中考数学《圆》总复习典型例题和专题训练.docx
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中考数学《圆》总复习典型例题和专题训练
AA′A′A″
AA′
中考数学
圆的总复习
知识结构图
丰富的情境(数学的和现实的)
圆
直线和圆的位置关系
圆和圆的
位置关系
概
念
对
称
性
圆周角与
圆心角的
关系
弧长、扇形面积、圆锥的侧面积
切
线
的
性
质
切
线
的
判
定
切
线
的
作
图
垂径定理
圆心角、弧、弦之间关系定理
【典型例题】
例1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°,母线长为4cm,则它的侧面积为果保留π)。
答案:
8π
cm2(结
例2.一个扇形的弧长为4π,用它做一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径为。
答案:
2
例3.如图,矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm,AB在直线l
上。
依次以B、C′、D″
为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°,这样点A走过的曲线依次为、
、
A″A″
,其中
交CD于点P。
AA′
3604
30π3π3
2
22
(1)求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长;
(2)求的长;
(3)求图中的
(4)求图中的
部分的面积S;
部分的面积T。
解:
(1)A′C′2215cm
90π
×2πcm
(2)AA′=180。
90π(5)25
Sπcm2
(3)。
(4)连接BP,
在Rt△BCP中,BC=1,BP=2,
∴∠BPC30°,CP3.∴∠ABP30°.
∴TS
扇形ABP
S
△PBC
×2()cm2.360232
例4.如下图,在矩形ABCD中,AD=8,点E是AB边上的一点,AE=。
过D、E两点作直线PQ,与BC边所在的直线MN相交于点F。
A
G
D
P
E
H
M
Q
FB
OC
N
(1)求tan∠ADE的值;
(2)点G是线段AD上的一个动点(不运动至点A、D),GH⊥DE,垂足为H,设DG为x,四边形AEHG的面积为y,请求出y与x之间的函数关系式;
AE222
2
2
AE221AD822
22
DH·GH·x·
x·x
2
11
22
2
x28
3
(3)如果AE=2EB,点O是直线MN上的一个动点,以O为圆心作圆,使⊙O与直线
PQ相切,同时又与矩形ABCD的某一边相切。
问满足条件的⊙O有几个?
并求出其中一个圆的半径。
解:
(1)∵矩形ABCD中,∠A=90°,AD=8,AE=∴tan∠ADE=
AD84
22
(2)
∵DE
AD2AE28(22)62
,
∴sin∠ADE,cos∠ADE
ED623ED623
在Rt△DGH中,∵GD=x,
GHDGsinADE
1
3
x
∴DH=DG·cos∠ADE=x
3
,
∴S
∴S
△DGH
△AED
11221222339
AD·AE×8×2282
∴yS
△AED
-S
△DGH
8
2
-x2
9
即y与x之间的函数关系式是
y
2
9
2
。
(3)满足条件的⊙O有4个。
以⊙O在AB的左侧与AB相切为例,求⊙O半径如下:
∵AD∥MN,
∴△AED∽△BEF。
∴∠PFN=∠EDA。
1
∴sin∠PEN=sin∠EDA=。
AD2
FB1
OIr1
13
∵AE=2BE,
∴△AED与△BEF的相似比为2∶1。
,FB4
∴。
过点O作OI⊥PQ,垂足为I,设⊙O的半径为r,那么FO=4-r。
∵sin∠PFN=FO4r3
,
∴r=1。
(满足条件的⊙O还有:
⊙O在AB的右侧与AB相切,这时r=2;⊙O在CD的左侧与CD相切,这时r=3;⊙O在CD的右侧与CD相切,这时r=6)
例5.已知⊙O的半径为1,以O为原点,建立如图所示的直角坐标系。
有一个正方形ABCD,顶点B的坐标为(,0),顶点A在x轴上方,顶点D在⊙O上运动。
(1)当点D运动到与点A、O在一条直线上时,CD与⊙O相切吗?
如果相切,请说明理由,并求出OD所在直线对应的函数表达式;如果不相切,也请说明理由。
(2)设点D的横坐标为x,正方形ABCD的面积为S,求出S与x的函数关系式,并求出S的最大值和最小值。
解:
(1)CD与⊙O相切。
因为A、D、O在一直线上,∠ADC=90°,
所以∠CDO=90°,所以CD是⊙O的切线。
CD与⊙O相切时,有两种情况:
1
2
D
①切点在第二象限时(如图①),
设正方形ABCD的边长为a,则a
2
+(a+1)2
=13.
