最新考研数学高分导学班讲义汤家凤汇总.docx
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最新考研数学高分导学班讲义汤家凤汇总
2013考研数学高分导学班讲义(汤家凤)
课程配套讲义说明
1、配套课程名称
2013年考研数学高分导学(汤家凤,16课时)
2、课程内容
此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。
此课程包含线代和高数,请各位学员注意查看。
3、主讲师资
汤家凤——文都独家授课师资,数学博士,教授,全国著名考研数学辅导专家,全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师,全国大学生数学竞赛优秀指导老师。
汤老师对数学有着极其精深的研究,方法独到。
汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验,通过自己的归纳总结,在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出,融会贯通,让学生真正掌握正确的解题方法。
严谨的思维、激情的课堂,轻松的学习,这是汤老师课堂的特色!
主讲:
高等数学、线性代数。
4、讲义
20页(电子版)
文都网校
2011年9月15日
2013考研数学高分导学班讲义
线性代数部分—矩阵理论
一、矩阵基本概念
1、矩阵的定义—形如«SkipRecordIf...»,称为矩阵«SkipRecordIf...»,记为«SkipRecordIf...»。
特殊矩阵有
(1)零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
(2)方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
(3)单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
(4)对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。
若两个矩阵同型且对应元素相同,称两个矩阵相等。
3、矩阵运算
(1)矩阵加、减法:
«SkipRecordIf...»,则
«SkipRecordIf...»。
(2)数与矩阵之积:
«SkipRecordIf...»。
(3)矩阵与矩阵之积:
设«SkipRecordIf...»,则
«SkipRecordIf...»,
其中«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»)
【注解】
(1)«SkipRecordIf...»不一定有«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»。
(2)矩阵乘法没有交换律。
(3)含方阵«SkipRecordIf...»的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是«SkipRecordIf...»。
(4)设«SkipRecordIf...»,则定义«SkipRecordIf...»,且关于矩阵«SkipRecordIf...»的矩阵多项式可因式分解。
二、方程组的矩阵形式及解的概况
方程组的基本形式为
«SkipRecordIf...»
(1)
称
(1)为齐次线性方程组。
«SkipRecordIf...»
(2)
称
(2)为非齐线性方程组。
令«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则
(1)、
(2)可分别表示为矩阵形式:
«SkipRecordIf...»
(1)
及
«SkipRecordIf...»
(2)
对方程组
(1):
【例题1】讨论方程组«SkipRecordIf...»解的情况,并分析原因。
【例题2】讨论方程组«SkipRecordIf...»解的情况,并分析原因。
对方程组
(2):
【例题1】讨论方程组«SkipRecordIf...»解的情况,并分析原因。
【例题2】讨论方程组«SkipRecordIf...»解的情况,并分析原因。
【例题3】讨论方程组«SkipRecordIf...»解的情况,并分析原因。
三、矩阵问题的产生
初一数学问题:
解一元一次方程«SkipRecordIf...»
情形一:
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»两边同时乘以«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»,于是«SkipRecordIf...»;
情形二:
当«SkipRecordIf...»时,方程«SkipRecordIf...»无解;
情形三:
当«SkipRecordIf...»时,方程«SkipRecordIf...»有无数个解。
线性方程组的类似问题:
讨论方程组«SkipRecordIf...»的解
情形一:
«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»阶方阵,且存在«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»两边左乘«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»,于是«SkipRecordIf...»;
情形二:
«SkipRecordIf...»虽然是«SkipRecordIf...»阶矩阵,但不存在«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»
方程组«SkipRecordIf...»是否有解及解的情况;
情形三:
«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»矩阵,且«SkipRecordIf...»
方程组«SkipRecordIf...»是否有解及解的情况。
【注解】
(1)第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。
(2)第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。
四、矩阵两大核心为题
(一)逆阵
1、定义—设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶矩阵,若存在«SkipRecordIf...»阶矩阵«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»,则称«SkipRecordIf...»为可逆矩阵,«SkipRecordIf...»称为«SkipRecordIf...»的逆矩阵,记为«SkipRecordIf...»。
2、两个问题
【问题1】给定一个«SkipRecordIf...»阶矩阵«SkipRecordIf...»,是否存在可逆矩阵(事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在)?
【问题2】若«SkipRecordIf...»阶矩阵«SkipRecordIf...»可逆(即逆矩阵存在),如何求其逆矩阵?
