人教版九年级数学上册教案《实际问题与一元二次方程》.docx

人教版九年级数学上册教案《实际问题与一元二次方程》.docx

《人教版九年级数学上册教案《实际问题与一元二次方程》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版九年级数学上册教案《实际问题与一元二次方程》.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版九年级数学上册教案《实际问题与一元二次方程》

《21.3实际问题与一元二次方程》

教学设计（第1课时）

教材分析:

本节进一步以“探究”的形式讨论如何用一元二次方程解决实际问题，问题中的数量关系更复杂些，目的是使学生更深入地认识一元二次方程与现实生活的联系性，加强建模思想，培养运用一元二次方程分析和解决问题的能力.其中，重点是分析实际问题中的数量关系，列一元二次方程.要注意让学生经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程.

教学目标：

【知识与能力目标】

会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.

【过程与方法】

经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.

教学重难点：

【教学重点】构建一元二次方程解决实际问题.

【教学难点】会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：

探究1（传播问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？

[师生活动]教师展示出问题后，先让学生仔细分析题意，尝试着寻求解决问题的方法.为了让学生更好地理解题意，不妨设置如下几个问题：

（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有人患了流感；

（2）第二轮传染后，被传染的人数为人，故第二轮传染后共人患了流感.

最后师生共同完成解答过程：

[解]设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后共有（1+x）人患了流感，第二轮传染后共［1+x+（1+x）·x］人患流感，依题意可列方程为

1+x+（1+x）·x=121

方程可整理为（1+x）2=121.

∴x1=10,x2=-12（不合题意，应舍去），

答：

故平均一个人传染了10个人.

[追问]照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？

[变式练习1]某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？

[答案]12只.

[变式练习2]某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

[答案]8台；93=729＞700，三轮过后会超过700台.

【设计意图】　1.问题的设置让学生直观感性地认识到传播是递增的，速度非常快．

2．由特殊到一般的延伸和设计，提高学生的数学思维能力，为后面的列方程解实际问题做好铺垫．

3．教师做好归纳和规律总结，为学生解答问题提供方法.

问题2：

例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？

[师生活动]教师引导学生进行审题，确定好问题类型，然后指导学生按照解答传播问题的方法进行解答．学生自主解设并列方程、进行解答，教师做好点评和纠正．

[解]设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为

1+x+x2=91,

解得x1=9,x2=-10（不合题意，应舍去）,

答：

每个支干长出9个小分支.

[变式练习]例2元旦当天，小明将一条短信发送给了若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给多少人发了这条短信？

[答案]12人.

【设计意图】应用举例提供了另一种传播的方式，传染源出现变化，有利于指导学生分辨问题，培养具体问题具体分析的习惯。

问题3

1.根据题意，填空:

（1）某农户的粮食产量，平均每年的增长率为10%，第一年的产量是6万kg，第二年的产量为__6.6万kg__，第三年的产量为__7.26万kg__.

（2）某糖厂2014年食糖产量为100万吨，如果在以后两年平均减产的百分率为x，那么预计2015年的产量将是__100（1－x）万吨__，2016年的产量将是__100（1－x）2万吨__.

[师生活动]学生独立思考以上问题，教师给予充分的时间，在得到各自的答案后，小组内交流答案，教师给予点拨和辅导.

[师生归纳]设某产品原来的产值为a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1＋x），增长两次后的产值为a（1＋x）2，…，增长n次后的产值为a（1＋x）n.

2.探究2（增长率问题）两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？

[思考]

（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？

它与年平均下降率是否是一回事？

（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为5000（1-x）元，第二年后的成本为5000（1-x）2元，你能列出相应的方程并求出x的值吗？

对于乙种药品呢？

[解]设甲种药品成本的年平均下降率为x，依题意得，

5000（1-x）2=3000

解得，x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）.

∴甲药品成本的年平均下降率为22.5%.

设乙种药品成本的年平均下降率为y，依题意得，

6000（1-y）2=3600

解得，y1≈0.225，y2≈1.775（不合题意，舍去）.

∴乙药品成本的年平均下降率为22.5%.

答：

两种药品成本的年平均下降率相同，一样大.

[变式练习]某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少?

[解]设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a人，由题意有（1-x）a+（1-x）2·a=75%a，解得x1=0.5,x2=2.5，显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.

【设计意图】1.给出原始量、增长率（下降率）、变化次数、变化后的量之间的关系，让学生归纳公式，体验获得成功的喜悦.

