高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ25指数与指数函数学案理.docx
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高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ25指数与指数函数学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-5指数与指数函数学案理
考纲展示► 1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
考点1 指数幂的化简与求值
1.根式
(1)根式的概念
若________,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)a的n次方根的表示
xn=a⇒
答案:
(1)xn=a
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:
a)=________(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:
a)=________=________(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂________.
(2)有理数指数幂的性质
①aras=________(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=________(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q).
答案:
(1)① ②)) ③0 无意义
(2)①ar+s ②ars ③arbr
(1)[教材习题改编]若x+x-1=5,则x2-x-2=________.
答案:
±5
解析:
把x+x-1=5两边平方,可得x2+x-2=23,所以(x-x-1)2=x2-2+x-2=21,所以x-x-1=±,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±5.
(2)[教材习题改编]若x)+x)=3,则)+x)+2,x2+x-2+3)=________.
答案:
解析:
由x)+x)=3,得(x)+x))2=9,
即x+x-1=7.
==.
根式化简与指数运算的误区:
混淆“”与“()n”;误用性质.
(1)=__________;
答案:
|a-b|=
解析:
=|a-b|=
(2)化简[(-2)6])-(-1)0的结果为________.
答案:
7
解析:
[(-2)6])-(-1)0=(26))-1=8-1=7.
[典题1] 化简下列各式:
(1)[(0.064))-2.5])--π0;
(2))-8a)b,4b)+2\r(3,ab)+a))÷)-\f(2\r(3,b),a)))×.
【解】
(1)原式=)))))))-)-1
=×(-)×)-)-1
=--1
=0.
(2)原式=)[a)3-2b)3],a)2+a)×2b)+2b)2)÷)-2b),a)×)),a)×a)))
=a)(a)-2b))×)-2b))×),a))=a)×a×a)=a2.
[点石成金] 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
考点2 指数函数的图象及应用
指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0 图象 定义域 R 值域 ________ 性质 过定点________ 当x>0时,________;x<0时,________ 当x>0时,________;x<0时,________ 在区间(-∞,+∞)上是________ 在区间(-∞,+∞)上是________ 答案: (0,+∞) (0,1) y>1 0 (1)[教材习题改编]若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(-1,3),则f (2)=________. 答案: 解析: 依题意可知a-1=3,解得a=, 所以f(x)=x,所以f (2)=2=. (2)[教材习题改编]函数y=的定义域为________. 答案: [0,+∞) 解析: 要使函数有意义,需满足1-x≥0,得x≥0. 指数函数常见误区: 概念. 函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有a= ________. 答案: 2 解析: 根据定义有a2-3a+3=1,解得a=2或a=1(舍去). [典题2] (1)[2017·陕西西安模拟]函数y=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是( ) A B C D [答案] D [解析] 当a>1时1函数单调递增,且函数图象恒过点, 因为0<1-<1,故A,B均不正确; 当0 因为1-<0,故选D. (2)[2017·河南郑州模拟]已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( ) A.(1,5)B.(1,4) C.(0,4)D.(4,0) [答案] A (3)[2017·河北衡水模拟]若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________. [答案] [-1,1] [解析] 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示. 由图象可得,如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1≤b≤1.故b的取值范围是[-1,1]. [题点发散1] 若将本例(3)中“|y|=2x+1”改为“y=|2x-1|”,且与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围. 解: 曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图所示. 由图象可得,如果曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1). [题点发散2] 若将本例(3)改为: 函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,求k的取值范围. 解: 因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为(-∞,0]. [点石成金] 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点: (1,a),(0,1),. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往 往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( ) A B C D 答案: A 解析: 将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质,故选A. 2.当k为何值时,方程|3x-1|=k无解? 有一解? 有两解? 解: 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示. 当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解; 当0 考点3 指数函数的性质及应用 (1)[教材习题改编]函数f(x)=a-为奇函数,则a的值为________. 答案: (2)[教材习题改编]若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是________. 答案: (-,-1)∪(1,) [考情聚焦] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用,难度偏小,属中低档题. 主要有以下几个命题角度: 角度一 比较指数式的大小 [典题3] 设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( ) A.a<b<cB.a<c<b C.b<a<cD.b<c<a [答案] C [解析] 根据指数函数y=0.6x在R上单调递减可得,0.61.5<0.60.6<0.60=1,而c=1.50.6>1,∴b<a<c. 角度二 简单的指数方程或不等式的应用 [典题4] 设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) [答案] C [解析] 当a<0时,不等式f(a)<1可化为a-7<1,即a<8,即a<-3, 因为0<<1,所以a>-3,此时-3 当a≥0时,不等式f(a)<1可化为<1,所以0≤a<1. 故实数a的取值范围是(-3,1),故选C. 角度三 探究指数型函数的性质 [典题5] (1)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为( ) A.B.1 C.3D.或3 [答案] D [解析] 令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈, 又函数y=(t+1)2-2在上单调递增, 所以ymax=(a+1)2-2=14, 解得a=3或-5(舍去). 当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以t∈, 又函数y=(t+1)2-2在上单调递增, 则ymax=2-2=14, 解得a=或-(舍去).综上知,a=3或a=. (2)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________. [答案] (-∞,4] [解析] 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减,而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4]. [点石成金] 应用指数函数性质的常见题型及求解策略 常见题型 求解策略 比较幂值 的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小; (2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小 解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解 研究指数型函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致 [提醒] 在研究指数型函数的单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论. [方法技巧] 1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较. 2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的单调性和底数a有关,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. 3.底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”: 当a>1时,指数函数的图象“上升”;当0 4.底数的大小决定了图象相对位置的高低: 不论是a>1,还是0 5.与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成;而与其有关的最值问题,往往转化为二次函数的最值问题. [易错防范] 形如a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)形式,常借助换元法转化为二次方程或不等式求解,但应注意换元后“新元”的范围. 真题演练集训 1.[2014·辽宁卷]已知a=2),b=log2,c=log,则( ) A.a>b>cB.a>c>b C.c>a>bD.c>b>a 答案: C 解析: 0<a=2)<20=1,b=log2<log21=0,c=log>log=1, 即0<a<1,b<0,c>1,所以c>a>b. 2.[2015·山东卷]已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________. 答案: - 解析: 当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.
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