最小二乘估计.docx
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最小二乘估计
最小二乘估计
随着空间技术的发展,人类的活动开始进入了太空,对航天器(包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等)的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。
在计算技术高速发展的推动下,各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。
大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。
最
小二乘法就成了估计理论的奠基石。
最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性,它的原理不
复杂,数学模型和计算方法也比较简单,编制程序不难,所以它颇受人们的重视,应用相当广泛。
对于严格的正态分布数据,最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。
实践证明,在
没有粗差的情况下,大部分测量数据基本上符合正态分布。
这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。
最早的轨道确定就是利用最小二乘法,用全部观测数据确定某一历元时
刻的轨道状态的“最佳”估值,即所谓的批处理算法定轨。
长期以来,在整个天体力学领域之中,各种天体的定轨问题,几乎都是采用这一方法。
卫星精密定轨的基本原理为:
利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型,通过建立
观测量与卫星状态之间的数学关系,参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。
参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程,用不精确的初始
状态X0和带有误差的观测资料,求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值X。
。
常用的参数估计方法有两种,最小二乘法和卡尔曼滤波方法。
最小二乘法是在得到所有的观
测数据之后,利用这些数据来估计初始时刻状态量的值,由于用到的观测数据多、计算方法
具有统计特性,因此该方法精度高。
卡尔曼滤波在观测数据更新后,利用新的观测数据对状
态量进行改进得到这一观测时刻的状态量,卡尔曼滤波适用于实时处理。
卫星精密定轨输运
高精度的事后数据处理,通常采用最小二乘法进行参数估计。
记观测量的权阵为P。
利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程y二Hx0•;,得
x=(HTPH)JHTpy
卫星的参考状态为X;=X0x0
在精密定轨的过程中,由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差,上式的解
算需要通过不断的迭代。
迭代的收敛准则为:
(1)卫星位置的改正量小于某个事先指定的值,比如;.;1m;
RMSj-RMSjJ1
(2)两次迭代的残差满足:
<卩,其中卩为小量,可取0.01。
RMSj
由于观测资料较多,在参考状态处X:
tj)线性化得线性方程y=H匚冷+召经常严重
“病态”,在实际计算中需要特别注意。
卫星轨道精密确定需要高精度的观测数据。
尽管目前的观测精度已大大提高,但在实际观测中,由于各种因素的影响,在观测数据中,往往存在着一定数量粗差。
