数学学科综合能力测试4.docx

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数学学科综合能力测试4

数学学科综合能力测试（四）

一﹑选择题:

在每小题给出的四个选项中只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合A、B分别表示函数y=lg（x2-3x-4）

2.与y=

的定义域,则A∩

3.B=（）

A.｛x|-1

B.｛x|-7

C.｛x|x<-1｝

D.｛x|x<-7,或x>4｝

2.下列命题种错误的是（）

①与一个平面相交成等角的两条直线平行;

②两条异面直线在一个平面上的射影一定是两条相交直线;

③若平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等,则此直线必与平面平行;

④对于两条异面直线及它们之外的任一点,一定存在过该点的一个平面与两条异面直线都平行.

A.①②B.①③

C.②③D.①②③④

3.若函数y=2cos（x2-

）的定义域是

（0,

）,则值域是（）

A.（-1,1）B.

C.（-

1）D.（-

）

4.在复平面内,已知点A（2,1）,B（0,2）,C（-2,1）,O（0,0）.给出下面结论:

1直线OC与直线BA平行;

2

;

3

;

④

.

其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

5.在等比数列｛an｝中,Sn为前n项和,若S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20=（）

A.16B.25

C.31D.9

6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是异面直线AC和A1D的公垂线段,则EF和BD1的位置关系为（）

A.相交且垂直B.互相平行

C.异面垂直D.相交不垂直

7.已知α、β为锐角,cosα=

tan（α-

β）=-1,则

的值是（）

A.

B.

C.

D.

8.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表:

表1市场供给量

单价

（元/kg）

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

供给量

（1000kg）

50

60

70

75

80

90

表2市场需求量

单价

（元/kg）

4

3.4

2.9

2.6

2.3

2

需求量

（1000kg）

50

60

65

70

75

80

根据以上提供的信息,市场供需平衡点（即

供给量和需求量相等时的单价）应在区间（）

A.（2.3,2.6）内

B.（2.4,2.6）内

C.（2.6,2.8）内

D.（2.8,2.9）内

9.定义在R上的函数f（x）是奇函数,又是以2

为周期的周期函数,那么

f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（99）的值等于（）

A.-1B.0

C.1D.4

10.双曲线是虚轴长为4,离心率e=

F1、F2分别是它们的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|等于（）

A.8

B.4

C.2

D.8

二﹑填空题:

把答案填在题中横线上.

11.棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球,那么这个球的体积为.

12.点P（x,y）是直线x+3y-2=0上的动点,则代数式3x+27y的最小值为.

13.在△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,若BC∥平面α,AB和α所成的角为θ,那么θ=时,△ABC在α内的射影三角形为等腰三角形.

14.梯形的两对角线把梯形分成四部分,有五种不同的颜色给这四部分涂色,每一部分涂一种颜色,任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同的颜色,则不同的涂色方法有种.

三﹑解答题:

15..△ABC中,已知三个内角A、B、C成等差数列,A、B、C所对边为a、b、c,且c-a等于AC边上的高h,求sin

的值.

16.设数列｛an｝的前n项和为Sn,且（3-m）

Sn+2man=m+3（n∈N）.其中m为常数,且m≠-3.

（Ⅰ）求证｛an｝是等比数列;

（Ⅱ）若数列｛an｝的公比q=f（m）,数列｛bn｝满足b1=a1,bn=

f（bn-1）（n∈N,n≥2）,

求证:

｛

｝为等差数列,并求bn.

17.已知三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,E是SC的中点,ED⊥SC交AC于D,SA=AB=1,BC=

.

（Ⅰ）求证:

SC⊥平面BDE;

（Ⅱ）求三棱锥A-BDE的体积;

（Ⅲ）求平面SAB与平面EDB所成的二面角的大小（平面角为锐角）.

18.某地区计划今年用经过处理的工业废渣填河造地.（Ⅰ）若该地区以每年1%的速度减少填河面积,并为保持生态平衡,使填河总面积永远不会超过现有水面面积的

问今年所填面积最多只能占现有面积的百分之几?

（Ⅱ）水面的减少必然会使该地区蓄水能力降低,为了保持其防洪能力不会下降,就要增加排水设备,设其经费y（元）与当年所填土地面积x（亩）的平方成正比,比例系数为a,又设每亩水面平均经济收入为b（元）,所填的每亩土地年平均收入为c（元）,那么要使每年的收入不少于支出.试求出当年所填面积x的最大值（其中a、b、c为常数）.

19.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f（x）=-

.

（Ⅰ）求x<0时,f（x）的解析式;

（Ⅱ）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间,并证明你的结论;

（Ⅲ）若x1≥2,且x2≥2,证明:

|f（x1）-f（x2）|<2.

20.设双曲线C1:

（a>0,b>0）的离心率为e,右准线l与两条渐进线交于P、Q两点,右焦点为F,且△PQF为等边三角形.以F为左焦点,l为左准线的椭圆为C2的短轴端点为B.

（Ⅰ）若双曲线C1被直线y=ax+b截得的弦长是

试求双曲线C1的方程;

（Ⅱ）若双曲线C1过点（1,0）,试求离心率为

的椭圆C2的方程;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求BF中点的轨迹方程.