2.使学生进一步对增长率或下降率进行了解，也使学生明确要解决增长率或下降率问题，必须弄清楚各个量及其关系．

3.变式练习不仅及时巩固所学知识，了解学生的学习状况，还增强了学生应用知识的能力.

问题4：

例2　某省2012年投入600万元用于“改水工程”，2014年投入1176万元用于“改水工程”．

（1）求该省投资“改水工程”的年平均增长率；

（2）2012年到2014年，三年共投资“改水工程”多少万元？

[解]

（1）设年平均增长率为x，依题意得，

600（1+x）2=1176

解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去）

答：

年平均增长率为40%；

（2）2013年投资为600（1+40%）=840万元，

∴三年中投资600+840+1176=2616万元.

【设计意图】进一步熟悉平均增长率问题的解决方法.

问题5：

1.课堂总结：

（1）本节课主要学习了哪些知识？

学习了哪些数学思想和方法？

（2）本节课还有哪些疑惑？

说一说！

教师强调增长率（或下降率）问题公式：

a（1±x）n＝b.

2．布置作业：

教材第22页习题21.3第7题；教材第26页复习题21第10题．

3．知识结构图：

【设计意图】指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.

教学反思：

1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.

2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.

《21.3实际问题与一元二次方程》

教学设计（第2课时）

本课时编写：

襄阳市第41中学李刚

教材分析:

本节进一步以“探究”的形式讨论如何用一元二次方程解决实际问题，问题中的数量关系更复杂些，目的是使学生更深入地认识一元二次方程与现实生活的联系性，加强建模思想，培养运用一元二次方程分析和解决问题的能力.其中，重点是分析实际问题中的数量关系，列一元二次方程.要注意让学生经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程.

教学目标：

【知识与能力目标】

1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.

2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.

【过程与方法】

经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用意识.

【情感态度与价值观】

通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

教学重难点：

【教学重点】利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题．

【教学难点】会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：

如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

[思考]

（1）本题中有哪些数量关系？

（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形”？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

[师生活动]教师提出问题

（1），学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系；教师提出问题

（2），学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长、宽比是9∶7；教师提出问题（3），学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左、右边衬和上、下边衬分别为7x和9x，教师要配合图形的平移加以电脑演示．

[分析]封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．

[解]设上、下边村的宽均为9xcm，左、右边村的宽均为7xcm,则中央的矩形长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm，依题意得，

（27-18x）（21-14x）=

×27×21

整理得，16x2-48x+9=0.

解得，x=

.

上、下边村的宽均为1.8cm，左、右边村的宽均为1.4cm.

[变式练习]如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.

[答案]设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，解得x1=1,x2=-11/2（不合题意应舍去），即花边的宽度为1m.

【设计意图】　1.重视培养学生读题和审题的能力；2．把实际问题符号化，为应用数学知识解决问题创造条件；3．培养学生树立方程意识，渗透方程思想。

问题2：

例1有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？

（精确到0.1尺）

[分析]设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.

[解]设四周垂下的宽度为x尺时，依题意得，

（6+2x）（3+2x）=2×6×3.

整理得2x2+9x-9=0.

解得，x=

∴x1≈0.84,x2≈-5.3（不合题意，舍去）.

即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.

[变式练习]有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

[解]设铁皮各角应切正方形边长为xcm，依题意得，

（100-2x）（50-2x）=3600

解得，x1=5，x2=70（不合题意，舍去）

答：

铁皮各角应切去5cm的正方形.

例2如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.

（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；

（2）如果墙长为18m，则

（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？

（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？

说说你的理由.

分析:

如图,若设BC=xm，则AB的长为

m,若设AB=xm,则BC=（35-2x）m,再利用题设中的等量关系，可求出

（1）的解；在

（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对

（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助

（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.

解:

（1）设BC=xm,则AB=CD=

，依题意可列方程为x·

=150,

解这个方程，得x1=20,x2=15.

当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;

（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;

（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：

设BC=xm,由

（1）知AB=

m,从而有x·

=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.

【设计意图】应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知。

问题4：

1.课堂总结：

（1）本节课主要学习了哪些知识？

学习了哪些数学思想和方法？

（2）本节课还有哪些疑惑？

说一说！

教师总结：

面积应用题的解答主要是利用面积公式列方程．

2．布置作业：

教材第22页习题21.3第5，9题．

3．知识结构图：

【设计意图】指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果。

教学反思：

1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.

2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.