所以,在轨道确定之前需要对观测数据进行预处理。
但在一般预处理中,并未考虑观测数据与轨道动力学模型的吻
合情况,只能剔除大野值,仍有相当一部分质量不好的数据保留了下来,然后进行初步定轨,并
由此进行残差分析。
由于观测数据存在着距离偏差和时间偏差,所以残差分析的过程为:
首先
对初步定轨所得的残差进行距离偏差和时间偏差改正;然后对改正后的残差进行多项式拟合
最后对拟合后剩余残差较大者予以剔除,以消除其中的粗差。
因观测误差中存在着偶然误差
和系统误差,而且由于模型不准,上述方法还难以凑效,对预处理过的卫星激光测距数据进行统计分析表明还有大量的粗差存在。
基于卫星激光测距的数据量十分庞大,经过预处理后还存在着大量的粗差,美国航空航天管理局(NASA)激光测卫工作组建立了一个激光测卫数据质量自动控制系统(AQC),负责对全
球的激光测卫数据进行检验,发现观测数据的问题,查出问题原因并进行改正,对粗差予以剔
除。
数据质量自动控制系统对Lageos卫星的激光测距实测数据的检验表明,15%的激光测卫
数据存在问题,仅5%能被该系统探测到,而10%有问题的数据要靠其它手段探测。
数据预处理和激光测卫数据质量自动控制系统都难以完全剔除粗差,美国德克萨斯大学空间研究中心
卫星精密定轨与动力学测地软件“UTOPIA”对各卫星观测台站软硬件进行综合评价,对精度
较低的台站予以降权;对误差较大的观测数据或观测弧段予以剔除。
其它的卫星精密定轨软件数据预处理与“UTOPIA”类似。
但对观测台站予以降权或者剔除一些观测数据存在人为性,理论不够完备,容易剔除一些观测精度很高的观测数据,付出的代价大,数据利用率低。
为此
我们可以考虑在卫星精密定轨中引入抗差估计来减弱观测资料中粗差的影响。
应用抗差估计
理论,开展卫星精密轨道确定的研究,可望更进一步提高定轨的精度。
在卫星的精密定轨中,法方程的解一般采用经典的最小二乘估计。
经典最小二乘估计在观测数据服从正态分布时,具有无偏、一致、优效性,但是当观测数据遭受异常污染时,最小二
乘法又具有负面效应,即估值不具有抗干扰性。
抗差估计是在粗差不可避免的情况下,选择适
计的原则是要充分利用有效信息,限制利用可疑信息,排除有害信息。
通过等价权,抗差估计原
理与最小二乘形式有机结合起来形成了抗差最小二乘估计。
这样,即给经典最小二乘估计赋
予了抗差能力,又保留了经典最小二乘估计算式简洁、计算方便的特点。
为抗差估计用于确
定卫星定轨铺平了道路,因为己发展成熟的卫星定轨模型和算法,在形式上仍可保持,只是要
加入抗差估计的算法即可。
下面简要介绍抗差最小二乘估计。
抗差最小二乘估计简介
设有一组相互独立的观测值ni=12…,m,观测值的权为
P=diag[p,F2,…,巳]相应的误差方程式可简单表示为:
V=AX-L
式中L为m维观测向量,A为mxn系数矩阵,X为n维未知参数向量,
V-Vi,V2/,Vmf为观测值残差向量,最小二乘估计的准则函数为:
'二:
pv;二min
可以构成法方程式:
ATPA?
-AJPL=0
其解为:
刃二atpa4atpl
、x二atpa」;?
0
:
?
2=VTPV/m-n
其中m为观测个数,n为未知参数个数。
如果观测值含有粗差,则参数估值及方差估值会被扭曲。
为了抵制异常值对X和
:
?
2的影响,我们可建立如下准则函数:
m
为pP(V)=min
id
m「刊T点Vm
或》P|£p(v)送P甲(Vi)aj=0,(j=1,2,…,n)
i#[cy」QXji#
其中「•是一个凸的、连续函数,aij是系数矩阵A的第i行第j列元素。
(p1甲(Vi\
如果令p=Pi一P(Vi)—=Pi=PiW
心\V丿Vi
称Pi为等价权,Wi为权因子。
于是可以得到抗差最小二乘的法方程式:
atPaX"_atPl=o
其他解为:
£=[atPajatpl
Z^(atpa)jc?