3、矩阵可逆充分必要条件
定理设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶矩阵,则«SkipRecordIf...»可逆的充分必要条件是«SkipRecordIf...»。
4、求矩阵逆阵的方法
方法一:
伴随矩阵法(略)
方法二:
初等变换法
第一步方程组的三种同解变形
(1)对调两个方程的位置方程组的解不变;
(2)某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变;
(3)某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。
第二步矩阵的三种初等行变换
(1)对调矩阵的两行;
(2)矩阵的某行同乘以一个非零常数;
(3)矩阵某行的倍数加到另一行。
第三步三种初等矩阵
(1)«SkipRecordIf...»—单位矩阵的«SkipRecordIf...»行与«SkipRecordIf...»行对调或者«SkipRecordIf...»列与«SkipRecordIf...»列对调所得的矩阵。
性质:
1)«SkipRecordIf...»;2)«SkipRecordIf...»或者«SkipRecordIf...»;
3)«SkipRecordIf...»为将«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»行与«SkipRecordIf...»行对调所得的矩阵,«SkipRecordIf...»为将«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»列与«SkipRecordIf...»列对调所得的矩阵。
(2)«SkipRecordIf...»—单位矩阵的«SkipRecordIf...»行乘以«SkipRecordIf...»或单位矩阵的«SkipRecordIf...»列乘以«SkipRecordIf...»。
性质:
1)«SkipRecordIf...»;2)«SkipRecordIf...»;
3)«SkipRecordIf...»为将«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»行乘以非零常数«SkipRecordIf...»所得到的矩阵,«SkipRecordIf...»为将«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»列乘以非零常数«SkipRecordIf...»所得到的矩阵。
(3)«SkipRecordIf...»—单位矩阵的«SkipRecordIf...»行的«SkipRecordIf...»倍加到«SkipRecordIf...»行或者单位矩阵的«SkipRecordIf...»列的«SkipRecordIf...»倍加到«SkipRecordIf...»列所得到的矩阵。
性质:
1)«SkipRecordIf...»;2)«SkipRecordIf...»;
3)«SkipRecordIf...»为将«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»行的«SkipRecordIf...»倍加到«SkipRecordIf...»行所得到的矩阵,«SkipRecordIf...»为将«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»列的«SkipRecordIf...»倍加到«SkipRecordIf...»列所得到的矩阵。
第四步三个问题
【问题1】设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶可逆矩阵,«SkipRecordIf...»能够经过有限次初等行变换化为单位矩阵?
【问题2】设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶不可逆矩阵,«SkipRecordIf...»能够经过有限次初等行变换化为«SkipRecordIf...»?
【问题3】设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶不可逆矩阵,«SkipRecordIf...»能够经过有限次初等变换化为«SkipRecordIf...»?
第五步初等变换法求逆阵及两个相关的定理
定理(初等变换法求逆阵)设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶可逆矩阵,则«SkipRecordIf...»可以经过有限次初等行变换化为初等矩阵。
(二)矩阵的秩(记住:
在方程组中矩阵的秩本质上就是约束条件)
1、定义—设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»矩阵,若«SkipRecordIf...»存在一个«SkipRecordIf...»阶非零子式,但所有的«SkipRecordIf...»阶子式(如果有)都是零,则«SkipRecordIf...»称为«SkipRecordIf...»的秩,记为«SkipRecordIf...»。
【注解】
(1)任何矩阵的秩都既不超过其行数也不超过其列数。
设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»矩阵,则
«SkipRecordIf...»。
(2)设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶矩阵,若«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»为满秩矩阵。
矩阵可逆、满秩及非奇异等价。
2、矩阵秩的求法
将矩阵进行初等行变换阶梯化所得的非零行数即为矩阵的秩。
【注解】
(1)«SkipRecordIf...»的充分必要条件是«SkipRecordIf...»。
(2)«SkipRecordIf...»的充分必要条件是«SkipRecordIf...»。
(3)«SkipRecordIf...»的充分必要条件是«SkipRecordIf...»至少有两行不成比例。
(4)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
3、矩阵秩的性质
(1)«SkipRecordIf...»。
(2)设«SkipRecordIf...»为同型矩阵,则«SkipRecordIf...»。
(3)«SkipRecordIf...»,等价于«SkipRecordIf...»。
(4)设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»矩阵,«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»矩阵,且«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
(5)设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»矩阵,«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶可逆阵,«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶可逆阵,则有
«SkipRecordIf...»。
【矩阵秩例题】
【例题1】设«SkipRecordIf...»皆为三维列向量,«SkipRecordIf...»,证明:
«SkipRecordIf...»。
【例题2】设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶可逆阵,证明«SkipRecordIf...»的逆阵是唯一的。
【例题3】设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»矩阵,«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»矩阵,其中«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,证明:
«SkipRecordIf...»。
【例题4】设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶矩阵,且«SkipRecordIf...»,证明:
«SkipRecordIf...»。