解得a=2,或a=-3(舍去)。
过点D作DE⊥OB于E,
则Rt△ODE∽Rt△OBA,
所以
OD
OB
DE
BA
OE
OA
,所以DE
213
13
。
OE
313
13
,所以点D的坐标是(
313213
,
1313
),
所以OD所在直线对应的函数表达式为
yx
3
。
图①
②切点在第四象限时(如图②),
设正方形ABCD的边长为b,则b2+(b-1)2=13,解得b=-2(舍去),或b=3。
过点D作DF⊥OB于F,则Rt△ODF∽Rt△OBA,
图②
所以
ODOFDF2333,所以OF,DF
OBOABA1313
所以点2的坐标是
(
213313
,)
1313
所以OD所在直线对应的函数表达式为
3
yx
2
AC⊥OE
2
2
(2)如图③,过点D作DGOB
图③
于G,连接BD、OD,则
BD2BG2DG2(BOOG)2OD2OG
2
(13x)
2
1x
2
14213x
所以
SAB
2
1
BD
2
2
713x
。
因为-1≤x≤1,所以S的最大值为713,S的最小值为713。
例6.如图,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的△ABC中,∠ACB
=90°,∠ABC=30°,BC=12cm。
半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,
点D、E始终在直线BC上。
设运动时间为t(s),当t=0s时,半圆O在△ABC的左侧,OC=8cm。
A
D
O→
EC
B
(1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切?
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积。
解:
(1)①如图1,当点E与点C重合时,,OC=OE=6cm,所以AC与半圆
t1(s)
O所在的圆相切。
此时点O运动了2cm,所求运动时间为:
。
8
32
D
A
OC(E)
图1
B
②如图2,当点O运动到点C时,过点O作OF⊥AB,垂足为F。
在Rt△FOB中,∠FBO=30°,OB=12cm,则OF=6cm,即OF等于半圆O的半径,
所以AB与半圆O所在的圆相切。
此时点O运动了8cm,所求运动时间为
t4(s)2
。
图
2
③如图3,当点O运动到BC的中点时,AC⊥OD,OC=OD=6cm,所以AC与半圆O
所在的圆相切,此时点O运动了14cm,所求运动时间为:
t
14
2
7(s)
。
图
3
④如图4,当点O运动到B点的右侧,且OB=12cm时,过点O作OQ⊥直线AB,垂足为Q。
在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,
则OQ=6cm,即OQ等于半圆O所在的圆的半径,
所以,直线AB与半圆O所在的圆相切,此时点O运动了32cm,所求运动时间为:
t16(s)2
。
因为半圆O在运动中,它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形;与
AB所在的直线相切只有上述②、④两种情形;与BC所在直线始终相交。
所以只有当t为1s,4s,7s,16s时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。
图4
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时,半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与图3所示的两种情形。
①如图2,设OA与半圆O的交点为M,易知重叠部分是圆心角为90°,半径为6cm的扇形,所求重叠部分面积为:
S
扇形EOM
1
×629(cm2)4
。
②如图3,设AB与半圆O的交点为P,连接OP,过点O作OH⊥AB,垂足为H。
则PH=BH。
在Rt△OBH中。
∠OBH=30°,OB=6cm,则OH=3cm,
BH33cm,BP63cm
S
POB
1
×63×393(cm2
2
)
,
又因为
DOP2DBP60°
,
所以
S
扇形DOP
1
×626(cm2)6
。
所求重叠部分面积为:
S
POB
S
扇形DOP
(936
)(cm
2)
。
S
1
1
1
1
【专题试题】
一、选择题
1.下列命题中的真命题是()
A.三点确定一个圆
C.圆周角等于圆心角的一半
B.平分弦的直径垂直弦
D.在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等
2.如图,⊙O的直径为10厘米,弦AB的长为6cm,M是弦AB上的一动点,则线段OM的长的取值范围是()
A.
C.
3OM5
3OM5
B.
D.
4OM5
4OM5
O
AMB
3.如图,ΔABC为等腰直角三角形,∠A=90°,AB=AC=2,⊙A与BC相切,则图中阴影部分的面积为()
1
A.2B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
1
VBVA
4.如图,点B在圆锥母线VA上,且3,过点B作平行于底面的平面截得一个小
圆锥,若小圆锥的侧面积为1,原圆锥的侧面积为S,则下列判断中正确的是()
A.
1
SS
3
B.
1
SS
4
C.
1
SS
6
D.
1
SS
9
OO
V
B
A
5.一机械零件的横截面如图所示,作⊙1的弦AB与⊙2相切,且AB//=10cm,则下列说法正确的是()
OO
12
,如果AB
A.阴影面积为
100
cm
2
B.阴影面积为
25cm
2
C.阴影面积为
50cm
2
D.因缺少数据,阴影面积无法计算
二、填空题:
1.在ΔABC,∠C=90°,AC=3,BC=4,点O是ΔABC的外心,现在以O为圆心,分别以2、2.5、3、为半径作⊙O,则点C与⊙O的位置关系分别是_____________.
