实数的运算及分数指数幂教师版.docx
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实数的运算及分数指数幂教师版
例1】一个正数的平方是3,这个数的准确数;近似数(精确到千分之一位)
是;近似数的有效数字有位,有效数字是.
难度】★
答案】3;1.732;四;1、7、3、2.
解析】31.732,所以有效数字是四位,有效数字是1、7、3、2.
总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.
例2】写出下列各数的有效数字,并指出精确到哪一位?
5
1)2000;2)4.523亿;3)7.33105;4)0.00125.
难度】★
答案】1)有效数字:
2、0、0、0,精确到个位;
2)有效数字:
4、5、2、3,精确到十万位;
3)有效数字:
7、3、3,精确到千位;
4)有效数字:
1、2、5,精确到十万分位.
解析】对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.
总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点.
例3】用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值.
(1)0.008435(保留三个有效数字)≈;
(2)12.975(精确到百分位)≈;
(3)548203(精确到千位)≈;
(4)5365573(保留四个有效数字)≈.
难度】★
答案】
(1)0.00844;
(2)12.98;(3)5.48105;(4)5.366106.解析】
(1)0.00844;
(2)12.98;(3)5.48105;(4)5.366106.总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义,利用科学记数法进行表示.
例4】已知3.1415926LL,按四舍五入法取近似值.
(1)(保留五个有效数字);
(2)(保留三个有效数字);
难度】★★
3)0.0453或4.5310
3)0.0453或4.5310
答案】
(1)3.1416;
(2)3.14;解析】
(1)3.1416;
(2)3.14;
总结】本题主要考查的是有效数字的含义,利用科学记数法进行表示
例5】用四舍五入法得到:
小智身高1.8米与小智身高1.80米,两者有什么区别?
难度】★★
答案】精确度不同,1.8精确到十分位,1.80精确到百分位.解析】根据末尾数字所在的数位解答,精确度不同,1.8精确到十分位,1.80精确到百分位
总结】本题主要考查了精确度的概念.
例6】下列近似数各精确到哪一位?
各有几个有效数字?
例7】废旧电池对环境的危害十分巨大,一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于
个人一生的饮水量).某班有50名学生,如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池,且都没有被回收,那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为立方米.
难度】★★
答案】3104.
解析】50600300003104.
总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法.
例8】把下列方根化为幂的形式:
(1)
32;
2)
310;
(3)
8(5)2;
(4)
37;
5)
3a;
(6)
a.
难度】★
1
1
1
1
11
答案】(
1)23;
(2)
103
;(3)
54;(4)
73;
(5)a3;(6)(a)2
解析】(
1
1)3223
;
(2)
310
1
103;
3)8(5)2
852
2
58
1
54;
(4)
37
1
3773;
5)3a
3a
1
a3;
(6)a(
1
a)2.
本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算.
总结】
难度】
答案】
1)
1
27;
2)
27
3)116
4)
664.
解析】
(1)
(3)
1
13
27
327
2)
27
83
1
12
16
111
4)(642)3646664.
总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换.
例10】化简:
111
(1)a2a3a6;
难度】★
71
2)8x3y3.
1
答案】
(1)a3;
111111
8x3y3gx4gy38x3gy6gx2gy6
71
8x3y3
总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
2017
例11】计算下列各值:
(1)535;
1
(2)(3a
4a
a33
3a
a)2017
难度】★★
答案】
(1)
5
56;
(2)1.
1
1
5
解析】
(1)
53552
53
56;
(2)
因为
a30,3
a
0,所以a3,
所以
a3或3,
总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算.
例12】计算下列各值:
难度】★★
答案】
(1)
12;
(2)1.
6
解析】
(1)
22
3272
1
325
(3)2
492312;
(2)2
1
32
2
1
32
2
11.
23
2326
总结】本题主要考查了实数的运算,注意利用公式进行.
例13】计算:
(1)a132aa4a;
111
1421414
(2)(a)4(a2)4(a)4;
242
152121
(3)3x6y6(2x3y6)(4x3y3).
难度】★★
答案】
(1)
a;
2)
1
414
a
16
3)
1
6x6y.
解析】
(1)
ag3ag4a
12a
111
a234
1
a12
13
a12
1
a12
2)a
a2
1
14
2
a2
a2
a4
1
16
1
3)3x6y
例14】4a2,4b
答案】
解析】
★★★
3.
2
1b2a
22b2a
2b
总结】
2
2x3y6
21
3
4xy3
1
6x6
9,求2
1
2a
2a
的值.
4a323
2
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质
例15】已知xx
3,
求下列各式的值:
答案】
(1)5;
2)25.
