项式与单项式相除的法则：

单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：

①两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。

②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。

多项式与单项式相除：

多项式与单项式相除的法则：

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，

即（ｍａ+ｍｂ+ｍｃ+ｄｍ）÷ｍ=ａｍ÷ｍ+ｂｍ÷ｍ+ｃｍ÷ｍ+ｄｍ÷ｍ。

注意：

这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。

⑶整式的混合运算：

关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。

※内容整理

am·an=am+n

幂

m

nmn

（a）

=a

单项式的乘法

多项式的乘法

因

提公因式法

的

式

（ab）

n=anbn

运

乘法公式

分

公式法

算

am÷an=am-n

单项式的除法

多项式除以单项式

第十章分式

、

（1）、分式的意义

两个整式A/B相除，即A÷B时，可以表示为A/B.如果B中含有字母，那么A/B叫做分

式。

A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。

（2）、分式的基本性质整式

整式和分式统称为有理式：

：

即有理式

分式

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，

分式的值不变。

用式子表示为：

A/B=A*C/B*CA/B=A÷C/B÷C

（A,B,C为整式，且B、C≠0）

①约分:

把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式

的约分．

②分式的约分步骤：

（1）如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式,将它们的

公因式约去

（2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别,再将公因式约去.

注:

公因式的提取方法:

取分子和分母系数的,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.

③一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分

时，一般将一个分式化为最简分式。

④通分：

把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式

叫做分式的通分。

⑤分式的通分步骤

:

先求出所有分式分母的最简公分母

再将所有分式的分母变为最简公分

母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.

注:

最简公分母的确定方法:

系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的及单独字母的幂的乘积。

注:

（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质。

（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。

、分式的运算：

①分式的乘法法则:

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：

a/b*c/d=ac/bd

②分式的除法法则:

Ⅰ.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘

：

a/b÷c/d=ad/bc

Ⅱ.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:

a/b÷c/d=a/b*d/c

键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，

最简公分母。

异分母分式通分时，关这样的公分母叫做

分式的加减

③同分母分式加减法则:

同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：

a/c±b/c=a±b/c

④异分母分式加减法则:

异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：

a/b±c/d=ad±cb/bd

分式方程：

①分式方程的意义:

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

②分式方程的解法:

Ⅰ.去分母（方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方

程）;

Ⅱ.按解整式方程的步骤求出未知数的值;

Ⅲ.验根（求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中

未知数的取值范围,可能产生增根）.

整数指数幂及其运算

扩大了

※内容整理

约分

分式的性质

通分

分

第十一章图形的运动乘除法

分式运算

1、平移定义和规律加减法分式方程

（1）平移的定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移（Translation）。

平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。

关键：

a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。

b.图形平移三要素：

原位置、平移方向、平移距离。

（2）平移的规律（性质）：

经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。

注意：

平移后，原图形与平移后的图形全等。

（3）简单的平移作图：

平移作图要注意：

①方向；②距离。

整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按

一定方向和一定的距离平行移动。

2、旋转的定义和规律

（1）旋转的定义：

在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转（Circumrotate）。

这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。

关键：

a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。

b.图形旋转四要素：

原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

（2）旋转的规律（性质）：

经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对

应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

（旋转前后两

个图形的对应线段相等、对应角相等。

）

注意：

旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

（3）简单的旋转作图：

旋转作图要注意：

①旋转方向；②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的每一

个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

3、图案的分析与设计

①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。

②图案设计的基本手段主要有：

轴对称、平移、旋转三种方法。

4、旋转对称图形：

把一个图形绕着一个定点旋转一个角度α后，与初始图形重合，这种图

形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，

旋转的角度叫做旋转角（旋转角α满足

0<α<360）

5、中心对称图形：

如果把一个图形绕着一个定点旋转

180后，与初始图形重合，那么这个

图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

6、把一个图形绕着一个定点旋转180后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中兴对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

