江苏省高考数学考试.docx
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江苏省高考数学考试
2017年江苏省高考数学考试
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2017年江苏省高考数学试卷
一.填空题
1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为 .
2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .
3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.
4.(5分)如图是一个算法流程图:
若输入x的值为
,则输出y的值是 .
5.(5分)若tan(α﹣
)=
.则tanα= .
6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则
的值是 .
7.(5分)记函数f(x)=
定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 .
8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线
﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 .
9.(5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项为Sn,已知S3=
,S6=
,则a8= .
10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+ex﹣
,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是 .
12.(5分)如图,在同一个平面内,向量
,
,
的模分别为1,1,
,
与
的夹角为α,且tanα=7,
与
的夹角为45°.若
=m
+n
(m,n∈R),则m+n= .
13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:
x2+y2=50上.若
≤20,则点P的横坐标的取值范围是 .
14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=
,其中集合D={x|x=
,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是 .
二.解答题
15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
16.(14分)已知向量
=(cosx,sinx),
=(3,﹣
),x∈[0,π].
(1)若
∥
,求x的值;
(2)记f(x)=
,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为
,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10
cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
19.(16分)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:
an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.
(1)证明:
等差数列{an}是“P(3)数列”;
(2)若数列{an}既是“P
(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:
{an}是等差数列.
20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:
b2>3a;
(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣
,求a的取值范围.
二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:
几何证明选讲】(本小题满分0分)
21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.
求证:
(1)∠PAC=∠CAB;
(2)AC2=AP•AB.
[选修4-2:
矩阵与变换]
22.已知矩阵A=
,B=
.
(1)求AB;
(2)若曲线C1:
=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为
(t为参数),曲线C的参数方程为
(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
[选修4-5:
不等式选讲]
24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.
【必做题】
25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=
,∠BAD=120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.
26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).
1
2
3
…
m+n
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<
.
2017年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1.(5分)(2017•江苏)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为 1 .
【分析】利用交集定义直接求解.
【解答】解:
∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},
∴a=1或a2+3=1,
解得a=1.
故答案为:
1.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.
2.(5分)(2017•江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是
.
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.
【解答】解:
复数z=(1+i)(1+2i)=1﹣2+3i=﹣1+3i,
∴|z|=
=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3.(5分)(2017•江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 18 件.
【分析】由题意先求出抽样比例即为
,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.
【解答】解:
产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60辆进行检验,抽样比例为
=
,
则应从丙种型号的产品中抽取300×
=18件,
故答案为:
18
【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.
4.(5分)(2017•江苏)如图是一个算法流程图:
若输入x的值为
,则输出y的值是 ﹣2 .
【分析】直接模拟程序即得结论.
【解答】解:
初始值x=
,不满足x≥1,
所以y=2+log2
=2﹣
=﹣2,
故答案为:
﹣2.
【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.
5.(5分)(2017•江苏)若tan(α﹣
)=
.则tanα=
.
【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
【解答】解:
∵tan(α﹣
)=
=
=
∴6tanα﹣6=tanα+1,
解得tanα=
,
故答案为:
.
【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题
6.(5分)(2017•江苏)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则
的值是
.
【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.
【解答】解:
设球的半径为R,则球的体积为:
R3,
圆柱的体积为:
πR2•2R=2πR3.
则
=
=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
7.(5分)(2017•江苏)记函数f(x)=
定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是
.
【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可.
【解答】解:
由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3,
则D=[﹣2,3],
则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P=
=
,
故答案为:
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.
8.(5分)(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线
﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是
.
【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.
【解答】解:
双曲线
﹣y2=1的右准线:
x=
,双曲线渐近线方程为:
y=
x,
所以P(
,
),Q(
,﹣
),F1(﹣2,0).F2(2,0).
则四边形F1PF2Q的面积是:
=2
.
故答案为:
2
.
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.
9.(5分)(2017•江苏)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项为Sn,已知S3=
,S6=
,则a8= 32 .
【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1,S3=
,S6=
,可得
=
,
=
,联立解出即可得出.
【解答】解:
设等比数列{an}的公比为q≠1,
∵S3=
,S6=
,∴
=
,
=
,
解得a1=
,q=2.
则a8=
=32.
故答案为:
32.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
10.(5分)(2017•江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨
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