解析】
(1)
Qx
3,
1
x2
1
x2
1
又Qx2
0,
1
x2
3
2)x2
3
x2
1
x2
1
x2
2
3y
1)
11
63
1
x2
1
6x6y.
1
2;
(2)
5,
3
x2
总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值.
111
例16】若a432313,求3a13a2a3的值.
难度】★★★
答案】19.
8
1111
解析】Qa43231342132,
3a13a2a33131119
2488
总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算.
例17】化简:
abcaxbcbcabxaccabcxab
答案】0或1.
bcacabx(ab)(ca)x(ab)(bc)x(bc)(ca)
解析】当x0时,原式0;
当x0时,abcaxbcgbcabxacgcabcxab
b2c2c2a2a2b2
x(ab)(bc)(ca)x01
总结】本题主要考查了含根式的化简,注意要分类讨论.
(1)800;
(2)30.003;(3)3108;(4)448.
难度】★★★
答案】
(1)20a;
(2)
d;(;(10
3)3b2;
(4)
2c.
解析】(
1)80020220
1
2220a;
(2)30.003
33
1
13d
33
10
10
10
1
21
1
(3)
3108334343323323
233b2;
(4)
1
4482432342
111
(32)22gc2
2c.
总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题.
xx
例19】已知:
a2x10(a0),求axax的值.axax
难度】★★★
11
答案】11.
9
解析】Q(ax
x2
a)
2x2x1aa2102
10
121,
10,
又Qax
x
a0,
xx
1110,
xx22x2x
1
81,
aa
Q(aa)aa
210
2
10
10
10
xxxx910aa111091011
又Qaa0,aa,xx.
10axax10109
总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用.
例20】材料:
一般地,n个相同的因数a相乘:
1a4ga2gL43ga记为an.如2×2×2=23=8,此时,n个
3叫做以2为底8的对数,记为log28(即log28=3).一般地,若anb(a0且a1,b0),则n叫做以a为底b的对数,记为logab(即logabn).如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381(即log381=4);
(1)计算以下各对数的值:
log24=,log216=,log264=;
(2)观察
(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式;
(3)由
(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?
logaMlogaN=;(且a1,M>0,N>0).
难度】★★★
答案】
(1)2,4,6;
(2)416=64,log24log216log264;(3)loga(MN).解析】
(1)log242,log216=4,log2646;
(2)416=64,log24log216log264;
(3)logaMlogaNloga(MN).
总结】本题考查学生对新概念的理解及运用.
例21】5的整数部分为a,小数部分为b,则ba=
难度】★
答案】945.
解析】Q253,a2,b52,ba(52)2945.
总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用.
2)(76)2015(67)2014;
3)2356315
难度】★★
1
答案】
(1)1;
(2)76;
9
解析】
(1)416(382-0.11)32
(2)3
3)6563.
(2)2
81
2(410)(-982)
3
1;
9;
20152014
2)7+667
23(6)1
2014
676
3)2356315
32352+35
2
xyxy2y.
3232155
6563.
总结】本题主要考查了实数的混合运算,注意能简算时要简算.
例23】计算:
xyx2xyy.
xyxy
难度】★★答案】2y.
总结】本题主要考查了实数的运算,注意利用因式分解的思想去化简.
例24】计算:
(1)[1100(0.2310800)2]42273(17)2;
2)43
答案】
(1)
2078
解析】
(1)原式
1
2723
2)32
(1
(125
1215)2
213
16
21
207
8
2)原式8
总结】本题主要考查了实数的混合运算.
例25】设:
M17(
8
31
334)(331)
1
16
123)
2)4
(223)2
51
2
(16)
0.25
1
试比较1M与1N
13
难度】★★
答案】
1M
13
1
N.
解析】
∵M
7
1
(3
34)
1
(3)
(
2
1)
8
4
3
3
15
15
10
5
15
4
10
8
4
3
3
8
15
3
N(
2)4
(22)
251(
1)
0.25
3
2
6
4
22
1
1
(2)
(2)
5
()
0.25
3
2
6
16
64
11
1
1
(
)
9
2
6
4
的大小.
3
5
1,
总结】
11
12
9
4
1
M=∴13
1
4
1
13,
13
12,
113
12
1
12,
1
M
13
1N
本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较.
1
例26】已知实数x、y满足(xy3)4
1
(xy5)2
5
求3x2
8y
的值.
9/20
解析】Q(xy3)4
1
0,(xy5)2
0,
解得
x1
y4
5
3x28y1325.
总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用.
例27】已知实数a、b、x、y满足yx31a2,x3y1b2,求2xy2ab的
值.
难度】★★★
答案】17.
解析】Qyx31a2,y1a2x3,
Qx3y1b2,x31a2x31b2a2x3b2,
x3+a2+x3+b20,
a0,b0,x3,y1,
2xy2ab24+2017.总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用.