7、轴对称知识回顾

（1）轴对称图形定义：

如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形（AxiallySymmetricFigure）。

折痕所在的直线叫做对称轴。

（2）两个图形关于这条直线成轴对称：

如果把一个图形沿某一条直线翻，能与另一个图形

重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对

应点叫做关于这条直线的对称点。

（3）注意：

①轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。

②成轴对称的两个图形，必定是全等图形。

（4）轴对称的性质：

对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。

（3）简单的轴对称作图：

求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点。

后依次连结各特征点即可。

图形的平移

旋转对称图形中心对称图形

图形的运动图形的旋转

中心对称

轴对称图形

图形的翻折

轴对称

轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：

轴对称

轴对称图形

区

①指两个图形而言；

①对一个图形而言；

别

②指两个图形的一种形状与位置

②指一个图形的特殊形状。

关系。

联

①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；

系

②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，

把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。

轴对称几何图形的对称轴：

名称

是否是轴对称图

对称轴有几对称轴的位置

形

条

线段

是

２条

垂直平分线或线段所在的直线

角

是

１条

角平分线所在的直线

长方形

是

２条

对边中线所在的直线

正方形

是

４条

对边中线所在的直线和对角线所在

的直线

圆

是

无数条

直径所在的直线

平行四边

不是

０条

形

第十二章实数

第一节实数的概念

实数的概念

有理数和无理数统称为实数。

实数按如下方式分类：

正有理数

有理数零有限小数或无限循环小数

负有理数

实数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；

上的每一个点表示一个实数。

正数大于零，负数小于零，正数大于负数。

两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。

无理数：

无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。

第二节数的开方

反过来，数轴

平方根和开平方

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。

求一个数ɑ的平方跟的运算叫做开平方，ɑ叫做被开方数。

一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数。

零的平方根是零；负数没有平方根。

正数ɑ的两个平方根可以用“±a”表示，其中

a表示ɑ的正的平方根（又叫算术平方根），

读作“根号a”；

a表示ɑ的负平方根，读作“负根号ɑ”。

零的平方根记作√0，√0=0.

（1）当a>0时，（

a）2=a，（

a）2=a.

（2）当a≥0

时，

a2

=a;

当a≤0

时，

a2

=－ɑ

立方根和开立方

如果一个数的立方等于

a，那么这个数叫做

a的立方根，用“3a”表示，读作“

三

次根号ɑ”。

3a中的ɑ叫做被开方数，“3”叫做根指数。

求一个数ɑ的立方根的运算叫做开立方。

正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根

是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。

任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。

次方根

如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于ɑ，那么这个数叫做

ɑ的n次方根，当n

为奇数时，这个数为ɑ的奇次方根；当

n为偶数时，这个数为ɑ的偶次方根

求一个数ɑ的n次方跟的运算叫做开n次方，ɑ叫做被开方数，n叫做根指数。

实数ɑ的奇次方根有且只有一个，用“

na”表示，其中被开方数

ɑ是任意一个实数,

根

指数n是大于1的奇数。

正数ɑ的偶次方根有两个，它们互为相反数，正

n次方根用“na”表示，负n次方根用

“－na”表示，其中被开方数

ɑ>0，根指数n是正偶数（当n=2时，在±na中省略n）

负数的偶次方根不存在。

零的n次方根等于零，表示为

n0=0

“na”读作“n次根号ɑ”

第三节实数的运算

用数轴上的点表示数

有理数范围内绝对值、相反数意义：

一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

实数

∣ɑ∣.

a的绝对值记作

绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；

零的相反数是零。

非零实数ɑ的相反数是－ɑ。

实数大小的比较：

负数小于零；零小于正数。

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。

从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。

两点间的距离：

在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为ɑ、b，那么A、B两点的距离AB=∣ɑ－b∣.

实数的运算

设ɑ>0，b>0，可知

（·

）=

（）

2·（

）2=ɑb。

根据平方根的意义，得

=

·

。

同理：

=

近似数与准确数的接近程度即近似程度。

对近似程度的要求，叫做精确度。

对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。

第四节分数指数幂

分数指数幂

=

（ɑ>0）

=

（ɑ>0）其中m、n为正整数，n>1.

有理数指数幂有下列性质：

设ɑ>b，b>0，P、q为有理数，那么

（1）

·

=

，

=

（2）

=

（3）

本章小结

有理数

实数的分类

无理数

实数用数轴上的点表示数

运算法则及运算性质

实数的运算

近似数及近似计算

数的开方分数指数幂有理数指数幂运算性质

第十三章

第1节相交线

相交线、平行线

邻补角，对顶角

相交线的定义：

在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做

相交线。

对顶角的定义：

一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做

对顶角。

对顶角的性质：

对顶角相等。

邻补角的定义：

有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为

邻补角。

邻补角的性质：

邻补角互补。

垂线的定义：

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直

线的垂线，它们的交点叫做垂足。

垂线的性质：

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

垂线段最短。

点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

同位角