高等数学部分
定积分理论
一、定积分的产生背景
1、曲边梯形的面积问题
2、变速运动路程问题
二、定积分的定义—设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»上的有界函数,若«SkipRecordIf...»存在,称«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可积,极限称为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的定积分,记«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
【注解】
(1)极限与区间的划分及«SkipRecordIf...»的取法无关。
(2)«SkipRecordIf...»,反之不对。
(3)若一个函数可积,则«SkipRecordIf...»。
三、定积分基本理论
定理1设«SkipRecordIf...»,令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的一个原函数,即«SkipRecordIf...»。
【注解】
(1)连续函数一定存在原函数。
(2)«SkipRecordIf...»。
(3)«SkipRecordIf...»。
【例题1】设«SkipRecordIf...»连续,且«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»。
【例题2】设«SkipRecordIf...»为连续函数,且«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»。
定理2(牛顿—莱布尼兹公式)设«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的一个原函数,则
«SkipRecordIf...»。
四、积分法
1、换元积分法—设«SkipRecordIf...»,令«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»可导,且«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
2、分部积分法—设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续可导,则«SkipRecordIf...»。
五、定积分性质
1、基本性质
(1)«SkipRecordIf...»。
(2)«SkipRecordIf...»。
(3)«SkipRecordIf...»。
(4)«SkipRecordIf...»。
(5)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
推论1设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
推论2«SkipRecordIf...»。
(6)设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,且«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
(7)(积分中值定理)设«SkipRecordIf...»,则存在«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»。
2、定积分的特殊性质
(1)对称区间上定积分性质
1)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
2)设«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
3)设«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
(2)周期函数定积分性质
设«SkipRecordIf...»以«SkipRecordIf...»为周期,则
1)«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»为任意常数。
2)«SkipRecordIf...»。
(3)特殊区间上三角函数定积分性质
1)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,特别地,
«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»。
2)«SkipRecordIf...»。
3)«SkipRecordIf...»。
4)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»。
【例题1】计算«SkipRecordIf...»。
【例题2】计算«SkipRecordIf...»。
【例题3】计算«SkipRecordIf...»。
第一讲极限与连续
一、定义
1、函数的几个初等特性
(1)奇偶性—设函数«SkipRecordIf...»的定义域关于原点对称,若«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»为偶函数;若«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»为奇函数。
【例题1】判断函数«SkipRecordIf...»的奇偶性,并求其反函数。
(2)周期性—设«SkipRecordIf...»的定义域为«SkipRecordIf...»,若存在«SkipRecordIf...»,使得对任意的«SkipRecordIf...»,有«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»为周期函数。
【例题2】讨论函数«SkipRecordIf...»的周期性。
(3)单调性—设对任意的«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...»,有«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上为单调增函数,反之称为单调减函数。
(4)有界性—若存在«SkipRecordIf...»,对任意的«SkipRecordIf...»,有«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上有界。
2、极限
(1)数列极限(«SkipRecordIf...»)—若对任意的«SkipRecordIf...»,总存在«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»
成立,称数列«SkipRecordIf...»以«SkipRecordIf...»为极限,记为«SkipRecordIf...»。
(2)函数«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时的极限(«SkipRecordIf...»)—若对任意的«SkipRecordIf...»,总存在«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»
成立,称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时的极限,记为«SkipRecordIf...»。
(3)函数«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时的极限(«SkipRecordIf...»)—若对任意的«SkipRecordIf...»,存在«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»
成立,称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时的极限,记为«SkipRecordIf...»。
(4)左右极限—若«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的左极限,记为«SkipRecordIf...»;若«SkipRecordIf...»,称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的右
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