数学学科综合能力测试（四）

一、选择题

1.B2.D3.B4.C5.A6.B7.C8.C9.B10.A

二、填空题

11.π612.613.60°14.260

三、解答题

15.解：

∵A、B、C成等差数列，

且A+B+C=180°，∴B=60°，A+C=120°.

又c=,

依题意有：

.

∴sinC-sinA=sinC·sinA.

∴2cos

〔cos（C+A）-cos（C-A）〕.

∴sin〔-cos（C-A）〕.

∴sin2.

解得：

sin或sin（舍）.

故所为sin。

16.（Ⅰ）证：

由（3-m）Sn+2man=m+3

得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3.

两式相减得（3+m）an+1=2man,m≠-3,

∴。

∴｛an｝是等比数列.

（Ⅱ）∵b1=a1=1,q=f（m）=,

∴n∈N且n≥2时，bn=（bn-1）

.∴bnbn-1+3bn=3bn-1，

∴.

∴.

∴.

17.（Ⅰ）证：

由SA⊥AB，

又SA⊥AC.

在Rt△SAB中，SA=AB=1.SB=,BC=,∴SB=BC.在等腰△SBC中，E是SC中点，

SC⊥面BDE.

（Ⅱ）解：

∵VA-BDE=VE-ABD,∵SA⊥面ABC是E为SC中点，

∴三棱锥E-ABD的高等于SA=.

∵SC⊥BD.

又SA⊥BD.

∴由BD⊥AC.

在Rt△ABC中易求出BD=,AD=,

∴VA-BDE=VE-ABD=·

（Ⅲ）解：

∵SA面SAC，ED面SAC.

且SA，ED不平行，故延长SA，

ED后必相交，设交点为F，连结FB，

∴S-FB-E是面SAB与面EDB所成的二面角.

依条件易证明Rt△SEF≌Rt△SAC，

∵SE=SC=·2=1,

∴AF=2-1=1.∴∠SBF=∠SBA+∠ABF

=45°+45°=90°.∴SE⊥面FBE.

∴∠EBF=90°，∴∠SBE是S-FB-E的平面

角.在Rt△SBC中E为SC中点，且SB=BC,∴∠SBE=45°.

∴所求二面角的大小为45°.

18.解（Ⅰ）设现有水面面积为M（亩），今年所填面积为t（亩）.

依条件有：

t+t（1-1%）+t（1-1%）2+…≤M.

即t+t（0.99+0.992+…）≤M，

∴t+t≤M.

∴t（1+99）≤M.

∴t≤M.

∴今年所填面积最多只能占现有水面面积的0.25%.

（Ⅱ）依条件可知cx-（ax2+bx）≥0，

∴ax2+（b-c）x≤0.∴x〔ax-（c-b）〕≤0.

当c-b≤0时，≤x≤0，不能填地；

当c-b＞0时，0≤x≤.

∴当年所填面积最大值为亩.

19.解（Ⅰ）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，

∴f（x）=f（-x）

=（x＜0＝.

（Ⅱ）设x1,x2是区间［0，+∞］上任意两个实数，且0≤x1≤x2,则f（x1）-f（x2）

=

=，

当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0,x1x2-1＜0而x12+x1+1＞0及x22+x2+1＞0，

∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x）在［0，1］上为减函数.同理当1＜x1＜x2时，

f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数

（Ⅲ）∵f（x）在（1，+∞）是增函数，由x≥2得f（x）≥f

（2）=-2

又x2+x+1＞0，-7x＜0，

∴f（x）=.

∴-2≤f（x）＜0.∵x1,x2＞2，

∴-2≤f（x1）＜0，且-2≤f（x2）＜0.

即0＜-f（x2）≤2.∴-2＜f（x1）-f（x2）＜2∴｜f（x1）-f（x2）｜＜2.

20.解（Ⅰ）由

.

设PQ交x轴于R，则｜RF｜=,

∠PFR=30°，得=.

得b=a,从而e=2.

∴此时C1:

.

此方程与y=ax+a联立得

（a2-3）x2+2a2x+6a2=0.当a2≠3时，

由△=12a4-24a2（a2-3）＞0得a2＜6.

∴0＜a＜,或＜a＜.

由弦长公式得｜x1-x2｜

=…=.

即13a4-77a2+102=0.

解得a2=2，或a2=.

故C1方程为=1

或=1.

当a2=3时y=x+3与渐近线平行，不舍题意.

（Ⅱ）∵C1过点（1，0），

∴a=1,b=,c=2,此时F（2,0）,

1:

x=,分别为椭圆C2的左焦点和左准

线.设椭圆中心为0′（h,0）,显然h＞2，

则其半焦距C′=｜O′F｜=h-2,

由离心率

得a′=2（h-2）.又由左准线

l：

x=得h=.

故C2方程为（x-）2+=1.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知F（2，0），l：

x=.

设BF的中点为M（x,y）,则B（2x-2,2y）.

∴椭圆C2的中心为0′（2x-2,0）,

∵｜O′F｜=2x-4＞0，∴x＞2.

∵点B到l的距离

d=（2x-2）-=2x-＞0.

由定义得==e′

（椭圆离心率）.亦即｜BF｜2=d｜O′F｜.

即（2x-4）2+4y2=（2x-）（2x-4）

化简得所求轨迹方程为

y2=（x-2）（x＞2）.