一元二次方程教案.docx

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一元二次方程教案

课题

一元二次方程

学习目标

1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．

2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．

3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式

学习重点

一元二次方程的定义

学习难点

一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别

学习流程

复习提问

　　1．什么叫做方程？

什么叫做一元一次方程？

　　2．指出下面哪些方程是已学过的方程？

分别叫做什么方程？

　　（l）3x+4=l；　　　　　　

（2）6x-5y=7；

　　3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．

引入新课

　　1．方程的分类：

（通过上面的复习，引导学生答出）

　　学过的几类方程是

　　没学过的方程有x2-70x+825=0，x（x+5）=150．

　　这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”

　　据此得出复习中学生未学过的方程是

　　（4）一元二次方程：

x2-70x+825=0，x（x+5）=150．

　　同时指导学生把学过的方程分为两大类：

　　2．一元二次方程的一般形式

　　注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x（x+5）=150，即x2+5x=150，

　　可化为：

x2+5x-150=0．

　　从而引导学生认识到：

任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为

ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．

其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．

【注意】二次项系数a是不等于0的实数（a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了）；b，c可为任意实数．

　　例把方程5x（x+3）=3（x-1）+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．

课堂练习P4练习1、2题

布置作业：

习题21.11-7题．

讨论完善

讨论完善

课后小结

　　一元二次方程的定义：

一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零．

课后反思

课题

解一元二次方程（直接开平方法）

学习目标

1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．

2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0（a＞0，c＜0）的方法．

学习重点

准确地求出方程的根．

学习难点

正确地表示方程的两个根．

学习流程

复习过程　　回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．

　　求下列各式中的x：

　　1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．

　　一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

　　解题的依据是：

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这样的数有两个，它们是互为相反数．

引入新课　　我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？

新课　　例1解方程x2-4=0．

　　解：

先移项，得x2=4．

　　即x1=2，x2=-2．

　　这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

例2解方程（x+3）2=2．

课堂练习：

P6练习

布置作业：

习题21.21题

讨论完善

课后小结

　1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．

　2．直接法适用于ax2+c=0（a＞0，c＜0）型的一元二次方程．

课后反思

课题

解一元二次方程（配方法）

学习目标

1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．

　　2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．

学习重点

掌握配方的法则

学习难点

凑配的方法与技巧．

学习流程

复习过程　　用开平方法解下列方程：

（1）x2=441；

（2）196x2-49=0；

引入新课　　我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A（A≥0），再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0（a＞0）的一类方程，化为上述形式求解呢？

这正是我们这节课要解决的问题．

新课　　我们研究方程x2+6x+7=0的解法：

　　将方程视为：

x2+2·x·3=-7，　即x2+2·x·3+32=32-7，∴（x+3）2=2，　　

　　这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：

先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．

　　例1解方程x2-4x-3=0．

　　配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则．

　　例2解方程2x2+3=7x．

课堂练习：

P91、2题

布置作业：

习题21.22、3题

讨论完善

课后小结

应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的要点是：

（1）化二次项系数为1；

（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；（3）方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式.

课题

解一元二次方程（求根公式法）

学习目标

1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．

2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法．

学习重点

要求学生正确运用求根公式解一元二次方程．

学习难点

1.求根公式的推导过程．

2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法．

学习流程

讨论完善

教学过程

　　复习提问

　　提问：

当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？

　　练习：

用配方法解下列一元二次方程

（1）x2-8x=20；

（2）2x2-6x-1=0．

引入新课

　　我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？

新课

　　（引导学生讨论）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的步骤．

　　解：

∵a≠0，两边同除以a，得

　　把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得

　（a≠0）的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

　应用求根公式解一元二次方程的关键在于：

（1）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）；

（2）将各项的系数a，b，c代入求根公式．

例1解方程x2-3x+2=0.

例2解方程2x2+7x=4.