2
採=VTPv/m-n
其中P为等价权矩阵,m为不计R=0的测值个数。
可以看出,抗差最小二乘估计的抗差实质体现在等价权上,其关键是建立恰当的权函
数。
为了得到既有较强抗差性,又有较高效率的估值,权函数应包含两方面的内容:
①观测值的信息区间划分为正常观测值(有效信息):
可利用观测值(可利用信息):
粗差观测值(有害信息)。
②根据这三部分观测值,可将权划分为:
保权区(保持原观测值不变);降权区(对观测值作抗差限制):
拒绝区(权为零)。
抗差最小二乘估计的基本效率由保权区的观测值来保证,它
们应是观测数据的主体。
抗差最小二乘估计的效率和可靠性通过降权区的观测值的权函数得到加强。
它的抗差能力更体现在拒绝区。
故抗差最小二乘估计基本上可称为“三段法”。
权
函数的选择应由观测数据的结构决定,下面简要介绍适合卫星激光测距的IGGIII观测抗差
IGGIII选取如下等价权函数:
uj>k]
其中Uj=Vj/;「o,匚o为单位权中误差,ko的取值通常在1.0到1.5之间,k]的取值通
常在2.5到3.0之间。
令dj=(&—Uj)/(&—ko),称为平滑因子,0兰dj兰1,于是
0Uj>ki
IGGIII方案对应的权函数采用三段法,即正常段采用最小二乘估计,可利用段采用平滑因子降低观测值的权,拒绝段通过给观测值的权赋零值来淘汰粗差。
抗差批处理
设有一组观测值L,它的权阵P,其中,L是nxI维列向量,P是的方阵(各观测值相互独立时为对角阵),则误差方程式可简单表示为
V=AX-L
式中L=L0-Lc,X=X-X,下标0、C分别代表观测值和计算值,X、X为状态矢量(包括卫星的位置、速度,以及待估的动力学和运动学参数)的真值和参考解,A为观测值对状态矢量的偏导数矩阵。
采用抗差最小二乘法可得:
刃=atPa'atpl
、X=ATPa坛
:
?
2=VTPV/m-n
其中P为等价权矩阵,m为不计山=0的测值个数,n为待估参数的个数。
批处理的抗差估计与最小二乘估计收敛准则相同,只是观测残差均方差(RMS)和观测残
式中vk第k次迭代中观测数据的残差,Vp表示对参加估值计算的观测数据的等价权之和。
但因等价权是残差的
以上可以看出采用等价权很容易将批处理转化为抗差批处理算法。
函数,计算开始时一般得不到精确的残差,故需迭代使等价权的准确度得到改善。
在采用抗差批处理进行卫星精密轨道确定时,需采用尽量准确的力学模型及测量模型,同时初始轨道根数
也需尽可能的准确。
SLR的观测资料包括测站与卫星之间的距离、卫星的方位角和高度角。
虽然SLR的观
测站是全球分布的,但是观测站的数目比较少,进行SLR观测的卫星数目比较多,北斗卫
星的观测资料比较少,没有多站同步观测数据。
单站混合资料定初轨的基本原理是:
在测站坐标已知的前提下,利用SLR的距离观测
值和角度观测值可以计算出卫星在观测时刻的位置矢量;然后利用多项式拟合法求出卫星初
始时刻t0的位置r0和速度矢量的初始值r0、r0;假设卫星轨道为椭圆,则任意时刻t的卫星
位置r和速度r可以由to时刻卫星位置r0和速度r0表示,从而得到t时刻卫星位置与初始时刻卫星状态之间的函数关系,最后由参数估计方法计算卫星t0时刻的状态。
记观测站在地固坐标系下的坐标为Ri(Xi,Y,Zi)T,观测时刻ti时测站与卫星之间的距离P、站心坐标系中卫星的方位角A、高度角hi,贝USLR单站混合资料定初轨的具体算法如下:
(1)将SLR原始完整观测数据进行预处理,具体的预处理方法见第一节;
-■t
(2)计算ti时刻导航卫星在J2000.0惯性系中的坐标几(凶』1,乙):
计算卫星在站心坐标系中坐标,具体公式为:
xsi
coshjcosA
ysi
coshjsinA
'Zsi一
sinhi
将站心坐标系下卫星的位置矢量rsi转换成地固坐标系下卫星的位置矢量rei:
阳二Rz180-’-Ry90-:
rsiR
最后将地固坐标系下的位置矢量rei转换为J2000.0坐标系下的位置矢量ri:
A二Rz-GAST-Tei
略日JD之间转换公式。
假设ti时测卫星的位置矢量斤(冷y,z)T是时间ti的m次多项式:
mj
ri='djjiI.i=1,2,,n
j=0
中,-i^ti-to,n为观测值个数,m—n。
由最小二乘法求解
mjm.
ri
三djZ)(i=1,2,…,n),得&(?
…,必,则r的拟合值为呂(哥
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