算法设计与分析答案参考.docx
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算法设计与分析答案参考
1、用Floyd算法求下图每一对顶点之间的最短路径长度,计算矩阵D0,D1,D2和D3,其中Dk[i,j]表示从顶点i到顶点j的不经过编号大于k的顶点的最短路径长度。
解
在每条边的矩阵行中依次加入顶点1,2,3,判断有无最短路径
2、设有n=2k个运动员要进行循环赛,现设计一个满足以下要求的比赛日程表:
①每个选手必须与其他n-1名选手比赛各一次;
②每个选手一天至多只能赛一次;
③循环赛要在最短时间内完成。
(1)如果n=2k,循环赛最少需要进行几天;
(2)当n=23=8时,请画出循环赛日程表。
解:
(1)至少要进行n天
(2)如右图:
3、对于下图使用Dijkstra算法求由顶点a到顶点h的最短路径。
解:
用V1表示已经找到最短路径的顶点,V2表示与V1中某个顶点相邻接且不在V1中的顶点;E1表示加入到最短路径中的边,E2为与V1中的顶点相邻接且距离最短的路径。
步骤V1V2E1E2
1.{a}{b}{}{ab}
2.{a,b}{d}{ab}{bd}
3.{a,b,d}{c,f}{ab,bd}{dc,df}
4.{a,b,d,c}{f}{ab,bd}{df}
5.{a,b,c,d,f}{e}{ab,bd,dc,df}{fe}
6.{a,b,c,d,e,f}{g}{ab,bd,dc,df,fe}{eg}
7.{a,b,c,d,e,f,g}{h}{ab,bd,dc,df,fe,eg}{gh}
8.{a,b,c,d,e,f,g,h}{}{ab,bd,de,df,fe,eg,gh}{}
结果:
从a到h的最短路径为
,权值为18。
求所有顶点对之间的最短路径可以使用Dijkstra算法,使其起始节点从a循环到h,每次求起始节点到其他节点的最短路径,最终可以求得所有顶点对之间的最短路径。
补充例题:
求A到各个顶点的最短路径:
解:
4、用动态规划策略求解最长公共子序列问题:
(1)给出计算最优值的递归方程。
(2)给定两个序列X={B,C,D,A},Y={A,B,C,B},请采用动态规划策略求出其最长公共子序列,要求给出过程。
解:
(1)
(2)
Y A B C B
X 0 0 0 0
B 0 0 1 1 1
C 0 0 1 2 2
D 0 0122
A 01122
最长公共子序列:
{BC}
5、对下图所示的连通网络G,用克鲁斯卡尔(Kruskal)算法求G的最小生成树T,请写出在算法执行过程中,依次加入T的边集TE中的边。
说明该算法的贪心策略和算法的基本思想,并简要分析算法的
时间复杂度。
答:
TE={(3,4),(2,3),(1,5),(4,6)(4,5)}
贪心策略是每次都在连接两个不同连通分量的边中选权值最小的边。
基本思想:
首先将图中所有顶点都放到生成树中,然后每次都在连接两个不同连通分量的边中选权值最小的边,将其放入生成树中,直到生成树中有n-1条边。
时间复杂度为:
O(eloge)
6、快速排序算法对下列实例排序,算法执行过程中,写出数组A第一次被分割的过程。
A=(65,70,75,80,85,55,50,2)
解:
第一个分割元素为65
7、对于下图,写出图着色算法得出一种着色方案的过程。
解:
K←1
X[1]←1,返回true
X[2]←1,返回false;X[2]←X[2]+1=2,返回true
X[3]←1,返回false;X[3]←X[3]+1=2,返回false;X[3]←X[3]+1=3,返回true
X[4]←1,返回false;X[4]←X[4]+1=2,返回false;X[4]←X[4]+1=3,返回true
找到一个解(1,2,3,3)
8、有n个物品,已知n=7,利润为P=(10,5,15,7,6,18,3),重量W=(2,3,5,7,1,4,1),背包容积M=15,物品只能选择全部装入背包或不装入背包,设计贪心算法,并讨论是否可获最优解。
解:
定义结构体数组G将物品编号、利润、重量作为一个结构体
例如G[k]={1,10,2}
求最优解按利润/重量的递减序有:
{5,6,1,6}、{1,10,2,5}{6,18,4,9/2}、{3,15,5,3}、{7,3,1,3}、{2,5,3,5/3}、{4,7,7,1}
算法:
procedureKNAPSACK(PWMXn)
//P(1n)和W(1n)分别含有按P(i)/W(i)≥P(i+1)/W(i+1)排序的n件物品的效益值和重量。
M是背包的容量大小而x(1n)是解向量//
realP(1n)W(1n)X(1n)Mcu
integerin
X←0//将解向量初始化为零//
cu←M//cu是背包剩余容量//
fori←1tondo
ifW(i)>cuthenexitendif
X(i)←1
cu←cu-W(i)
repeat
endGREEDY-KNAPSACK
根据算法得出的解:
X=1,1,1,1,1,0,0获利润52
而解1,1,1,1,0,1,0可获利润54,因此贪心法不一定获得最优解。
9、排序和查找是经常遇到的问题。
按照要求完成以下各题:
(1)对数组A={15,29,135,18,32,1,27,25,5},用快速排序方法将其排成递减序。
(2)给出上述算法的递归算法。
(3)使用上述算法对
(1)所得到的结果搜索如下元素,并给出搜索过程:
18,31,135。
解:
(1)第一步:
15291351832127255
第二步:
29135183227251515
第三步:
13532291827251551
第四步:
13532292725181551
(2)输入:
递减数组A[left:
right],待搜索元素v。
输出:
v在A中的位置pos,或者不在A中的消息(-1)。
步骤:
intBinarySearch(intA[],intleft,intright,intv)
{
intmid;
if(left<=right)
{
mid=int((left+right)/2);
if(v==A[mid])returnmid;
elseif(v>A[mid])returnBinarySearch(A,left,mid-1,v);
elsereturnBinarySearch(A,mid+1,right,v);
}
else
return-1;
}
(3)搜索18:
首先与27比较,18<27,在后半部分搜索;再次与18比较,搜索到,返回5。
搜索31:
首先与27比较,31>27,在前半部分搜索;再次32比较,31<32,在后半部分搜索,与29比较,31>29,此时只有一个元素,未找到,返回-1。
搜索135:
首先与27比较,135>27,在前半部分搜索;再次32比较,135>32,在前半部分搜索;与135比较,相同,返回0。
10、假设有7个物品,它们的重量和价值如下表所示。
若这些物品均不能被分割,且背包容量M=150,使用回溯方法求解此背包问题。
请写出状态空间搜索树。
物品
A
B
C
D
E
F
G
重量
35
30
60
50
40
10
25
价值
10
40
30
50
35
40
30
解:
(1)求所有顶点对之间的最短路径可以使用Dijkstra算法,使其起始节点从a循环到h,每次求起始节点到其他节点的最短路径,最终可以求得所有顶点对之间的最短路径。
(2)按照单位效益从大到小依次排列这7个物品为:
FBGDECA。
将它们的序号分别记为1~7。
则可生产如下的状态空间搜索树。
其中各个节点处的限界函数值通过如下方式求得:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
在Q1处获得该问题的最优解为
,背包效益为170。
即在背包中装入物品F、B、G、D、A时达到最大效益,为170,重量为150。
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