例5解关于x的方程x2-m（3x-2m+n）-n2=0．

课堂练习P121题

布置作业：

习题21.24、5题

讨论完善

课后小结

　　1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，即

要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．

　　2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解．

课后反思

课题

解一元二次方程（因式分解法）

学习目标

使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．

学习重点

用因式分解法解一元二次方程．

学习难点

将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．

学习流程

讨论完善

复习提问

　　1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？

　　2．方程x2=4的解是多少？

引入新课

　　方程x2=4还有其他解法吗？

新课

　　众所周知，方程x2=4还可用公式法解．

　　此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．

　　我们仍以方程x2=4为例．

　　移项，得x2-4=0，

　　对x2-4分解因式，得（x+2）（x-2）=0．

　　我们知道：

　　∴x+2=0，x-2=0．

　　即x1=-2，x2=2．

　　由上述过程我们知道：

当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．

例1解下列方程：

（1）x2-3x-10=0；

（2）（x+3）（x-1）=5．

　　在讲例1

（1）时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；

　　讲例1

（2）时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．

　　例2解下列方程：

（1）3x（x+2）=5（x+2）；

（2）（3x+1）2-5=0．

　　在讲本例

（1）时，要突出讲移项后提取公因式，形成（x+2）（3x-5）=0后求解；　　

　　再利用平方差公式因式分解后求解．

　　注意：

在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．

　　例3解下列方程：

（1）3x2-16x+5=0；

（2）3（2x2-1）=7x．

课堂练习：

P141、2题

布置作业：

习题21.26题

讨论完善

课后小结

　　对上述三例的解法可做如下总结：

因式分解法解一元二次方程的步骤是

1．将方程化为一般形式；

2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；（用初一学过的分解方法）

3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；

4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．

课后反思

课题

一元二次方程的根的判别式

学习目标

1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．

2．使学生掌握运用判别式判断一元二次方程根的情况．

3.通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．

学习重点

一元二次方程根的判别式的内容及应用．

学习难点

1.一元二次方程根的判别式的推导．

2.利用根的判别式进行有关证明

学习流程

讨论完善

复习提问　　1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？

　　2．用公式法求出下列方程的解：

（1）3x2＋x－10＝0；

（2）x2－8x＋16＝0；（3）2x2－6x＋5＝0．

引入新课　　通过上述一组题，让学生回答出：

一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．

　　接下来向学生提出问题：

是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？

这条件与方程的根之间又有什么关系呢？

能否不解方程就可以明确方程的根的情况？

这正是我们本课要探讨的课题．（板书本课标题）

新课　　先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：

　　对任意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），可将其变形为

　　∵a≠0，∴4a2＞0．

　　由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．

（1）当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．

（2）当b2－4ac＝0时，方程右边是0．

　　通过以上讨论，总结出：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．

　　综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

　　当△＞0时，有两个不相等的实数根；

　　当△＝0时，有两个相等的实数根；

　　当△＜0时，没有实数根．

　　例1.不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；　

（2）16y2＋9＝24y；　（3）5（x2＋1）－7x＝0．

分析：

要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．

例2．当k取什么值时，关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等实数根；（3）方程没有实数根．

例3.求证关于x的方程（k2+1）x2-2kx+（k2+4）=0没有实数根.

布置作业：

P16练习

讨论完善

课后小结

　　应用判别式解题应注意以下几点：

　　1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．

　　2．一元二次方程根的判别式的逆命题也是成立的．

课后反思

课题

一元二次方程的根与系数的关系

学习目标

1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系，并学会其运用．

2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．

学习重点

1.一元二次方程根与系数的关系的推导和灵活运用．

2.已知方程求关于根的代数式的值

学习难点

用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．

学习流程

讨论完善

复习提问

　　1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？

　　2．上述方程两根之和等于什么？

两根之积呢？

新课

　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为

　　由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：

（又称“韦达定理”）

　　如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么

　　我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．

　　得出：

　　如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

　　由x1＋x2＝－p，x1x2＝q可知p＝－（x1＋x2），q＝x1·x2，

　　∴方程x2＋px＋q＝0，

即x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．

这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．

例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．

例2.下列各方程两根之和与两根之积各是什么？

（1）x2－3x－18＝0；

（2）x2＋5x＋4＝5；

（3）3x2＋7x＋2＝0；

（4）2x2＋3x＝0．

布置作业：

习题21.27题

讨论完善

课后小结

　　1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．

2．要掌握定理的两个应用：

⑴.不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；

⑵.已知方程一根求另一根及系数中字母的值．

课后反思

课题

二次三项式的因式分解（公式法）

学习目标

1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．

2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解因式．

学习重点

求根法分解二次三项式

学习难点

1.方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．

2.二元二次三项式的因式分解

学习流程

讨论完善

复习提问

　　解方程：

1．x2-x-6＝0；2．3x2-11x+10＝0；3．4x2+8x-1＝0．

　　引入新课

　　在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？

第3个方程的求解给我们以启发．

　　新课

　　二次三项式ax2+bx+c（a≠0），我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．

　　易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2（x-1）（x-2）＝0，

　　求得其两根x1＝1，x2＝2.