2.如图在⊙O中,直径AB⊥弦CD,垂足为P,∠BAD=30°,则∠AOC的度数是________度.
A
O
C
P
B
D
3.在RtΔABC,斜边AB=13cm,BC=12cm,以AB的中点O为圆心,2.5cm为半径画圆,则直线BC和⊙O的位置关系是________________.
4.把一个半径为12厘米的圆片,剪去一个圆心角为120°的扇形后,用剩下的部分做成一
DA
、弧
、弧
个圆锥侧面,那么这个圆锥的侧面积是___________.
5.如图,四边形ABCD是正方形,曲线
DABCD1111
叫做“正方形的渐开线”,其中弧1、
弧
ABBCCD111111
…的圆心依次按A、B、C、D循环,它依次连接,取AB=1,则
曲线
DABCD
1111
的长是___________.
三、解答题:
1.已知:
如图,在⊙O中,AB为弦,C、D两点在AB上,且AC=BD,请你仔细观察后回答:
图中共有几个等腰三角形?
把它们分别写出来,并说明你的理由.
2.如图,已知BC是⊙O的直径,AH⊥BC,垂足为D,点A为弧BF的中点,BF交AD
于E,且
BEEF32
,AD=6,
(1)求证:
AE=BE;
(2)求DE的长;
(3)求BD的长.
3.如图,OA、OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点,过点C作CD切⊙O于点D,连接AD交OC于点E.求证:
CD=CE;
(1)若将图(a)中的半径OB所在的直线向上平移交OA于F,交⊙O于B',其他条件不变(如图(b)),那么上述结论CD=CE还成立吗?
为什么?
A
A
E
BCF
EB'C
O
O
D
(a)(b)
D
(2)若将图(a)中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF,点E是DA的延
长线与CF的交点,其他条件不变(如图(c)),那么上述结论CD=CE还成立吗?
为什么?
4.如图,⊙O的半径OC与直径AB垂直,点P在OB上运动(点O、B除外),CP的延长线交⊙O于点D,在OB的延长线上取点E,使ED=EP.
(1)求证:
ED是⊙O的切线;
(2)当OC=2,ED=2时,求∠E的正切值tanE和图中阴影部分的面积.
22
一、
1.D
二、
【参考答案】
2.B3.C4.D5.B
1.点c在圆外,点c在圆上,点c在圆内2.120°
3.相切
4.96π
5.5π
三、
cm
2
1.解:
图中有两个等腰三角形,分别是ΔOAB、ΔOCD.
理由:
(1)∵OA=OB,∴ΔOAB是等腰三角形.
(2)∵OA=OB,∴∠A=∠B,又∵AC=BD,∴ΔOAC≌ΔOBD.∴OC=OD.∴ΔOCD是等腰三角形.
2.
(1)连接AF,因A为弧BF的中点,∴∠ABE=∠AFB,又∠AFB=∠ACB,∴∠ABE
=∠ACB.∵BC为直径,∴∠BAC=90°,AH⊥BC,∴∠BAE=∠ACB,∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.
(2)设DE=x(x>0),由AD=6,BE×EF=32,AE×EH=BE×EF,有32,由此解得x=2,即DE的长为2.
(6x)(6x)
=
(3)由
(1)、
(2)有:
BE=AE=6-2=4.在RtΔBDE中,
BD4223
.
3.
(1)证明:
连接OD,则OD⊥CD,∴∠CDE+∠ODA=90°.在RtΔAOE中,∠AEO+∠A=90°,
在⊙O中,∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠CDE=∠AEO
又∵∠AEO=∠CED,∴∠CDE=∠CED,∴CD=CE
A
E
BC
O
D
(2)CE=CD仍然成立.
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动,∴CF⊥AO于F
在RtΔAFE中,∠A+∠AEF=90°.
连接OD,有∠ODA+∠CDE=90°,且OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠AEF=∠CDE,
又∠AEF=∠CED,∴∠CED=∠CDE,∴CD=CE.
A
F
EBC
O
D
(3)CE=CD仍然成立.
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动,∴AO⊥CF
延长OA交CF于G,
在RtΔAEG中,∠AEG+∠GAE=90°.
连接OD,有∠CDA+∠ODA=90°,且OA=OD,∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED,∴CD=CE
2
G
4.
(1)证明:
∵ED=EP,∴∠EPD=∠EDP.
又∵∠EPD=∠CPO,∴∠CPO=∠EDP.
在ΔOCD中,∠OCD=∠ODC,∴∠COP=∠ODE=90°.∴OD⊥DE.
ED是⊙O的切线.
(2)在RtΔEOD中,∵OC=OD=ED=2,
∴
ODtanE1
ED
.
∴ΔEOD是等腰直角三角形.
SS
阴
EOD
S
扇
ODDE4522
23602
.
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