例28】先阅读下列的解答过程,然后再解答:
形如m2n的化简,只要我们找到两个数a、b,使abm,abn,使得
(a)(b)m,abn,那么便有:
m2n(ab)2ab(ab)
例如:
化简743;
解:
首先把743化为7212,这里m7,n12,由于4+3=7,4312即(4)2(3)27,4312
∴743=7212=(43)223
(1)化简:
13242;
(2)化简:
1146;(3)化简:
59246.
难度】★★★
答案】
(1)76;
2)223;(3)4233.
解析】
(1)根据13242,可得:
m13,n42,
Q6713,6742,即(6)2(7)213,6742,
13242(67)276;
(2)根据114611224,可得:
m11,n24,
Q3811,3824,即(3)2(8)211,3824,1146(38)283223;
(3)根据59246592864,可得:
m59,n864,
864,
Q322759,3227864,即(32)2(27)259,32
59246(3227)2322742+33.
总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值.
13,求3a13a2a3的值.
11例29】已知a4323
难度】★★★答案】1.
1解析】设b23,则a
a1b1,
ba11,
b3(a11)3=3a13a13a2a32
2
b311
b2b
1,
b1b1
3a2
a3+1,
11.
总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用.
A.
x
(x)2(x0)
B.
6y2
y3(y0)
C.
3
x4
4
(1)3(x0)
D.
1
x3
3x(x0)
x
难度】
★
答案】
C
解析】
x
1
2
x(x0),故选项A错误;
6y2
1
y3(y
0),故选项
1
x3
1
3x
,故选项D错误.
总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化.
B错误;
1
习题1】下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是(
1
习题2】下列近似数各精确到哪一个数位?
各有几个有效数字?
(1)2015;
(2)0.6180;
5
(3)7.20万;(4)5.10105
难度】★
答案】
(1)精确到个位,有四个有效数字;
(2)精确到万分位,有四个有效数字;
(3)精确到百位,有三个有效数字;
(4)精确到千位,有三个有效数字.
解析】
(1)精确到个位,有四个有效数字为
2、0、1、5;
(2)精确到万分位,有四个有效数字为
6、1、8、0;
(3)精确到百位,有三个有效数字为
7、2、0;
(4)精确到千位,有三个有效数字为
5、1、0.
总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念.
习题3】把下列带根号的数写成幂的形式,分数指数幂化为带根号的形式:
难度】★
总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化.
习题4】比较大小:
(1)
2
6与35;
(2)
3
22与2
6.
难度】★★
答案】
(1)
2+635;
(2)
3
22
26.
解析】
(1)
(2+6)2(35)2
8+212
8
215
212
2150
2+635;
总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小.
习题5】把下列方根化为幂的形式.
总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化.
13/20
总结】本题主要考查了分数指数幂的运算,注意法则的准确运用.
习题7】
利用幂的性质运算:
(1)
111
(1)2(3)2(3)2;
(5)2(5)2(25)2;
(2)642862;
(3)33312612
31211
(3)3331261232332323369218.
总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算,注意法则的准确运用.
习题8】计算:
4
1)81
1131
2)11232112
1
32
20142015
3)3232;
4)57
答案】
(1)
解析】
(1)
32
1
11232112
7
3)32;
7
36;
2)
1
(113)32;
3)
2014
32
2015
32
(32)2014(32)
4)
1
53
53
4)1
31775531713.
总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算,注意法则的准确运用.
习题9】
已知a(a
2
b)3b(2a4b),其中ab0,求
3
5bab
bab
难度】★★★
答案】5.
7
aab2ab12b,
2
解析】Qa(ab)3b(32a4b),
3
aab12b0,
(a4b)(a3b)0,
a4b或a3b(舍去),a16b,a5bab16b5b4b5.
abab16bb4b7
总结】本题考查了根式的化简求值问题,注意整体代入思想的运用.
12
a
12a
12a
12a
2a
2
a
求
5
习题10】化简求值:
(1)已知:
aa
(2)已知:
2a
2a
3,
求8a
8a.
难度】★★★
答案】
(1)23,
7
,3;
(2)
18.
解析】
(1)Q(a
a1)
22a
2a
225,
22aa
23;
Qaa15
a
0,
1
2a
1
2a
0,
11
Q(a2a2)2
aa12
7,
1
a2
1
a2
7;
11
Q(a2a2)2
aa12
3,
1
a2
1
a2
3;
(2)Q(2a2
a)2
22a
2a
22
9,
2
2a2a
2
7,
Q8a8a(2a)3(2a)3(2a2a)(22a122a),
8a8a3618
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