　　反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：

　　如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是

＝a[x2-（x1+x2）x+x1x2]＝a（x-x1）（x-x2）．

　　从而得出如下结论．

　　在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a（x-x1）（x-x2）．

　　例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．

　　则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+4＝2（x-1）（x-2）．

　　例1把4x2-5分解因式．

布置作业：

对下列式子进行因式分解

①．2x2+6x+4.

②.4x2-4x+1

③.-2x2-4x+3.

④.2x2-8xy+5y

讨论完善

课后小结

公式法解决二次三项式的因式分解问题的步骤

二次三项式ax2+bx+c（a≠0）分解因式的方法有三种

1．利用完全平方公式；

2．利用平方差公式

3．利用提取公因式　　

课后反思

课题

一元二次方程的应用

（一）

学习目标

1．使学生会列出一元二次方程解应用题．

2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．

学习重点

由应用问题的条件列方程的方法．

学习难点

设“元”的灵活性和解的讨论．

学习流程

一、自主学习感受新知

【问题】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，

⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示，第二轮后，共有

人患流感。

⑵根据等量关系列方程：

⑶解这个方程得：

⑷平均一个人传染了个人。

⑸如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有人患流感。

二、自主应用巩固新知

【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

【分析】设每个支干长出x个小分支。

则主干上长出x个分支，x个分支上共长出x2个小分支。

主干、支干和小分支的总数可用代数式1+x+x2表示。

依题意可列方程：

1+x+x2=91

解：

设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：

1+x+x2=91

解这个方程，得：

∴x1=9x2=-10（负根不合题意，合去）

答：

每个支干长出9个小分支。

【例2】一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数。

【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（6-x），则原两位数为10（6-x）+x，新两位数为10x+（6-x）。

依题意可列方程：

[10（6-x）+x][10x+（6-x）]=1008

解：

{x1=2x2=4}

布置作业：

习题21.28—13题

讨论完善

讨论完善

课后小结　　

利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：

①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答．

课后反思

课题

一元二次方程的应用

（二）

学习目标

使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力．

学习重点

用图示法分析题意列方程．

学习难点

将实际问题转化为对方程的求解问题.

学习流程

一、自主学习感受新知

【问题】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？

【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则

11月份的营业额为5000（1+x）元，

12月份的营业额为5000（1+x）（1+x）元，即5000（1+x）2元。

由此就可列方程：

5000（1+x）2=7200

【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比。

增长率=增长数∶基准数

设基准数为a，增长率为x，

则一月（或一年）后产量为a（1+x）；

二月（或二年）后产量为a（1+x）2；

n月（或n年）后产量为a（1+x）n；

如果已知n月（n年）后总产量为M，则有下面等式：

M=a（1+x）n

解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。

二、自主应用巩固新知

【例1】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

【分析】⑴甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元）

乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）

乙种药品成本的年平均下降额较大。

但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率。

⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。

⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：

解这个方程得：

甲种药品成本的年平均下降率为。

⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。

⑸思考经过计算，你能得出什么结论？

成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？

应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格。

布置作业：

习题21.31—9题

讨论完善

讨论完善

课后小结

　　1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．

　　2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式．

课后反思

课题

一元二次方程的应用（三）

学习目标

使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．

学习重点

弄清有关增长率的数量关系．

学习难点

利用数量关系列方程的方法．

学习流程

一、自主交流探究新知

【问题1】要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）.

【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：

上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：

中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．

因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的

，则中央矩形的面积是封面面积的

．所以（27-18x）（21-14x）=

×27×21

整理，得：

16x2-48x+9=0

解方程，得：

x=

，WwW.xkB1.cOm

x1≈2.8cm，x2≈0.2

所以：

9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

因此，上